Пространство конфигурации (физика) - Configuration space (physics)

В классическая механика, параметры, определяющие конфигурацию системы, называются обобщенные координаты, а векторное пространство, определяемое этими координатами, называется конфигурационное пространство из физическая система. Часто бывает, что эти параметры удовлетворяют математическим ограничениям, так что набор реальных конфигураций системы представляет собой многообразие в пространстве обобщенных координат. Этот многообразие называется конфигурационный коллектор системы. Обратите внимание, что это понятие «неограниченного» конфигурационного пространства, т.е. в котором разные точечные частицы могут занимать одно и то же положение. В математике, в частности в толопогике, понятие «ограниченный» конфигурационное пространство чаще всего используется, в котором удаляются диагонали, представляющие «сталкивающиеся» частицы.

Пример: частица в трехмерном пространстве

Положение одиночной частицы, движущейся в обычном Евклидово 3-пространство определяется вектором ${ Displaystyle д = (х, у, г)}$ , и поэтому его конфигурационное пространство является ${ Displaystyle Q = mathbb {R} ^ {3}}$ . Принято использовать символ ${ displaystyle q}$ для точки в конфигурационном пространстве; это соглашение как в Гамильтонова формулировка классической механики, И в Лагранжева механика. Символ ${ displaystyle p}$ используется для обозначения импульсов; символ ${ displaystyle { dot {q}} = dq / dt}$ относится к скоростям.

Частица может быть вынуждена двигаться по определенному многообразие. Например, если частица прикреплена к жесткой связи, свободно качаясь вокруг начала координат, она фактически вынуждена лежать на сфере. Его конфигурационное пространство - это подмножество координат в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ которые определяют точки на сфере ${ Displaystyle S ^ {2}}$ . В этом случае говорят, что многообразие ${ displaystyle Q}$ это сфера, т.е. ${ Displaystyle Q = S ^ {2}}$ .

За п несвязанные, невзаимодействующие точечные частицы, конфигурационное пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3n}}$ . В целом, однако, интересует случай, когда частицы взаимодействуют: например, они находятся в определенных местах в некотором узле шестерен, шкивов, катящихся шариков, и т.п. часто вынуждены двигаться без скольжения. В этом случае конфигурационное пространство - это не все ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3n}}$ , но подпространство (подмногообразие) допустимых положений, которые могут занимать точки.

Пример: твердое тело в трехмерном пространстве

Набор координат, которые определяют положение опорной точки и ориентацию системы координат, прикрепленных к твердому телу в трехмерном пространстве формируют его конфигурацию пространства, часто обозначается ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3} times mathrm {SO} (3)}$ где ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ представляет координаты начала отсчета, прикрепленного к телу, и ${ Displaystyle mathrm {SO} (3)}$ представляет матрицы вращения, которые определяют ориентацию этого кадра относительно наземного кадра. Конфигурация твердого тела определяется шестью параметрами, три из которых ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ и три из ${ Displaystyle mathrm {SO} (3)}$ , и говорят, что шесть степени свободы.

В этом случае конфигурационное пространство ${ Displaystyle Q = mathbb {R} ^ {3} times mathrm {SO} (3)}$ шестимерный, а точка ${ displaystyle q in Q}$ это просто точка в этом пространстве. «Расположение» ${ displaystyle q}$ в этом конфигурационном пространстве описывается с помощью обобщенные координаты; таким образом, три координаты могут описывать местоположение центра масс твердого тела, а еще три могут быть Углы Эйлера описывая его ориентацию. Нет канонического выбора координат; можно также выбрать некоторую вершину или конец твердого тела вместо его центра масс; можно было бы использовать кватернионы вместо углов Эйлера и т. д. Однако параметризация не меняет механических характеристик системы; все различные параметризации в конечном итоге описывают одно и то же (шестимерное) многообразие, один и тот же набор возможных положений и ориентаций.

С некоторыми параметризациями работать легче, чем с другими, и многие важные утверждения можно сделать, работая без координат. Примеры бескординатных заявлений: касательное пространство ${ displaystyle TQ}$ соответствует скоростям точек ${ displaystyle q in Q}$ , в то время как котангенс пространство ${ displaystyle T ^ {*} Q}$ соответствует импульсам. (Скорости и импульсы могут быть связаны; в наиболее общем абстрактном случае это делается с помощью довольно абстрактного понятия тавтологический однообразный.)

Пример: роботизированная рука

Для роботизированной руки, состоящей из множества жестких рычагов, пространство конфигурации состоит из местоположения каждого рычага (принимаемого за твердое тело, как в разделе выше) с учетом ограничений, связанных с тем, как рычаги прикреплены друг к другу, и их допустимый диапазон движения. Таким образом, для ${ displaystyle n}$ связей, можно рассмотреть общее пространство

{ displaystyle left [ mathbb {R} ^ {3} times mathrm {SO} (3) right] ^ {n}}

за исключением того, что все различные привязки и ограничения означают, что не каждая точка в этом пространстве достижима. Таким образом, конфигурационное пространство ${ displaystyle Q}$ обязательно является подпространством ${ displaystyle n}$ -жесткая конфигурация кузова.

Обратите внимание, однако, что в робототехнике термин конфигурационное пространство может также относиться к еще более сокращенному подмножеству: набору позиций, достижимых роботом рабочий орган.^[1] Однако это определение приводит к сложностям, описываемым голономия: то есть может быть несколько различных способов размещения манипулятора робота для получения определенного местоположения рабочего органа, и даже возможно перемещение манипулятора робота при сохранении неподвижного рабочего органа. Таким образом, полное описание рычага, пригодного для использования в кинематике, требует указания все положения суставов и углов, а не только некоторые из них.

Совместные параметры робота используются как обобщенные координаты для определения конфигураций. Набор значений совместных параметров называется суставное пространство. Робота вперед и обратная кинематика уравнения определяют карты между конфигурациями и положениями рабочих органов или между пространством сустава и пространством конфигурации. Робот планирование движения использует это сопоставление, чтобы найти путь в суставном пространстве, который обеспечивает достижимый маршрут в пространстве конфигурации рабочего органа.

Формальное определение

В классическая механика, конфигурация системы состоит из позиций, которые имеют все компоненты, на которые действуют кинематические ограничения.^[2]

Фазовое пространство

Конфигурационного пространства недостаточно для полного описания механической системы: оно не учитывает скорости. Набор доступных для системы скоростей определяет плоскость, касательную к конфигурационному многообразию системы. В какой-то момент ${ displaystyle q in Q}$ , эта касательная плоскость обозначается ${ displaystyle T_ {q} Q}$ . Векторы импульса - это линейные функционалы от касательной плоскости, известные как котангенс-векторы; на точку ${ displaystyle q in Q}$ , эта кокасательная плоскость обозначается ${ displaystyle T_ {q} ^ {*} Q}$ . Набор положений и импульсов механической системы образует котангенсный пучок ${ displaystyle T ^ {*} Q}$ конфигурационного коллектора ${ displaystyle Q}$ . Это большее многообразие называется фазовое пространство системы.

Государственное пространство

В квантовая механика, аналогичное понятие называется пространство состояний. В этом случае используется несколько иной набор формализмов и обозначений. Аналог «точечной частицы» становится единственной точкой в ${ Displaystyle mathbb {CP} ^ {1}}$ , то сложная проективная линия, также известный как Сфера Блоха. Это сложно, потому что квантово-механический волновая функция имеет сложную фазу; он проективен, потому что волновая функция нормирована на единицу вероятности. То есть, учитывая волновую функцию ${ displaystyle psi}$ его можно нормировать на полную вероятность ${ Displaystyle int psi ^ {*} psi}$ , что делает его проективным.

Смотрите также

Пространство функций (тема в распознавании образов)
Пространство параметров
Конфигурационное пространство (математика)

внешняя ссылка

[1] Джон Дж. Крейг, Введение в робототехнику: механика и управление, 3-е изд. Прентис-Холл, 2004 г.

[2] Суссман, Джеральд (2001). Структура и интерпретация классической механики. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 0262194554.

[1]

[2]