Прямая кинематика - Forward kinematics

Сочлененная шестерка DOF роботизированная рука использует переднюю кинематику для позиционирования захвата.

Уравнения прямой кинематики определяют траекторию движения рабочего органа робота PUMA к деталям.

Прямая кинематика относится к использованию кинематический уравнения робот вычислить положение рабочий орган от заданных значений параметров соединения.^[1]

Уравнения кинематики робота используются в робототехника, компьютерные игры, и анимация. Обратный процесс, который вычисляет параметры сустава, которые достигают заданного положения рабочего органа, известен как обратная кинематика.

Прямая и обратная кинематика

Уравнения кинематики

Уравнения кинематики для последовательной цепи робота получаются с использованием жесткая трансформация [Z] для характеристики относительное движение разрешено на каждом соединение и отдельное жесткое преобразование [X] для определения размеров каждого звена. Результатом является последовательность жестких преобразований, чередующихся преобразований суставов и звеньев от основания цепи до ее конечного звена, которое приравнивается к заданной позиции для конечного звена,

${\displaystyle [T]=[Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}],\!}$

где [T] - преобразование, определяющее конечную ссылку. Эти уравнения называются уравнениями кинематики последовательной цепи.^[2]

Преобразования ссылок

В 1955 году Жак Денавит и Ричард Хартенберг ввели соглашение для определения совместных матриц [Z] и матриц связей [X], чтобы стандартизировать систему координат для пространственных связей.^[3][4] Это соглашение позиционирует соединительную раму так, чтобы она состояла из винтового смещения по оси Z

${\displaystyle [Z_{i}]=\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})\operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i}),}$

и он позиционирует раму звена так, чтобы она состояла из винтового смещения по оси X,

${\displaystyle [X_{i}]=\operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})\operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1}).}$

Используя это обозначение, каждое звено преобразования проходит вдоль последовательного цепного робота и может быть описано с помощью преобразование координат,

${\displaystyle {}^{i-1}T_{i}=[Z_{i}][X_{i}]=\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})\operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i})\operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})\operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1}),}$

куда θ_я, d_я, α_{я, я + 1} и а_{я, я + 1} известны как Параметры Денавита-Хартенберга.

Пересмотр кинематических уравнений

Уравнения кинематики последовательной цепочки п ссылки, с совместными параметрами θ_я даны^[5]

${\displaystyle [T]={}^{0}T_{n}=\prod _{i=1}^{n}{}^{i-1}T_{i}(\theta _{i}),}$

куда ${\displaystyle {}^{i-1}T_{i}(\theta _{i})}$ матрица преобразования из кадра ссылки ${\displaystyle i}$ связывать ${\displaystyle i-1}$. В робототехнике они обычно описываются Параметры Денавита – Хартенберга.^[6]

Матрица Денавита-Хартенберга

Матрицы, связанные с этими операциями:

${\displaystyle \operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad \operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i})={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}&0&0\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

По аналогии,

${\displaystyle \operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})={\begin{bmatrix}1&0&0&a_{i,i+1}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad \operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1})={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \alpha _{i,i+1}&-\sin \alpha _{i,i+1}&0\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Использование соглашения Денавита-Хартенберга дает матрицу преобразования ссылок, [^я-1Т_я] в качестве

${\displaystyle \operatorname {} ^{i-1}T_{i}={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}\cos \alpha _{i,i+1}&\sin \theta _{i}\sin \alpha _{i,i+1}&a_{i,i+1}\cos \theta _{i}\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}\cos \alpha _{i,i+1}&-\cos \theta _{i}\sin \alpha _{i,i+1}&a_{i,i+1}\sin \theta _{i}\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}},}$

известный как Денавит-Хартенберг матрица.

Компьютерная анимация

Прямые кинематические уравнения могут использоваться как метод в 3D компьютерная графика для анимации моделей.

Существенная концепция прямой кинематической анимации заключается в том, что положения отдельных частей модели в заданное время рассчитываются на основе положения и ориентации объекта вместе с любой информацией о соединениях шарнирной модели. Так, например, если анимируемый объект представляет собой руку с плечом, остающимся в фиксированном положении, положение кончика большого пальца будет вычисляться по углам плечо, локоть, запястье, большой палец и сустав суставы. Три из этих суставов (плечо, запястье и основание большого пальца) имеют более одного степень свободы, все это необходимо учитывать. Если бы модель представляла собой целую человеческую фигуру, то положение плеча также необходимо было бы рассчитать на основе других свойств модели.

Прямую кинематическую анимацию можно отличить от обратная кинематическая анимация с помощью этого метода расчета - в обратной кинематике ориентация сочлененных частей рассчитывается исходя из желаемого положения определенных точек на модели. Он также отличается от других систем анимации тем, что движение модели определяется непосредственно аниматором - никакие физические законы это может повлиять на модель, например гравитация или столкновение с другими моделями.

Смотрите также

• Обратная кинематика
• Кинематическая цепь
• Управление роботом
• Механические системы
• Кинематика робота
• Кинематический синтез

Рекомендации

1. Пол, Ричард (1981). Роботы-манипуляторы: математика, программирование и управление: компьютерное управление роботами-манипуляторами. MIT Press, Кембридж, Массачусетс. ISBN  978-0-262-16082-7.
2. Дж. М. Маккарти, 1990, Введение в теоретическую кинематику, MIT Press, Кембридж, Массачусетс.
3. Дж. Денавит и Р.С. Хартенберг, 1955, «Кинематическая запись для механизмов нижних пар, основанных на матрицах». Trans ASME J. Appl. Мех, 23:215–221.
4. Хартенберг Р. С. и Дж. Денавит. Кинематический синтез связей. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл, 1964 г. онлайн через KMODDL
5. Дженнифер Кей. «Введение в однородные преобразования и кинематику роботов» (PDF). Получено 2010-09-11.
6. Узнайте о роботах. "Кинематика движения робота". Получено 2007-02-01.