Сферический 3-х коллектор - Spherical 3-manifold

В математика, а сферический 3-х коллектор M это 3-х коллекторный формы

{ Displaystyle M = S ^ {3} / Gamma}

куда ${ displaystyle Gamma}$ это конечный подгруппа из ТАК (4) действовать свободно вращениями на 3-сфера ${ Displaystyle S ^ {3}}$ . Все такие многообразия основной, ориентируемый, и закрыто. Сферические 3-многообразия иногда называют эллиптические 3-многообразия или многообразия Клиффорда-Клейна.

Характеристики

Сферическое 3-многообразие ${ Displaystyle S ^ {3} / Gamma}$ имеет конечный фундаментальная группа изоморфный к самой Γ. В гипотеза эллиптизации, доказано Григорий Перельман, утверждает, что, наоборот, все компактные трехмерные многообразия с конечной фундаментальной группой являются сферическими многообразиями.

Фундаментальная группа либо циклический, или является центральным продолжением двугранный, четырехгранный, восьмигранный, или же икосаэдр группа циклической группой четного порядка. Это делит набор таких многообразий на 5 классов, описанных в следующих разделах.

Сферические многообразия - это в точности многообразия со сферической геометрией, одной из восьми геометрий Терстона. гипотеза геометризации.

Циклический случай (линзовые пространства)

Многообразия ${ Displaystyle S ^ {3} / Gamma}$ с Γ циклический являются в точности трехмерными линзы. Линзовое пространство не определяется его фундаментальной группой (есть не-гомеоморфный линзовые пространства с изоморфный фундаментальные группы); но любое другое сферическое многообразие есть.

Трехмерные линзовые пространства возникают как частные от ${ Displaystyle S ^ {3} subset mathbb {C} ^ {2}}$ действием группы, порожденной элементами формы

{ displaystyle { begin {pmatrix} omega & 0 0 & omega ^ {q} end {pmatrix}}.}

куда ${ Displaystyle омега = е ^ {2 пи я / р}}$ . Такое пространство объектива ${ Displaystyle L (p; q)}$ имеет фундаментальную группу ${ Displaystyle mathbb {Z} / п mathbb {Z}}$ для всех ${ displaystyle q}$ , поэтому пространства с разными ${ displaystyle p}$ не гомотопически эквивалентны. Кроме того, известны следующие классификации с точностью до гомеоморфизма и гомотопической эквивалентности. Трехмерные пространства ${ Displaystyle L (п; q_ {1})}$ и ${ displaystyle L (p; q_ {2})}$ находятся:

гомотопически эквивалентен тогда и только тогда, когда ${ displaystyle q_ {1} q_ {2} Equiv pm n ^ {2} { pmod {p}}}$ для некоторых ${ Displaystyle п в mathbb {N};}$
гомеоморфен тогда и только тогда, когда ${ displaystyle q_ {1} Equiv pm q_ {2} ^ { pm 1} { pmod {p}}.}$

В частности, линзовые пространства L(7,1) и L(7,2) дают примеры двух 3-многообразий, которые гомотопически эквивалентны, но не гомеоморфны.

Объектив пространство L(1,0) - это 3-сфера, а линзовое пространство L(2,1) - трехмерное действительное проективное пространство.

Пространства линз можно представить как Расслоения Зейферта во многих отношениях, обычно как расслоения над 2-сферой с не более чем двумя исключительными слоями, хотя линзовое пространство с фундаментальной группой порядка 4 также имеет представление как расслоение Зейферта над проективной плоскостью без исключительных слоев.

Двугранный случай (призматические многообразия)

А призменный коллектор закрытый 3-мерное многообразие M фундаментальная группа которого является центральным расширением группы диэдра.

Фундаментальная группа π₁(M) из M является произведением циклической группы порядка м с группой, имеющей представление

{ displaystyle langle x, y mid xyx ^ {- 1} = y ^ {- 1}, x ^ {2 ^ {k}} = y ^ {n} rangle}

для целых чисел k, м, п с k ≥ 1, м ≥ 1, п≥ 2 и м взаимно просты с 2п.

В качестве альтернативы фундаментальная группа имеет представление

{ displaystyle langle x, y mid xyx ^ {- 1} = y ^ {- 1}, x ^ {2m} = y ^ {n} rangle}

для взаимно простых целых чисел м, п с м ≥ 1, п ≥ 2. ( п здесь равно предыдущему п, а м вот 2^k-1 раз предыдущий м.)

Продолжим последнюю презентацию. Эта группа метациклическая группа порядка 4мин с абелианизация порядка 4м (так м и п оба определяются этой группой). у генерирует циклический нормальная подгруппа порядка 2п, а элемент Икс имеет порядок 4м. В центр является циклическим порядка 2м и создается Икс², а частное по центру - это группа диэдра порядка 2п.

Когда м = 1 эта группа является бинарным диэдром или дициклическая группа. Самый простой пример: м = 1, п = 2, когда π₁(M) это группа кватернионов порядка 8.

Призма-многообразия однозначно определяются своими фундаментальными группами: если замкнутое трехмерное многообразие имеет ту же фундаментальную группу, что и призменное многообразие M, это гомеоморфный к M.

Призменные многообразия можно представить в виде Расслоения Зейферта двумя способами.

Тетраэдрический корпус

Фундаментальная группа является произведением циклической группы порядка м с группой, имеющей представление

{ displaystyle langle x, y, z mid (xy) ^ {2} = x ^ {2} = y ^ {2}, zxz ^ {- 1} = y, zyz ^ {- 1} = xy, z ^ {3 ^ {k}} = 1 rangle}

для целых чисел k, м с k ≥ 1, м ≥ 1 и м взаимно проста с 6.

В качестве альтернативы фундаментальная группа имеет представление

{ displaystyle langle x, y, z mid (xy) ^ {2} = x ^ {2} = y ^ {2}, zxz ^ {- 1} = y, zyz ^ {- 1} = xy, z ^ {3m} = 1 rangle}

для нечетного целого числа м ≥ 1. ( м вот 3^k-1 раз предыдущий м.)

Продолжим последнюю презентацию. В этой группе порядка 24м. Элементы Икс и у порождают нормальную подгруппу, изоморфную группа кватернионов порядка 8. центр является циклическим порядка 2м. Он создается элементами z³ и Икс² = у², а фактор по центру - группа тетраэдра, что эквивалентно переменная группа А₄.

Когда м = 1 эта группа является бинарная тетраэдрическая группа.

Эти многообразия однозначно определяются своими фундаментальными группами. Все они могут быть представлены уникальным образом как Расслоения Зейферта: фактормногообразие является сферой и существует 3 исключительных слоя порядков 2, 3 и 3.

Октаэдрический корпус

Фундаментальная группа является произведением циклической группы порядка м взаимно просты до 6 с бинарная октаэдрическая группа (порядка 48), который имеет представление

{ displaystyle langle x, y mid (xy) ^ {2} = x ^ {3} = y ^ {4} rangle.}

Эти многообразия однозначно определяются своими фундаментальными группами. Все они могут быть представлены уникальным образом как Расслоения Зейферта: фактормногообразие является сферой и существует 3 исключительных слоя порядков 2, 3 и 4.

Икосаэдрический корпус

Фундаментальная группа является произведением циклической группы порядка м совмещать до 30 с бинарная группа икосаэдра (заказ 120), который имеет представление

{ displaystyle langle x, y mid (xy) ^ {2} = x ^ {3} = y ^ {5} rangle.}

Когда м равно 1, многообразие - это Сфера гомологии Пуанкаре.

Эти многообразия однозначно определяются своими фундаментальными группами. Все они могут быть представлены по существу уникальным образом как расслоенные пространства Зейферта: фактормногообразие является сферой и существует 3 исключительных слоя порядков 2, 3 и 5.