Бинарная октаэдрическая группа - Binary octahedral group

В математика, то бинарная октаэдрическая группа, имя как 2O или ⟨2,3,4⟩ - это некий неабелева группа из порядок 48. Это расширение из хиральная октаэдрическая группа О или (2,3,4) порядка 24 циклическая группа порядка 2, и является прообраз октаэдрической группы под 2: 1 покрывающий гомоморфизм ${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\to \operatorname {SO} (3)}$ из специальная ортогональная группа посредством вращательная группа. Отсюда следует, что бинарная группа октаэдра является дискретная подгруппа спина (3) порядка 48.

Бинарную октаэдрическую группу проще всего описать конкретно как дискретную подгруппу единицы кватернионы, при изоморфизме ${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)}$ куда Sp (1) - мультипликативная группа единичных кватернионов. (Описание этого гомоморфизма см. В статье о кватернионы и пространственные вращения.)

Элементы

48 элементов кватерниона в проекции:
* 1 заказ-1: 1
* 1 заказ-2: -1
* 6 порядок-4: ± i, ± j, ± k
* 12-й порядок-8: (± 1 ± i) / √2, (± 1 ± j) / √2, (± 1 ± k) / √2
* 12-й порядок-4: (± i ± j) / √2, (± i ± k) / √2, (± j ± k) / √2
* 8 порядок-6, (+ 1 ± i ± j ± k) / 2
* 8 порядок-3, (-1 ± i ± j ± k) / 2.

Явно бинарная группа октаэдра задается как объединение 24 Единицы Гурвица

${\displaystyle \{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,{\tfrac {1}{2}}(\pm 1\pm i\pm j\pm k)\}}$

со всеми 24 кватернионами, полученными из

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\pm 1\pm 1i+0j+0k)}$

по перестановка координат и всевозможных сочетаний знаков. Все 48 элементов имеют абсолютное значение 1 и, следовательно, принадлежат единичной кватернионной группе Sp (1).

Характеристики

Бинарная октаэдрическая группа, обозначенная 2О, вписывается в короткая точная последовательность

${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to 2O\to O\to 1.\,}$

Эта последовательность не расколоть, что означает, что 2О является нет а полупрямой продукт из {± 1} на О. На самом деле не существует подгруппы из 2О изоморфен О.

В центр из 2О - подгруппа {± 1}, так что группа внутренних автоморфизмов изоморфен О. Полный группа автоморфизмов изоморфен О × Z₂.

Презентация

Группа 2О имеет презентация данный

${\displaystyle \langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{4}=rst\rangle }$

или эквивалентно,

${\displaystyle \langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{4}\rangle .}$

Генераторы кватернионов с этими отношениями даются

${\displaystyle r={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(i+j)\qquad s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)}$

С ${\displaystyle r^{2}=s^{3}=t^{4}=rst=-1.}$

Подгруппы

В бинарная октаэдрическая группа 2О= ⟨2,3,4⟩ порядка 48, имеет 3 примарные подгруппы: 2Т= ⟨2,3,3⟩, индекс 2, Q16 = ⟨2,2,4⟩ индекс 3, и Q12 = ⟨2,2,3⟩ индекс 4.
⟨л,м,п⟩=бинарная группа полиэдров
⟨п⟩≃Z_2п, (п) ≃Z_п (циклические группы )

В бинарная тетраэдрическая группа, 2Т, состоящий из 24 Единицы Гурвица, образует нормальную подгруппу индекса 2. Группа группа кватернионов, Q8, состоящий из 8 Единицы Липшица образует нормальная подгруппа из 2О из индекс 6. факторгруппа изоморфен S₃ (в симметричная группа на 3 буквы). Эти две группы вместе с центром {± 1} являются единственными нетривиальными нормальными подгруппами в 2О.

В обобщенная группа кватернионов, Q16, также образует подгруппу 2О, индекс 3. Эта подгруппа саморегулирующийся так что это класс сопряженности состоит из 3 человек. Существуют также изоморфные копии бинарные группы диэдра Q8 и Q12 в 2О.

Все остальные подгруппы циклические группы генерируется различными элементами (с порядками 3, 4, 6 и 8).^[1]

Высшие измерения

В бинарная октаэдрическая группа обобщает на более высокие измерения: так же, как октаэдр обобщает ортоплекс, то октаэдрическая группа в SO (3) обобщается на гипероктаэдрическая группа в SO (п), имеющий бинарное покрытие под картой ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)\to SO(n).}$

Смотрите также

• Бинарная полиэдральная группа
• бинарная циклическая группа, ⟨п⟩, Индекс 2п
• бинарная группа диэдра, ⟨2,2,п⟩, Индекс 4п
• бинарная тетраэдрическая группа, 2T = ⟨2,3,3⟩, индекс 24
• бинарная группа икосаэдра, 2I = ⟨2,3,5⟩, индекс 120

Рекомендации

• Кокстер, Х. С. М. и Мозер, В. О. Дж. (1980). Генераторы и отношения для дискретных групп, 4-е издание.. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-09212-9.
• Конвей, Джон Х.; Смит, Дерек А. (2003). О кватернионах и октонионах. Натик, Массачусетс: AK Peters, Ltd. ISBN  1-56881-134-9.

Примечания

1. Бинарная октаэдрическая группа = ${\displaystyle CSU_{2}(\mathbb {F} _{3})}$ на GroupNames