Финслеровский коллектор - Finsler manifold

«Финслер» перенаправляется сюда. Для математика это многообразие названо в честь, см. Пол Финслер.

В математика особенно дифференциальная геометрия, а Финслеровский коллектор это дифференцируемое многообразие M где a (возможно асимметричный ) Функционал Минковского F(Икс,−) предоставляется на каждом касательном пространстве Т_ИксM, что позволяет определить длину любого плавная кривая γ : [а,б] → M так как

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}F(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t.}$

Финслеровы многообразия более общие, чем Римановы многообразия поскольку касательные нормы не обязательно индуцируются внутренние продукты.

Каждое финслерово многообразие становится внутренний квазиметрическое пространство когда расстояние между двумя точками определяется как нижняя граница соединяющих их кривых.

Эли Картан  (1933 ) названные финслеровыми многообразиями в честь Пол Финслер, изучавший эту геометрию в своей диссертации (Финслер 1918 ).

Определение

А Финслеровский коллектор это дифференцируемое многообразие M вместе с Метрика Финслера, которая является непрерывной неотрицательной функцией F: ТM→[0,+∞) определены на касательный пучок так что для каждой точки Икс из M,

• F(v + ш) ≤ F(v) + F(ш) для каждых двух векторов v,ш касающийся M в Икс (субаддитивность ).
• F(λv) = λF(v) для всех λ ≥ 0 (но не обязательно дляλ <0) (положительная однородность ).
• F(v) > 0 если только v = 0 (положительная определенность ).

Другими словами, F(Икс,−) является асимметричная норма на каждом касательном пространстве Т_ИксM. Метрика Финслера F также требуется быть гладкий; плавный, точнее:

• F является гладкий; плавный на дополнении нулевого сечения ТM.

Тогда аксиому субаддитивности можно заменить следующей условие сильной выпуклости:

• Для каждого касательного вектора v ≠ 0, то Матрица Гессе из F² в v является положительно определенный.

Здесь гессен F² в v это симметричный билинейная форма

${\displaystyle \mathbf {g} _{v}(X,Y):={\frac {1}{2}}\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left[F(v+sX+tY)^{2}\right]\right|_{s=t=0},}$

также известный как фундаментальный тензор из F в v. Сильная выпуклость влечет субаддитивность со строгим неравенством, если ​^ты⁄_F(ты) ≠ ​^v⁄_F(v). Если F сильно выпуклый, то это Норма Минковского на каждом касательном пространстве.

Метрика Финслера - это обратимый если, кроме того,

• F(−v) = F(v) для всех касательных векторов v.

Обратимая метрика Финслера определяет норма (в обычном смысле) на каждом касательном пространстве.

Примеры

• Гладкие подмногообразия (включая открытые подмножества) нормированное векторное пространство конечной размерности являются финслеровыми многообразиями, если норма векторного пространства гладкая вне начала координат.
• Римановы многообразия (но нет псевдоримановы многообразия ) являются частными случаями финслеровых многообразий.

Коллекторы Рандерса

Позволять ${\displaystyle (M,a)}$ быть Риманово многообразие и б а дифференциальная одноформа на M с участием

${\displaystyle \|b\|_{a}:={\sqrt {a^{ij}b_{i}b_{j}}}<1,}$

где ${\displaystyle (a^{ij})}$ это обратная матрица из ${\displaystyle (a_{ij})}$ и Обозначения Эйнштейна используется. потом

${\displaystyle F(x,v):={\sqrt {a_{ij}(x)v^{i}v^{j}}}+b_{i}(x)v^{i}}$

определяет Метрика Рандерса на M и ${\displaystyle (M,F)}$ это Коллектор Рандерса- частный случай необратимого финслерова многообразия.^[1]

Гладкие квазиметрические пространства

Позволять (M,d) быть квазиметрический так что M также дифференцируемое многообразие и d совместим с дифференциальная структура из M в следующем смысле:

• В любой точке z на M существует гладкая карта (U, φ) M и постоянный C ≥ 1 такое, что для каждого Икс,у ∈ U

${\displaystyle {\frac {1}{C}}\|\phi (y)-\phi (x)\|\leq d(x,y)\leq C\|\phi (y)-\phi (x)\|.}$

• Функция d : M × M → [0, ∞] является гладкий; плавный в некоторой проколотой окрестности диагонали.

Тогда можно определить функцию Финслера F : TM → [0, ∞] на

${\displaystyle F(x,v):=\lim _{t\to 0+}{\frac {d(\gamma (0),\gamma (t))}{t}},}$

где γ есть ли кривая в M с участием γ(0) = Икс и γ '(0) = v. Функция Финслера F полученный таким образом, ограничивается асимметричной (обычно не минковской) нормой на каждом касательном пространстве M. В индуцированная внутренняя метрика d_L: M × M → [0, ∞] оригинала квазиметрический можно восстановить из

${\displaystyle d_{L}(x,y):=\inf \left\{\ \left.\int _{0}^{1}F(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt\ \right|\ \gamma \in C^{1}([0,1],M)\ ,\ \gamma (0)=x\ ,\ \gamma (1)=y\ \right\},}$

и фактически любая функция Финслера F : TM → [0, ∞) определяет внутренний квазиметрический d_L на M по этой формуле.

Геодезические

Из-за однородности F длина

${\displaystyle L[\gamma ]:=\int _{a}^{b}F(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt}$

из дифференцируемая кривая γ:[а,б]→M в M инвариантен относительно положительно ориентированных перепараметризация. Кривая постоянной скорости γ это геодезический финслерова многообразия, если его достаточно короткие отрезки γ|_[c,d] минимизируют длину в M от γ(c) к γ(d). Эквивалентно, γ является геодезической, если она стационарна для функционала энергии

${\displaystyle E[\gamma ]:={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}F^{2}(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt}$

в том смысле, что это функциональная производная исчезает среди дифференцируемых кривых γ:[а,б]→M с фиксированными конечными точками γ(а)=Икс и γ(б)=у.

Каноническая структура струи на финслеровом коллекторе

В Уравнение Эйлера – Лагранжа. для функционала энергии E[γ] читает в локальных координатах (Икс¹,...,Икс^п,v¹,...,v^п) из TM так как

${\displaystyle g_{ik}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}{\ddot {\gamma }}^{i}(t)+\left({\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{j}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}\right){\dot {\gamma }}^{i}(t){\dot {\gamma }}^{j}(t)=0,}$

где k=1,...,п и г_ij - координатное представление фундаментального тензора, определяемого как

${\displaystyle g_{ij}(x,v):=g_{v}\left({\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}{\big |}_{x},{\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}}{\big |}_{x}\right).}$

Если предположить сильная выпуклость из F²(х, v) относительно v∈Т_ИксM, матрица г_ij(Икс,v) обратима, а обратная к ней обозначается через г^ij(Икс,v). потом γ:[а,б]→M является геодезической точки (M,F) тогда и только тогда, когда его касательная кривая γ ':[а,б]→TM \0 является интегральная кривая из гладкое векторное поле ЧАС на TM 0 локально определяется

${\displaystyle H|_{(x,v)}:=v^{i}{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}{\big |}_{(x,v)}-\ 2G^{i}(x,v){\tfrac {\partial }{\partial v^{i}}}{\big |}_{(x,v)},}$

где местные коэффициенты распыления г^я даны

${\displaystyle G^{i}(x,v):={\frac {g^{ij}(x,v)}{4}}\left(2{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{\ell }}}(x,v)-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{j}}}(x,v)\right)v^{k}v^{\ell }.}$

Векторное поле ЧАС на TM/ 0 удовлетворяет JH = V и [V,ЧАС] = ЧАС, где J и V являются канонический эндоморфизм и каноническое векторное поле на TM 0. Следовательно, по определению ЧАС это спрей наM. Спрей ЧАС определяет нелинейная связь на пучок волокон TM \0 → M сквозь вертикальная проекция

${\displaystyle v:T(TM\setminus 0)\to T(TM\setminus 0)\quad ;\quad v:={\tfrac {1}{2}}{\big (}I+{\mathcal {L}}_{H}J{\big )}.}$

По аналогии с Риманов случай, есть версия

${\displaystyle D_{\dot {\gamma }}D_{\dot {\gamma }}X(t)+R_{\dot {\gamma }}({\dot {\gamma }}(t),X(t))=0}$

из Уравнение Якоби для общей структуры распылителя (M,ЧАС) с точки зрения Кривизна Эресмана инелинейная ковариантная производная.

Уникальность и минимизирующие свойства геодезических

От Теорема Хопфа – Ринова. всегда существуют минимизирующие длину кривые (по крайней мере, в достаточно малых окрестностях) на (M, F). Кривые, минимизирующие длину, всегда могут быть положительно перепараметризованы в геодезические, и любая геодезическая должна удовлетворять уравнению Эйлера – Лагранжа для E[γ]. Предполагая сильную выпуклость F² существует единственная максимальная геодезическая γ с участием γ(0) = x и γ '(0) = v для любого (Икс, v) ∈ TM 0 в силу уникальности интегральные кривые.

Если F² сильно выпуклый, геодезические γ : [0, б] → M минимизируют длину среди ближайших кривых до первой точки γ(s) сопрягать к γ(0) вместе γ, и для т > s всегда есть более короткие кривые от γ(0) в γ(т) около γ, как в Риманов кейс.

Заметки

1. Рандерс, Г. (1941). «Об асимметричной метрике в четырехмерном пространстве общей теории относительности». Phys. Ред. 59 (2): 195–199. Дои:10.1103 / PhysRev.59.195. HDL:10338.dmlcz / 134230.

использованная литература

• Антонелли, Питер Л., изд. (2003), Справочник по финслеровой геометрии. Vol. 1, 2, Бостон: Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-4020-1557-1, Г-Н  2067663
• Бао, Дэвид; Черн, Шиинг-Шэнь; Шен, Чжунминь (2000). Введение в геометрию Римана – Финслера. Тексты для выпускников по математике. 200. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-1268-3. ISBN  0-387-98948-X. Г-Н  1747675.
• Картан, Эли (1933), "Sur les espaces de Finsler", C. R. Acad. Sci. Париж, 196: 582–586, Zbl  0006.22501
• Черн, Шиинг-Шэнь (1996), «Финслерова геометрия - это просто риманова геометрия без квадратичного ограничения» (PDF), Уведомления Американского математического общества, 43 (9): 959–63, Г-Н  1400859
• Финслер, Пол (1918), Über Kurven und Flächen в allgemeinen Räumen, Диссертация, Геттинген, JFM  46.1131.02 (Перепечатано Биркхойзером (1951))
• Рунд, Ханно (1959). Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 101. Берлин – Геттинген – Гейдельберг: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-3-642-51610-8. ISBN  978-3-642-51612-2. Г-Н  0105726.
• Шен, Чжунминь (2001). Лекции по финслеровой геометрии. Сингапур: World Scientific. Дои:10.1142/4619. ISBN  981-02-4531-9. Г-Н  1845637.

внешние ссылки

• «Финслерово пространство, обобщенное», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• (Новый) информационный бюллетень Finsler