Функциональная производная - Functional derivative

в вариационное исчисление, поле математический анализ, то функциональная производная (или же вариационная производная)^[1] связывает изменение в функциональный к изменению функция от чего зависит функционал.

В вариационном исчислении функционалы обычно выражаются через интеграл функций, их аргументы, и их производные. В интегральном L функционала, если функция ж варьируется путем добавления к нему другой функции δf что произвольно мало, и получившееся подынтегральное выражение разлагается по степеням δf, коэффициент δf член первого порядка называется функциональной производной.

Например, рассмотрим функционал

${\displaystyle J[f]=\int _{a}^{b}L(\,x,f(x),f\,'(x)\,)\,dx\ ,}$

куда ж ′(Икс) ≡ df / dx. Если ж варьируется путем добавления к нему функции δf, и полученное подынтегральное выражение L(х, f + δf, f '+ δf ′) расширяется в полномочиях δf, то изменение значения J в первую очередь в δf можно выразить следующим образом:^{[1][Примечание 1]}

${\displaystyle \delta J=\int _{a}^{b}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\delta f(x)+{\frac {\partial L}{\partial f'}}{\frac {d}{dx}}\delta f(x)\right)\,dx\,=\int _{a}^{b}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\delta f(x)\,dx\,+\,{\frac {\partial L}{\partial f'}}(b)\delta f(b)\,-\,{\frac {\partial L}{\partial f'}}(a)\delta f(a)\,}$

где вариация производной, δf ′ был переписан как производная от вариации (δf) ′, и интеграция по частям использовался.

Определение

В этом разделе определяется функциональная производная. Затем функциональный дифференциал определяется в терминах функциональной производной.

Функциональная производная

Учитывая многообразие M представляющий (непрерывный /гладкий ) функции ρ (с некоторыми граничные условия и т. д.), а функциональный F определяется как

${\displaystyle F\colon M\rightarrow \mathbb {R} \quad {\mbox{or}}\quad F\colon M\rightarrow \mathbb {C} \,,}$

в функциональная производная из F[ρ], обозначенный δF / δρ, определяется через^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\phi (x)\;dx&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho +\varepsilon \phi ]-F[\rho ]}{\varepsilon }}\\&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}F[\rho +\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0},\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \phi }$ - произвольная функция. Количество ${\displaystyle \varepsilon \phi }$ называется вариацией ρ.

Другими словами,

${\displaystyle \phi \mapsto \left[{\frac {d}{d\varepsilon }}F[\rho +\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0}}$

является линейным функционалом, поэтому можно применить Теорема о представлении Рисса – Маркова – Какутани представить этот функционал как интеграцию с некоторыми мера.Потом δF/δρ определяется как Производная Радона – Никодима этой меры.

Один думает о функции δF/δρ как градиент F в момент ρ и

${\displaystyle \int {\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\phi (x)\;dx}$

как производная по направлению в точке ρ в направлении ϕ. Затем, аналогично векторному исчислению, внутренний продукт с градиентом дает производную по направлению.

Функциональный дифференциал

Дифференциал (или вариация, или первая вариация) функционала ${\displaystyle F\left[\rho \right]}$ является ^{[3] [Заметка 2]}

${\displaystyle \delta F[\rho ;\phi ]=\int {\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\ \phi (x)\ dx\ .}$

Эвристически, ${\displaystyle \phi }$ изменение в ${\displaystyle \rho }$, так что мы "формально" имеем ${\displaystyle \phi =\delta \rho }$, и по форме он похож на полный дифференциал функции ${\displaystyle F(\rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n})}$,

${\displaystyle dF=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \rho _{i}}}\ d\rho _{i}\ ,}$

куда ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n}}$ независимые переменные. Сравнивая последние два уравнения, функциональная производная ${\displaystyle \delta F/\delta \rho (x)}$ играет роль, аналогичную частной производной ${\displaystyle \partial F/\partial \rho _{i}}$, где переменная интегрирования ${\displaystyle x}$ похож на непрерывную версию индекса суммирования ${\displaystyle i}$.^[4]

Строгое описание

Определение функциональной производной можно сделать более математически точным и строгим путем определения пространство функций внимательнее. Например, когда пространство функций - это Банахово пространство, функциональная производная становится известна как Производная Фреше, а используется Производная Гато на более общем локально выпуклые пространства. Обратите внимание, что Гильбертовы пространства являются частными случаями Банаховы пространства. Более строгое рассмотрение позволяет использовать многие теоремы из обычных исчисление и анализ быть обобщенным на соответствующие теоремы из функциональный анализ, а также многочисленные новые теоремы.

Характеристики

Как и производная функции, функциональная производная удовлетворяет следующим свойствам, где F[ρ] и грамм[ρ] являются функционалами:^{[Заметка 3]}

• Линейность:^[5]

${\displaystyle {\frac {\delta (\lambda F+\mu G)[\rho ]}{\delta \rho (x)}}=\lambda {\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho (x)}}+\mu {\frac {\delta G[\rho ]}{\delta \rho (x)}},}$

куда λ, μ являются константами.

• Правило продукта:^[6]

${\displaystyle {\frac {\delta (FG)[\rho ]}{\delta \rho (x)}}={\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho (x)}}G[\rho ]+F[\rho ]{\frac {\delta G[\rho ]}{\delta \rho (x)}}\,,}$

• Правила цепочки:

Если F это функциональный и грамм другой функционал, то^[7]

${\displaystyle \displaystyle {\frac {\delta F[G[\rho ]]}{\delta \rho (y)}}=\int dx{\frac {\delta F[G]}{\delta G(x)}}_{G=G[\rho ]}\cdot {\frac {\delta G[\rho ](x)}{\delta \rho (y)}}\ .}$

Если грамм - обычная дифференцируемая функция (локальный функционал) грамм, то это сводится к^[8]

${\displaystyle \displaystyle {\frac {\delta F[g(\rho )]}{\delta \rho (y)}}={\frac {\delta F[g(\rho )]}{\delta g[\rho (y)]}}\ {\frac {dg(\rho )}{d\rho (y)}}\ .}$

Определение функциональных производных

Формула для определения функциональных производных для общего класса функционалов может быть записана как интеграл функции и ее производных. Это обобщение Уравнение Эйлера – Лагранжа.: действительно, функциональная производная была введена в физика в рамках вывода Лагранж уравнение второго рода из принцип наименьшего действия в Лагранжева механика (18-ый век). Первые три примера ниже взяты из теория функционала плотности (20 век), четвертый из статистическая механика (19 век).

Формула

Учитывая функционал

${\displaystyle F[\rho ]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},}$

и функция ϕ(р), которая обращается в нуль на границе области интегрирования, из предыдущего раздела Определение,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\,\phi ({\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int f({\boldsymbol {r}},\rho +\varepsilon \phi ,\nabla \rho +\varepsilon \nabla \phi )\,d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +{\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\cdot \nabla \phi \right)d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +\nabla \cdot \left({\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\,\phi \right)-\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi -\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}}$

Вторая строка получена с помощью полная производная, куда ∂f /∂∇ρ это производная скаляра по вектору.^{[Примечание 4]} Третья линия была получена с помощью правило продукта для расхождения. Четвертая линия была получена с помощью теорема расходимости и условие, что ϕ=0 на границе области интеграции. С ϕ также произвольная функция, применяя основная лемма вариационного исчисления до последней строки функциональная производная равна

${\displaystyle {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}}$

куда ρ = ρ(р) и ж = ж (р, ρ, ∇ρ). Эта формула предназначена для случая функциональной формы, заданной F[ρ] в начале этого раздела. Для других функциональных форм определение функциональной производной можно использовать в качестве отправной точки для ее определения. (См. Пример Функционал кулоновской потенциальной энергии.)

Вышеупомянутое уравнение для функциональной производной может быть обобщено на случай, который включает более высокие размерности и производные более высокого порядка. Функционал будет,

${\displaystyle F[\rho ({\boldsymbol {r}})]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla ^{(2)}\rho ({\boldsymbol {r}}),\dots ,\nabla ^{(N)}\rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},}$

где вектор р ∈ ℝ^п, и ∇^(я) тензор, п^я компоненты являются операторами частных производных порядка я,

${\displaystyle \left[\nabla ^{(i)}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i}=1,2,\cdots ,n\ .}$^{[Примечание 5]}

Аналогичное применение определения функциональной производной дает

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho }}&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial (\nabla \rho )}}+\nabla ^{(2)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(2)}\rho \right)}}+\dots +(-1)^{N}\nabla ^{(N)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(N)}\rho \right)}}\\&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}+\sum _{i=1}^{N}(-1)^{i}\nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\ .\end{aligned}}}$

В последних двух уравнениях п^я компоненты тензора ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}}$ частные производные от ж относительно частных производных от ρ,

${\displaystyle \left[{\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}\equiv {\frac {\partial ^{\,i}\rho }{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\ ,}$

а тензорное скалярное произведение есть,

${\displaystyle \nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}=\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i}=1}^{n}\ {\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\ {\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}\ .}$ ^{[Примечание 6]}

Примеры

Функционал кинетической энергии Томаса – Ферми

В Модель Томаса – Ферми 1927 г. использовали функционал кинетической энергии для невзаимодействующей униформы электронный газ с первой попытки теория функционала плотности электронной структуры:

${\displaystyle T_{\mathrm {TF} }[\rho ]=C_{\mathrm {F} }\int \rho ^{5/3}(\mathbf {r} )\,d\mathbf {r} \,.}$

Поскольку подынтегральное выражение Т_TF[ρ] не содержит производных от ρ(р), функциональная производная от Т_TF[ρ] является,^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta T_{\mathrm {TF} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}&=C_{\mathrm {F} }{\frac {\partial \rho ^{5/3}(\mathbf {r} )}{\partial \rho (\mathbf {r} )}}\\&={\frac {5}{3}}C_{\mathrm {F} }\rho ^{2/3}(\mathbf {r} )\,.\end{aligned}}}$

Функционал кулоновской потенциальной энергии

Для электронно-ядерный потенциал, Томас и Ферми использовали Кулон функционал потенциальной энергии

${\displaystyle V[\rho ]=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}.}$

Применяя определение функциональной производной,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\ \phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})+\varepsilon \phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=\int {\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}|}}\,\phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}}$

Так,

${\displaystyle {\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ .}$

Для классической части электрон-электронное взаимодействие, Томас и Ферми использовали Кулон функционал потенциальной энергии

${\displaystyle J[\rho ]={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{\vert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\vert }}\,d\mathbf {r} d\mathbf {r} '\,.}$

От определение функциональной производной,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d\ }{d\epsilon }}\,J[\rho +\epsilon \phi ]\right]_{\epsilon =0}\\&{}=\left[{\frac {d\ }{d\epsilon }}\,\left({\frac {1}{2}}\iint {\frac {[\rho ({\boldsymbol {r}})+\epsilon \phi ({\boldsymbol {r}})]\,[\rho ({\boldsymbol {r}}')+\epsilon \phi ({\boldsymbol {r}}')]}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\right]_{\epsilon =0}\\&{}={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')\phi ({\boldsymbol {r}})}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'+{\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})\phi ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\\\end{aligned}}}$

Первый и второй члены в правой части последнего уравнения равны, так как р и р' во втором члене можно поменять местами без изменения значения интеграла. Следовательно,

${\displaystyle \int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}=\int \left(\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}d{\boldsymbol {r}}'\right)\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}}$

и функциональная производная функционала электрон-электронной кулоновской потенциальной энергии J[ρ] является,^[10]

${\displaystyle {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}d{\boldsymbol {r}}'\,.}$

Вторая функциональная производная равна

${\displaystyle {\frac {\delta ^{2}J[\rho ]}{\delta \rho (\mathbf {r} ')\delta \rho (\mathbf {r} )}}={\frac {\partial }{\partial \rho (\mathbf {r} ')}}\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{\vert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\vert }}\right)={\frac {1}{\vert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\vert }}.}$

Функционал кинетической энергии Вайцзеккера

В 1935 г. фон Вайцзеккер предложили добавить градиентную поправку к функционалу кинетической энергии Томаса-Ферми, чтобы он лучше подходил для молекулярного электронного облака:

${\displaystyle T_{\mathrm {W} }[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d\mathbf {r} =\int t_{\mathrm {W} }\ d\mathbf {r} \,,}$

куда

${\displaystyle t_{\mathrm {W} }\equiv {\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho }}\qquad {\text{and}}\ \ \rho =\rho ({\boldsymbol {r}})\ .}$

Используя ранее полученный формула для функциональной производной,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}&={\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \nabla \rho }}\\&=-{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-\left({\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}\right)\qquad {\text{where}}\ \ \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla \ ,\end{aligned}}}$

и в результате^[11]

${\displaystyle {\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=\ \ \,{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}\ .}$

Энтропия

В энтропия дискретного случайная переменная является функционалом функция массы вероятности.

${\displaystyle {\begin{aligned}H[p(x)]=-\sum _{x}p(x)\log p(x)\end{aligned}}}$

Таким образом,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{x}{\frac {\delta H}{\delta p(x)}}\,\phi (x)&{}=\left[{\frac {d}{d\epsilon }}H[p(x)+\epsilon \phi (x)]\right]_{\epsilon =0}\\&{}=\left[-\,{\frac {d}{d\varepsilon }}\sum _{x}\,[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\ \log[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=\displaystyle -\sum _{x}\,[1+\log p(x)]\ \phi (x)\,.\end{aligned}}}$

Таким образом,

${\displaystyle {\frac {\delta H}{\delta p(x)}}=-1-\log p(x).}$

Экспоненциальный

Позволять

${\displaystyle F[\varphi (x)]=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}.}$

Используя дельта-функцию в качестве тестовой функции,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\varphi (x)]}{\varepsilon }}\\&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\int (\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y))g(x)dx}-e^{\int \varphi (x)g(x)dx}}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon \int \delta (x-y)g(x)dx}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon g(y)}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}g(y).\end{aligned}}}$

Таким образом,

${\displaystyle {\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}=g(y)F[\varphi (x)].}$

Это особенно полезно при вычислении корреляционные функции от функция распределения в квантовая теория поля.

Функциональная производная функции

Функцию можно записать в виде интеграла как функционал. Например,

${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}})=F[\rho ]=\int \rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')\,d{\boldsymbol {r}}'.}$

Поскольку подынтегральное выражение не зависит от производных от ρ, функциональная производная от ρ(р) является,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\equiv {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}&={\frac {\partial \ \ }{\partial \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\,[\rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')]\\&=\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}').\end{aligned}}}$

Функциональная производная повторяющейся функции

Функциональная производная повторной функции ${\displaystyle f(f(x))}$ дан кем-то:

${\displaystyle {\frac {\delta f(f(x))}{\delta f(y)}}=f'(f(x))\delta (x-y)+\delta (f(x)-y)}$

и

${\displaystyle {\frac {\delta f(f(f(x)))}{\delta f(y)}}=f'(f(f(x))(f'(f(x))\delta (x-y)+\delta (f(x)-y))+\delta (f(f(x))-y)}$

В целом:

${\displaystyle {\frac {\delta f^{N}(x)}{\delta f(y)}}=f'(f^{N-1}(x)){\frac {\delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)}}+\delta (f^{N-1}(x)-y)}$

Ввод N = 0 дает:

${\displaystyle {\frac {\delta f^{-1}(x)}{\delta f(y)}}=-{\frac {\delta (f^{-1}(x)-y)}{f'(f^{-1}(x))}}}$

Использование дельта-функции в качестве тестовой функции

В физике принято использовать Дельта-функция Дирака ${\displaystyle \delta (x-y)}$ вместо общей тестовой функции ${\displaystyle \phi (x)}$, для получения функциональной производной в точке ${\displaystyle y}$ (это точка всей функциональной производной как частная производная является компонентом градиента):^[12]

${\displaystyle {\frac {\delta F[\rho (x)]}{\delta \rho (y)}}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\rho (x)]}{\varepsilon }}.}$

Это работает в тех случаях, когда ${\displaystyle F[\rho (x)+\varepsilon f(x)]}$ формально может быть расширен как ряд (или, по крайней мере, до первого порядка) в ${\displaystyle \varepsilon }$. Однако формула не является математически точной, поскольку ${\displaystyle F[\rho (x)+\varepsilon \delta (x-y)]}$ обычно даже не определяется.

Определение, данное в предыдущем разделе, основано на соотношении, которое сохраняется для всех тестовых функций. ϕ, поэтому можно подумать, что он должен выполняться и тогда, когда ϕ выбирается для конкретной функции, такой как дельта-функция. Однако последняя не является допустимой тестовой функцией (это даже не правильная функция).

В определении функциональная производная описывает, как функционал ${\displaystyle F[\varphi (x)]}$ изменяется в результате небольшого изменения всей функции ${\displaystyle \varphi (x)}$. Конкретная форма изменения ${\displaystyle \varphi (x)}$ не указан, но должен растягиваться на весь интервал, на котором ${\displaystyle x}$ определено. Использование конкретной формы возмущения, задаваемого дельта-функцией, означает, что ${\displaystyle \varphi (x)}$ варьируется только в точке ${\displaystyle y}$. За исключением этого пункта, нет никаких изменений в ${\displaystyle \varphi (x)}$.

Примечания

1. В соответствии с Джаквинта и Хильдебрандт (1996), п. 18 это обозначение принято в физический литература.
2. Называется дифференциал в (Парр и Янг 1989, п. 246), вариация или же первая вариация в (Курант и Гильберт 1953, п. 186), и вариация или же дифференциал в (Гельфанд и Фомин 2000, п. 11, § 3.2).
3. Здесь обозначение${\displaystyle {\frac {\delta {F}}{\delta \rho }}(x)\equiv {\frac {\delta {F}}{\delta \rho (x)}}}$вводится.
4. Для трехмерной декартовой системы координат

   ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}={\frac {\partial f}{\partial \rho _{x}}}\mathbf {\hat {i}} +{\frac {\partial f}{\partial \rho _{y}}}\mathbf {\hat {j}} +{\frac {\partial f}{\partial \rho _{z}}}\mathbf {\hat {k}} \,,\qquad &{\text{where}}\ \rho _{x}={\frac {\partial \rho }{\partial x}}\,,\ \rho _{y}={\frac {\partial \rho }{\partial y}}\,,\ \rho _{z}={\frac {\partial \rho }{\partial z}}\,\\&{\text{and}}\ \ \mathbf {\hat {i}} ,\ \mathbf {\hat {j}} ,\ \mathbf {\hat {k}} \ \ {\text{are unit vectors along the x, y, z axes.}}\end{aligned}}}$

5. Например, для случая трех измерений (п = 3) и производные второго порядка (я = 2) тензор ∇⁽²⁾ имеет компоненты,

   ${\displaystyle \left[\nabla ^{(2)}\right]_{\alpha \beta }={\frac {\partial ^{\,2}}{\partial r_{\alpha }\,\partial r_{\beta }}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \alpha ,\beta =1,2,3\,.}$

6. Например, для случая п = 3 и я = 2, тензорное скалярное произведение есть,

   ${\displaystyle \nabla ^{(2)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(2)}\rho \right)}}=\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}\ {\frac {\partial ^{\,2}}{\partial r_{\alpha }\,\partial r_{\beta }}}\ {\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha \beta }}}\qquad {\text{where}}\ \ \rho _{\alpha \beta }\equiv {\frac {\partial ^{\,2}\rho }{\partial r_{\alpha }\,\partial r_{\beta }}}\ .}$

Сноски

1. (Джаквинта и Хильдебрандт, 1996 г., п. 18)
2. (Парр и Янг 1989, п. 246, уравнение. А.2).
3. (Парр и Янг 1989, п. 246, уравнение. А.1).
4. (Парр и Янг 1989, п. 246).
5. (Парр и Янг 1989, п. 247, уравнение. А.3).
6. (Парр и Янг 1989, п. 247, уравнение. А.4).
7. (Грейнер и Райнхардт, 1996 г., п. 38, уравнение. 6).
8. (Грейнер и Райнхардт, 1996 г., п. 38, уравнение. 7).
9. (Парр и Янг 1989, п. 247, уравнение. А.6).
10. (Парр и Янг 1989, п. 248, уравнение. А.11).
11. (Парр и Янг 1989, п. 247, уравнение. А.9).
12. Грейнер и Райнхардт, 1996 г., п. 37

Рекомендации

• Курант, Ричард; Гильберт, Дэвид (1953). "Глава IV. Вариационное исчисление". Методы математической физики. Vol. I (Первое англ. Ред.). Нью Йорк, Нью Йорк: Издатели Interscience, Inc., стр. 164–274. ISBN  978-0471504474. МИСТЕР  0065391. Zbl  0001.00501..
• Frigyik, Béla A .; Шривастава, Сантош; Гупта, Майя Р. (январь 2008 г.), Введение в функциональные производные (PDF), Технический отчет UWEE, UWEETR-2008-0001, Сиэтл, Вашингтон: факультет электротехники Вашингтонского университета, стр. 7, заархивировано из оригинал (PDF) на 2017-02-17, получено 2013-10-23.
• Гельфанд, И.М.; Фомин, С.В. (2000) [1963], Вариационное исчисление, переведенный и отредактированный Ричардом А. Сильверманом (пересмотренное английское издание), Минеола, штат Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0486414485, МИСТЕР  0160139, Zbl  0127.05402.
• Джакинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан (1996), Вариационное исчисление 1. Лагранжев формализм., Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 310 (1-е изд.), Берлин: Springer-Verlag, ISBN  3-540-50625-X, МИСТЕР  1368401, Zbl  0853.49001.
• Грейнер, Уолтер; Рейнхардт, Иоахим (1996), «Раздел 2.3 - Функциональные производные», Квантование поля, С предисловием Д. А. Бромли, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр.36–38, ISBN  3-540-59179-6, МИСТЕР  1383589, Zbl  0844.00006.
• Parr, R.G .; Ян, В. (1989). «Приложение А, Функционал». Плотностно-функциональная теория атомов и молекул. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. 246–254. ISBN  978-0195042795.

внешняя ссылка

• «Функциональная производная», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]