Бесконечномерная мера Лебега - Infinite-dimensional Lebesgue measure

В математика, это теорема который нет аналога Мера Лебега на бесконечномерном Банахово пространство. Другие виды меры поэтому используются в бесконечномерных пространствах: часто абстрактное винеровское пространство конструкция используется. В качестве альтернативы можно рассматривать меру Лебега на конечномерных подпространствах большего пространства и рассматривать так называемые распространенные и застенчивые наборы.

Компактные наборы в банаховых пространствах могут также иметь естественные меры: Куб Гильберта, например, несет продукт мера Лебега. В том же духе компактный топологическая группа предоставленный Тихонов продукт бесконечно много копий круговая группа бесконечномерна и несет Мера Хаара то есть трансляционно-инвариантный.

Мотивация

Можно показать, что мера Лебега λ^п на Евклидово пространство р^п является локально конечный, строго положительный и перевод -инвариантный, явно:

• каждая точка Икс в р^п имеет открыто район N_Икс с конечной мерой λ^п(N_Икс) < +∞;
• каждое непустое открытое подмножество U из р^п имеет положительную меру λ^п(U)> 0; и
• если А есть любое измеримое по Лебегу подмножество р^п, Т_час : р^п → р^п, Т_час(Икс) = Икс + час, обозначает карту трансляции, а (Т_час)_∗(λ^п) обозначает продвигать, тогда (Т_час)_∗(λ^п)(А) = λ^п(А).

Геометрически говоря, эти три свойства делают меру Лебега очень приятной для работы. Когда мы рассматриваем бесконечномерное пространство, такое как L^п Космос или пространство непрерывных путей в евклидовом пространстве, было бы неплохо иметь такую ​​же хорошую меру для работы. К сожалению, это невозможно.

Формулировка теоремы

Позволять (Икс, || · ||) - бесконечномерная, отделяемый Банахово пространство. Тогда единственная локально конечная и трансляционно-инвариантная борелевская мера μ на Икс это тривиальная мера, с μ(А) = 0 для любого измеримого множества А. Эквивалентно, каждая трансляционно-инвариантная мера, не равная тождественно нулю, приписывает бесконечную меру всем открытым подмножествам Икс.

Доказательство теоремы

Позволять Икс - бесконечномерное сепарабельное банахово пространство с локально конечной трансляционно-инвариантной мерой μ. Используя локальную конечность, предположим, что для некоторого δ > 0, открытый мяч B(δ) радиуса δ имеет конечный μ-мера. С Икс бесконечномерна, существует бесконечная последовательность попарно непересекающиеся открытые шары B_п(δ/4), п ∈ N, радиуса δ/ 4, со всеми меньшими шарами B_п(δ/ 4) содержится внутри большего шара B(δ). Благодаря трансляционной инвариантности все меньшие шары имеют одинаковую меру; поскольку сумма этих мер конечна, все меньшие шары должны иметь μ-мерять ноль. Теперь, поскольку Икс отделимо, его можно покрыть счетным набором шаров радиуса δ/ 4; поскольку каждый такой шар имеет μ-измерить ноль, так же как и все пространство Икс, и так μ - тривиальная мера.

Рекомендации

• Хант, Брайан Р. и Зауэр, Тим и Йорк, Джеймс А. (1992). «Распространенность: трансляционно-инвариантный« почти каждый »на бесконечномерных пространствах». Бык. Амер. Математика. Soc. (Н.С.). 27 (2): 217–238. arXiv:математика / 9210220. Дои:10.1090 / S0273-0979-1992-00328-2. (См. Раздел 1: Введение)
• Окстоби, Джон С .; Прасад, Видху С. (1978). «Гомеоморфные меры на гильбертовом кубе». Тихоокеанский математический журнал. 77 (2).