Измерение продукта - Product measure

В математика, учитывая два измеримые пространства и меры на них можно получить измеряемое пространство продукта и мера продукта на этом пространстве. Концептуально это похоже на определение Декартово произведение из наборы и топология продукта двух топологических пространств, за исключением того, что для меры произведения может быть много естественных вариантов.

Позволять ${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$ и ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$ быть двумя измеримые пространства, то есть, ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ и ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ находятся сигма-алгебры на ${\displaystyle X_{1}}$ и ${\displaystyle X_{2}}$ соответственно, и пусть ${\displaystyle \mu _{1}}$ и ${\displaystyle \mu _{2}}$ - меры на этих пространствах. Обозначим через ${\displaystyle \Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2}}$ сигма-алгебра на Декартово произведение ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$ создано подмножества формы ${\displaystyle B_{1}\times B_{2}}$, куда ${\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1}}$ и ${\displaystyle B_{2}\in \Sigma _{2}.}$ Эта сигма-алгебра называется тензорное произведение σ-алгебра на пространстве продукта.

А мера продукта ${\displaystyle \mu _{1}\times \mu _{2}}$ определяется как мера на измеримом пространстве ${\displaystyle (X_{1}\times X_{2},\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2})}$ удовлетворение собственности

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\mu _{2}(B_{2})}$

для всех

${\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1},\ B_{2}\in \Sigma _{2}}$.

(При умножении мер, некоторые из которых бесконечны, мы определяем произведение равным нулю, если какой-либо коэффициент равен нулю.)

Фактически, когда пробелы ${\displaystyle \sigma }$-конечно, мера произведения определена однозначно, и для каждого измеримого множества E,

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{X_{2}}\mu _{1}(E^{y})\,d\mu _{2}(y)=\int _{X_{1}}\mu _{2}(E_{x})\,d\mu _{1}(x),}$

куда ${\displaystyle E_{x}=\{y\in X_{2}|(x,y)\in E\}}$ и ${\displaystyle E^{y}=\{x\in X_{1}|(x,y)\in E\}}$, которые являются измеримыми множествами.

Существование этой меры гарантируется Теорема Хана – Колмогорова.. Уникальность меры продукта гарантируется только в том случае, если оба ${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1},\mu _{1})}$ и ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2},\mu _{2})}$ находятся σ-конечный.

В Борелевские меры на Евклидово пространство р^п может быть получен как продукт п копии мер Бореля на реальная линия р.

Даже если два фактора пространства продукта полные пространства мер, пространство продукта может не быть. Следовательно, процедура завершения необходима для распространения меры Бореля на Мера Лебега, или расширить произведение двух мер Лебега, чтобы получить меру Лебега на пространстве произведения.

Конструкция, противоположная формированию произведения двух мер, имеет вид распад, который в некотором смысле «разбивает» данную меру на семейство мер, которые можно интегрировать, чтобы получить исходную меру.

Примеры

• Для двух пространств с мерой всегда существует единственная мера максимального произведения μ_{Максимум} на их произведение со свойством, что если μ_{Максимум}(А) конечно для некоторого измеримого множества А, то μ_{Максимум}(А) = μ (А) для любой меры произведения μ. В частности, его значение на любом измеряемом наборе, по крайней мере, равно значению любого другого показателя продукта. Это мера, производимая Теорема Каратеодори о продолжении.
• Иногда существует также единственная мера минимального произведения μ_мин, задаваемый μ_мин(S) = sup_{А⊂S, μМаксимум(А) конечный} μ_{Максимум}(А), куда А и S считаются измеримыми.
• Вот пример, когда продукт имеет более одного показателя продукта. Возьми продукт Икс×Y, куда Икс - единичный интервал с мерой Лебега, а Y - единичный интервал со счетной мерой и измеримыми всеми множествами. Тогда для меры минимального произведения мерой множества является сумма мер его горизонтальных секций, в то время как для максимальной меры произведения мерой множества является бесконечность меры, если только оно не содержится в объединении счетного числа множеств вида А×B, где либо А имеет меру Лебега 0 или B это одна точка. (В этом случае мера может быть конечной или бесконечной.) В частности, диагональ имеет меру 0 для меры минимального произведения и меру бесконечности для меры максимального произведения.

Смотрите также

• Теорема Фубини

Рекомендации

• Лёв, Мишель (1977). «8.2. Продуктовые меры и повторные интегралы». Теория вероятностей т. я (4-е изд.). Springer. С. 135–137. ISBN  0-387-90210-4.
• Халмос, Пол (1974). «35. Товарная мера». Теория меры. Springer. стр.143–145. ISBN  0-387-90088-8.

В эту статью включены материалы из раздела "Оценка продукта" PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.