Полная мера - Complete measure

В математика, а полная мера (или, точнее, полное пространство измерения) это измерить пространство в котором каждый подмножество каждого нулевой набор измерим (имея измерять ноль ). Более формально пространство меры (Икс, Σ,μ) является полным тогда и только тогда, когда

${\displaystyle S\subseteq N\in \Sigma {\mbox{ and }}\mu (N)=0\ \Rightarrow \ S\in \Sigma .}$

Мотивация

Необходимость рассмотрения вопросов полноты может быть проиллюстрирована рассмотрением проблемы пространств продуктов.

Предположим, что мы уже построили Мера Лебега на реальная линия: обозначим это пространство с мерой через (р, B, λ). Теперь мы хотим построить некоторую двумерную меру Лебега λ² на самолете р² как мера продукта. Наивно, мы бы взяли σ-алгебра на р² быть B ⊗ B, наименьший σ-алгебра, содержащая все измеримые «прямоугольники» А₁ × А₂ за А_я ∈ B.

Хотя этот подход действительно определяет измерить пространство, у него есть недостаток. Поскольку каждый одиночка множество имеет одномерную нулевую меру Лебега,

${\displaystyle \lambda ^{2}(\{0\}\times A)=\lambda (\{0\})\cdot \lambda (A)=0}$

для "любого" подмножества А из р. Однако предположим, что А это неизмеримое подмножество реальной линии, например Виталий набор. Тогда λ²-мера {0} ×А не определено, но

${\displaystyle \{0\}\times A\subseteq \{0\}\times \mathbb {R} ,}$

и в этом большом наборе есть λ²-мерять ноль. Итак, эта «двумерная мера Лебега», как только что определено, не является полной, и требуется некоторая процедура завершения.

Строительство полной меры

Учитывая (возможно, неполное) пространство с мерой (Икс, Σ,μ), есть расширение (Икс, Σ₀, μ₀) этого полного пространства с мерой. Наименьшее такое расширение (т. Е. Наименьшее σ-алгебра Σ₀) называется завершение меры пространства.

Завершение можно построить следующим образом:

• позволять Z - множество всех подмножеств нуль-μ-измерять подмножества Икс (интуитивно эти элементы Z которых еще нет в Σ, мешают полноте оставаться в силе);
• пусть Σ₀ быть σ-алгебра, порожденная Σ и Z (т.е. самый маленький σ-алгебра, содержащая каждый элемент Σ и Z);
• μ имеет продолжение на Σ₀ (что уникально, если μ является σ-конечный ), называется внешняя мера из μ, предоставленный инфимум

${\displaystyle \mu _{0}(C):=\inf\{\mu (D)\mid C\subseteq D\in \Sigma \}.}$

Потом (Икс, Σ₀, μ₀) является полным пространством с мерой и является пополнением (Икс, Σ,μ).

В приведенной выше конструкции можно показать, что каждый член Σ₀ имеет форму А ∪ B для некоторых А ∈ Σ и некоторые B ∈ Z, и

${\displaystyle \mu _{0}(A\cup B)=\mu (A).}$

Примеры

• Мера Бореля как определено на Бореле σ-алгебра, порожденная открыто интервалы действительной линии не является полной, поэтому для определения полной меры Лебега необходимо использовать описанную выше процедуру завершения. Это иллюстрируется тем фактом, что множество всех борелевских множеств над действительными числами имеет ту же мощность, что и действительные числа. В то время как Набор кантора является борелевским множеством, имеет нулевую меру и мощность его множества строго больше, чем у действительных чисел. Таким образом, существует подмножество канторова множества, которое не содержится в борелевских множествах. Следовательно, мера Бореля неполна.
• п-мерная мера Лебега - это пополнение п-кратное произведение одномерного пространства Лебега на себя. Это также пополнение меры Бореля, как и в одномерном случае.

Характеристики

Теорема Махарама утверждает, что каждое полное пространство с мерой разложимо в меру на континуум, а конечное или счетное счетная мера.

Рекомендации

• Терехин, А.П. (2001) [1994], «Полная мера», Энциклопедия математики, EMS Press