Распространенные и застенчивые наборы - Prevalent and shy sets

В математика, понятия распространенность и застенчивость являются понятиями "почти всюду " и "измерять ноль "которые хорошо подходят для изучения бесконечный -размерный пробелы и использовать переводно-инвариантный Мера Лебега на конечномерных вещественных пространствах. Термин «застенчивый» был предложен Американец математик Джон Милнор.

Определения

Распространенность и застенчивость

Позволять V быть настоящий топологическое векторное пространство и разреши S быть Измеримый по Борелю подмножество из V. S как говорят преобладающий если существует конечномерное подпространство п из V, называется набор датчиков, так что для всех v ∈ V у нас есть v + п ∈ S за λ_п-почти все п ∈ п, куда λ_п обозначает тусклый (п) -мерная мера Лебега на п. Другими словами, для каждого v ∈ V, Лебег - почти каждая точка гиперплоскость v + п лежит в S.

Неборелевское подмножество V считается преобладающим, если он содержит преобладающее борелевское подмножество.

Борелевское подмножество V как говорят застенчивый если это дополнять преобладает; неборелевское подмножество V считается застенчивым, если он содержится в застенчивом борелевском подмножестве.

Альтернативным и немного более общим определением является определение множества S стесняться, если существует поперечная мера за S (кроме тривиальная мера ).

Местная распространенность и застенчивость

Подмножество S из V как говорят локально застенчивый если каждая точка v ∈ V имеет район N_v чей пересечение с S застенчивый набор. S как говорят местно распространенный если его дополнение локально застенчиво.

Теоремы о распространенности и застенчивости

Если S стесняется, то и каждое подмножество S и каждый перевод S.
Каждый застенчивый набор Бореля S допускает конечную трансверсальную меру, имеющую компактный поддерживать. Причем эту меру можно выбрать так, чтобы ее носитель имел сколь угодно малую диаметр.
Любое конечное или счетный союз застенчивых наборов тоже стесняется.
Любой застенчивый набор тоже местный застенчивый. Если V это отделяемое пространство, то каждое локально застенчивое подмножество V тоже застенчива.
Подмножество S из п-размерный Евклидово пространство р^п застенчивый если и только если он имеет нулевую меру Лебега.
Любое преобладающее подмножество S из V является плотный в V.
Если V бесконечномерно, то каждое компактное подмножество V застенчивый.

В дальнейшем «почти каждый» будет означать, что указанное свойство выполняется для преобладающего подмножества рассматриваемого пространства.

Почти каждый непрерывная функция от интервал [0, 1] в реальная линия р является нигде не дифференцируемый; здесь пространство V является C([0, 1]; р) с топологией, индуцированной верхняя норма.
Практически каждая функция ж в L^п Космос L¹([0, 1]; р) обладает тем свойством, что

{displaystyle int _ {0} ^ {1} f (x), mathrm {d} xeq 0.}

Ясно, что то же свойство имеет место для пространств k-раз дифференцируемые функции C^k([0, 1]; р).

Для 1 <п ≤ + ∞, почти каждая последовательность а = (а_п)_п∈N в ℓ^п обладает тем свойством, что ряд

{displaystyle sum _ {nin mathbb {N}} a_ {n}}

расходится.

Распространенная версия Теорема вложения Уитни: Позволять M быть компактным многообразие класса C¹ и размер d содержалась в р^п. Для 1 ≤k ≤ + ∞, почти каждый C^k функция ж : р^п → р^2d+1 является встраивание из M.
Если А компактное подмножество р^п с Измерение Хаусдорфа d, м ≥ d, и 1 ≤k ≤ + ∞, то почти для каждого C^k функция ж : р^п → р^м, ж(А) также имеет размерность Хаусдорфа d.
Для 1 ≤k ≤ + ∞, почти каждый C^k функция ж : р^п → р^п обладает тем свойством, что все его периодические точки гиперболические. В частности, это справедливо для всего периода п очков, для любого целого числа п.

Распространенные и застенчивые наборы - Prevalent and shy sets

Содержание

Определения

Распространенность и застенчивость

Местная распространенность и застенчивость

Теоремы о распространенности и застенчивости

Рекомендации