Теорема вложения Уитни - Whitney embedding theorem

В математика, особенно в дифференциальная топология, существуют две теоремы вложения Уитни, названные в честь Хасслер Уитни:

В сильная теорема вложения Уитни заявляет, что любой гладкий; плавный настоящий $м$ -размерный многообразие (также требуется Хаусдорф и счетный ) возможно плавно встроенный в настоящий $2 м$ -Космос ( $р 2 м$ ), если $м > 0$ . Это наилучшая линейная оценка наименьшего размерного евклидова пространства, которое все $м$ -мерные многообразия вкладываются, как реальные проективные пространства измерения $м$ не может быть встроен в реальный $(2 м - 1)$ -пространство, если $м$ это сила двух (как видно из характеристический класс аргумент, также из-за Уитни).
В слабая теорема вложения Уитни утверждает, что любая непрерывная функция из $п$ -мерное многообразие в $м$ -мерное многообразие может быть аппроксимировано гладким вложением при условии $м > 2 п$ . Уитни аналогичным образом доказал, что такое отображение можно аппроксимировать погружение предоставлена $м > 2 п - 1$ . Этот последний результат иногда называют Теорема Уитни об погружении.

Немного о доказательстве

Общий план доказательства - начать с погружения. $ж : M \to р 2 м$ с поперечный самопересечения. Известно, что они существуют из более ранней работы Уитни о теорема о слабом погружении. Трансверсальность двойных точек следует из соображений общего положения. Идея в том, чтобы потом как-то убрать все самопересечения. Если $M$ имеет границу, можно удалить самопересечения, просто изотопируя $M$ в себя (изотопия находится в области $ж$ ) на подмногообразие $M$ который не содержит двойных точек. Таким образом, мы быстро приходим к случаю, когда $M$ не имеет границ. Иногда невозможно удалить двойные точки с помощью изотопии - рассмотрим, например, погружение круга в виде восьмерки в плоскость. В этом случае необходимо ввести локальную двойную точку.

Представляем двойную точку.

Как только у одного есть две противоположные двойные точки, один строит замкнутый контур, соединяющий их, давая замкнутый путь в $р 2 м$ . С $р 2 м$ является односвязный, можно предположить, что этот путь ограничивает диск, и если $2 м > 4$ можно далее предположить (по слабая теорема вложения Уитни), что диск вложен в $р 2 м$ такой, что он пересекает изображение $M$ только в его границах. Затем Уитни использует диск для создания 1-параметрическое семейство погружений, по сути толкая $M$ поперек диска, удаляя при этом две двойные точки. В случае погружения в форме восьмерки с введенной в нее двойной точкой движение толканием поперёк довольно просто (на фото).

Отмена противоположных двойных очков.

Этот процесс устранения противоположный знак двойные точки, проталкиваемые по диску, называются Уитни Уловка.

Чтобы представить локальную двойную точку, Уитни создал иммерсионные $α м : р м \to р 2 м$ которые приблизительно линейны вне единичного шара, но содержат одну двойную точку. За $м = 1$ такое погружение дается

{ displaystyle { begin {cases} alpha: mathbf {R} ^ {1} to mathbf {R} ^ {2} alpha (t) = left ({ frac {1} { 1 + t ^ {2}}}, t - { frac {2t} {1 + t ^ {2}}} right) end {case}}}

Обратите внимание, что если $α$ рассматривается как карта $р 3$ вот так:

{ displaystyle alpha (t) = left ({ frac {1} {1 + t ^ {2}}}, t - { frac {2t} {1 + t ^ {2}}}, 0 верно)}

тогда двойная точка может быть преобразована в вложение:

{ displaystyle beta (t, a) = left ({ frac {1} {(1 + t ^ {2}) (1 + a ^ {2})}}, т - { frac {2t} {(1 + t ^ {2}) (1 + a ^ {2})}}, { frac {ta} {(1 + t ^ {2}) (1 + a ^ {2})}} верно).}

Уведомление $β (т, 0) = α (т)$ и для $а \neq 0$ тогда как функция $т$ , $β (т, а)$ это вложение.

Для больших размеров м, Существуют $α м$ это может быть решено аналогичным образом в $р 2 м +1$ . Для встраивания в $р 5$ , например, определить

{ displaystyle alpha _ {2} (t_ {1}, t_ {2}) = left ( beta (t_ {1}, t_ {2}), t_ {2} right) = left ({ frac {1} {(1 + t_ {1} ^ {2}) (1 + t_ {2} ^ {2})}}, t_ {1} - { frac {2t_ {1}} {(1 + t_ {1} ^ {2}) (1 + t_ {2} ^ {2})}}, { frac {t_ {1} t_ {2}} {(1 + t_ {1} ^ {2} ) (1 + t_ {2} ^ {2})}}, t_ {2} right).}

Этот процесс в конечном итоге приводит к определению:

{ displaystyle alpha _ {m} (t_ {1}, t_ {2}, cdots, t_ {m}) = left ({ frac {1} {u}}, t_ {1} - { гидроразрыв {2t_ {1}} {u}}, { frac {t_ {1} t_ {2}} {u}}, t_ {2}, { frac {t_ {1} t_ {3}} {u }}, t_ {3}, cdots, { frac {t_ {1} t_ {m}} {u}}, t_ {m} right),}

куда

{ displaystyle u = (1 + t_ {1} ^ {2}) (1 + t_ {2} ^ {2}) cdots (1 + t_ {m} ^ {2}).}

Ключевые свойства $α м$ в том, что это вложение, за исключением двойной точки $α м (1, 0, ..., 0) = α м (-1, 0, ... , 0)$ . Более того, для $|(т 1, ... , т м)|$ большой, это примерно линейное вложение $(0, т 1, 0, т 2, ... , 0, т м)$ .

Возможные последствия трюка Уитни

Трюк Уитни использовали Стивен Смейл чтобы доказать час-теорема -кобордизм; из чего следует Гипотеза Пуанкаре в размерах $м \geq 5$ , а классификация гладкие конструкции на дисках (также размером 5 и выше). Это создает основу для теория хирургии, который классифицирует многообразия размерностью 5 и выше.

Для двух ориентированных подмногообразий дополнительных размерностей в односвязном многообразии размерности ≥ 5 можно применить изотопию к одному из подмногообразий так, чтобы все точки пересечения имели один и тот же знак.

История

Повод к доказательству Хасслер Уитни теоремы вложения для гладких многообразий (что довольно неожиданно) было первым полным изложением концепция многообразия именно потому, что в то время он объединил и объединил различные концепции многообразий: больше не возникало путаницы в отношении того, были ли абстрактные многообразия, внутренне определенные через карты, более или менее общими, чем многообразия, внешне определяемые как подмногообразия евклидова пространства. См. Также история многообразий и разновидностей для контекста.

Более четкие результаты

Хотя каждый $п$ -многообразие встраивается в $р 2 п$ , часто можно добиться большего успеха. Позволять $е (п)$ обозначим наименьшее целое число, чтобы все компактные связные $п$ -многообразия вложены в $р е (п)$ . Сильная теорема вложения Уитни утверждает, что $е (п) \leq 2 п$ . За $п = 1, 2$ у нас есть $е (п) = 2 п$ , как круг и Бутылка Клейна Показать. В более общем плане для $п = 2 k$ у нас есть $е (п) = 2 п$ , как $2 k$ -размерный реальное проективное пространство Показать. Результат Уитни можно улучшить до $е (п) \leq 2 п - 1$ пока не $п$ является степенью 2. Это результат Андре Хефлигер и Моррис Хирш (за $п > 4$ ) и К. Т. К. Уолл (за $п = 3$ ); эти авторы использовали важные предварительные результаты и частные случаи, доказанные Хиршем, Уильям С. Мэсси, Сергей Новиков и Владимир Рохлин.^[1] В настоящее время функция $е$ не известно в закрытом виде для всех целых чисел (сравните с Теорема Уитни об погружении, где известно аналогичное число).

Ограничения на многообразия

Можно усилить результаты, наложив на многообразие дополнительные ограничения. Например, $п$ -сфера всегда встраивается в $р п + 1$ - что лучше всего (закрыто $п$ -многообразия не могут быть вложены в $р п$ ). Любой компактный ориентируемый поверхность и любая компактная поверхность с непустой границей встраивается в $р 3$ хотя любой закрытый неориентируемый поверхностные потребности $р 4$ .

Если $N$ компактный ориентируемый $п$ -мерное многообразие, то $N$ встраивается в $р 2 п - 1$ (за $п$ не степень двойки, условие ориентируемости излишне). За $п$ степень двойки это результат Андре Хефлигер и Моррис Хирш (за $п > 4$ ) и Fuquan Fang (для $п = 4$ ); эти авторы использовали важные предварительные результаты, доказанные Жаком Боша и Хефлигером, Саймон Дональдсон, Хирш и Уильям С. Мэсси.^[1] Хефлигер доказал, что если $N$ компактный $п$ -размерный $k$ -связаны многообразие, то $N$ встраивается в $р 2 п - k$ предоставлена $2 k + 3 \leq п$ .^[1]

Изотопические версии

Относительно «простой» результат - доказать, что любые два вложения 1-многообразия в р⁴ изотопны. Это доказывается с использованием общего положения, которое также позволяет показать, что любые два вложения $п$ -многообразие в $р 2 п + 2$ изотопны. Этот результат является изотопической версией слабой теоремы вложения Уитни.

Ву доказал, что для $п \geq 2$ , любые два вложения $п$ -многообразие в $р 2 п + 1$ изотопны. Этот результат является изотопической версией сильной теоремы вложения Уитни.

В качестве изотопической версии его результата вложения Haefliger доказал, что если $N$ компактный $п$ -размерный $k$ -связного многообразия, то любые два вложения $N$ в $р 2 п - k + 1$ являются изотопными $2 k + 2 \leq п$ . Ограничение размера $2 k + 2 \leq п$ является точным: Хефлигер привел примеры нетривиально вложенных 3-сфер в $р 6$ (и, в более общем плане, $(2 d - 1)$ -сферы в $р 3 d$ ). Видеть дальнейшие обобщения.

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б ^c См. Раздел 2 Скопенкова (2008).

внешняя ссылка

Классификация вложений

[skopenkov2-1] а ^б ^c См. Раздел 2 Скопенкова (2008).

[1]