Теорема вложения Нэша - Nash embedding theorem

В Теоремы вложения Нэша (или теоремы вложения), названный в честь Джон Форбс Нэш заявляют, что каждый Риманово многообразие может быть изометрически встроенный в некоторые Евклидово пространство. Изометрические означает сохранение длины каждого дорожка. Например, сгибание без растяжения и разрыва страницы бумаги дает изометрическое вложение страницы в евклидово пространство, потому что кривые, нарисованные на странице, сохраняют то же длина дуги однако страница изогнута.

Первая теорема предназначена для непрерывно дифференцируемый (C¹) вложений, а второе для аналитический вложения или вложения, которые гладкий; плавный класса C^k, 3 ≤ k ≤ ∞. Эти две теоремы сильно отличаются друг от друга. Первая теорема имеет очень простое доказательство, но приводит к некоторым парадоксальным выводам, в то время как вторая теорема имеет техническое и противоречивое доказательство, но приводит к менее удивительному результату.

В C¹ Теорема была опубликована в 1954 г., C^k-теорема 1956 г. Впервые вещественно-аналитическая теорема была рассмотрена Нэшем в 1966 г .; его аргумент был значительно упрощен Грин и Якобовиц (1971). (Локальная версия этого результата была доказана Эли Картан и Морис Жане в 1920-е годы.) В вещественно-аналитическом случае сглаживающие операторы (см. ниже) в аргументе обратной функции Нэша могут быть заменены оценками Коши. Доказательство Нэша C^k- случай был позже экстраполирован на h-принцип и Теорема Нэша – Мозера о неявной функции. Более простое доказательство второй теоремы вложения Нэша было получено Гюнтер (1989) сокративший набор нелинейных уравнения в частных производных к эллиптической системе, к которой теорема сжимающего отображения может быть применен.

Теорема Нэша – Койпера (C¹ теорема вложения)

Теорема. Позволять (M,г) - риманово многообразие и: M^м → р^п а короткая C^∞-встраивание (или погружение ) в евклидово пространство р^п, где п ≥ м+1. Тогда для произвольного ε> 0 имеет место вложение (или погружение) ƒ_ε: M^м → р^п который

1. в классе C¹,
2. изометрический: для любых двух векторов v,ш ∈ Т_Икс(M) в касательное пространство в Икс ∈ M,

   ${\displaystyle g(v,w)=\langle df_{\epsilon }(v),df_{\epsilon }(w)\rangle }$,

3. ε-близко к ƒ:
   ${\displaystyle |f(x)-f_{\epsilon }(x)|<\epsilon ~\forall ~x\in M}$.

В частности, как следует из Теорема вложения Уитни, Любые м-мерное риманово многообразие допускает изометрическое C¹-встраивание в произвольно малое соседство через 2м-мерное евклидово пространство.

Первоначально теорема была доказана Джоном Нэшем с условием п ≥ м+2 вместо п ≥ м+1 и обобщено Николаас Койпер, с помощью относительно простой уловки.

Теорема имеет много противоречивых выводов. Например, отсюда следует, что любая замкнутая ориентированная риманова поверхность может быть C¹ изометрически вложенный в сколь угодно малый ε-шар в евклидовом трехмерном пространстве (для малых ${\displaystyle \epsilon }$ такого нет C²-встраивание с формула для кривизны Гаусса экстремальная точка такого вложения имела бы кривизну ≥ ε⁻²). И существуют C¹ изометрические вложения гиперболической плоскости в р³.

C^k теорема вложения

Техническое заявление, представленное в оригинальной статье Нэша, выглядит следующим образом: если M дано м-мерное риманово многообразие (аналитическое или класса C^k, 3 ≤ k ≤ ∞), то существует число п (с участием п ≤ м(3м+11) / 2, если M компактное многообразие, или п ≤ м(м+1)(3м+11) / 2, если M - некомпактное многообразие) и инъективный карта ƒ: M → р^п (также аналитический или классный C^k) такой, что для каждой точки п из M, то производная dƒ_п это линейная карта от касательное пространство Т_пM к р^п что совместимо с данным внутренний продукт на Т_пM и стандарт скалярное произведение из р^п в следующем смысле:

${\displaystyle \langle u,v\rangle =df_{p}(u)\cdot df_{p}(v)}$

для всех векторов ты, v в Т_пM. Это неопределенная система уравнения в частных производных (PDE).

Позже беседа с Робертом М. Соловаем Нэш упомянул об ошибке в исходном аргументе при выводе достаточного значения размерности пространства вложения для случая некомпактных многообразий.

Теорема вложения Нэша является глобальной теоремой в том смысле, что все многообразие вложено в р^п. Теорема о локальном вложении намного проще и может быть доказана с помощью теорема о неявной функции продвинутого исчисления в координировать окрестности коллектора. Доказательство теоремы о глобальном вложении опирается на далеко идущее обобщение Нэша теоремы о неявной функции, Теорема Нэша – Мозера. и метод Ньютона с посткондиционированием. Основная идея решения Нэша проблемы вложения заключается в использовании Метод Ньютона доказать существование решения указанной выше системы УЧП. Стандартный метод Ньютона не сходится в применении к системе; Нэш использует операторы сглаживания, определенные как свертка чтобы итерация Ньютона сходилась: это метод Ньютона с посткондиционированием. Тот факт, что этот метод дает решение, сам по себе теорема существования и представляющий самостоятельный интерес. Существует также более старый метод под названием Итерация Канторовича который напрямую использует метод Ньютона (без введения сглаживающих операторов).

использованная литература

• Грин, Роберт Э.; Якобовиц, Ховард (1971), "Аналитические изометрические вложения", Анналы математики, 93 (1): 189–204, Дои:10.2307/1970760, JSTOR  1970760, Г-Н  0283728
• Гюнтер, Маттиас (1989), "Zum Einbettungssatz von J. Nash" [О теореме вложения Дж. Нэша], Mathematische Nachrichten (на немецком), 144: 165–187, Дои:10.1002 / мана.19891440113, Г-Н  1037168
• Койпер, Николаас Хендрик (1955), «О C¹-изометрические вложения. Я", Indagationes Mathematicae (Труды), 58: 545–556, Дои:10.1016 / S1385-7258 (55) 50075-8, Г-Н  0075640
• Койпер, Николаас Хендрик (1955), "О C¹-изометрические вложения. II ", Indagationes Mathematicae (Труды), 58: 683–689, Дои:10.1016 / S1385-7258 (55) 50093-X, Г-Н  0075640
• Нэш, Джон (1954), "C¹-изометрические вложения », Анналы математики, 60 (3): 383–396, Дои:10.2307/1969840, JSTOR  1969840, Г-Н  0065993.
• Нэш, Джон (1956), «Проблема вложения для римановых многообразий», Анналы математики, 63 (1): 20–63, Дои:10.2307/1969989, JSTOR  1969989, Г-Н  0075639.
• Нэш, Джон (1966), «Аналитичность решений задачи неявной функции с аналитическими данными», Анналы математики, 84 (3): 345–355, Дои:10.2307/1970448, JSTOR  1970448, Г-Н  0205266.