Мера Хаара - Haar measure

В математический анализ, то Мера Хаара присваивает «неизменный объем» подмножествам локально компактные топологические группы, следовательно, определяя интеграл для функций в этих группах.

Этот мера был представлен Альфред Хаар в 1933 году, хотя это особый случай для Группы Ли был представлен Адольф Гурвиц в 1897 г. под названием «инвариантный интеграл».^[1][2] Меры Хаара используются во многих частях анализ, теория чисел, теория групп, теория представлений, статистика, теория вероятности, и эргодическая теория.

Предварительные мероприятия

Позволять ${\displaystyle (G,\cdot )}$ быть локально компактный Хаусдорф топологическая группа. В ${\displaystyle \sigma }$-алгебра генерируется всеми открытыми подмножествами ${\displaystyle G}$ называется Борелевская алгебра. Элемент алгебры Бореля называется Набор Бореля. Если ${\displaystyle g}$ является элементом ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle S}$ это подмножество ${\displaystyle G}$, то определим левую и правую переводит из ${\displaystyle S}$ на g следующим образом:

• Левый перевод:

${\displaystyle gS=\{g\cdot s\,:\,s\in S\}.}$

• Правильный перевод:

${\displaystyle Sg=\{s\cdot g\,:\,s\in S\}.}$

Left и right переводят борелевские множества отображения в борелевские множества.

Мера ${\displaystyle \mu }$ на борелевских подмножествах ${\displaystyle G}$ называется лево-трансляционно-инвариантный если для всех борелевских подмножеств ${\displaystyle S\subset G}$ и все ${\displaystyle g\in G}$ надо

${\displaystyle \mu (gS)=\mu (S).\quad }$

Мера ${\displaystyle \mu }$ на борелевских подмножествах ${\displaystyle G}$ называется право-трансляционно-инвариантный если для всех борелевских подмножеств ${\displaystyle S\subset G}$ и все ${\displaystyle g\in G}$ надо

${\displaystyle \mu (Sg)=\mu (S).\quad }$

Теорема Хаара

Есть, вплоть до положительная мультипликативная константа, уникальная счетно аддитивный, нетривиальная мера ${\displaystyle \mu }$ на борелевских подмножествах ${\displaystyle G}$ удовлетворяющие следующим свойствам:

• Мера ${\displaystyle \mu }$ лево-трансляционно-инвариантный: ${\displaystyle \mu (gS)=\mu (S)}$ для каждого ${\displaystyle g\in G}$ и все борелевские множества ${\displaystyle S\subset G}$.
• Мера ${\displaystyle \mu }$ конечна на каждом компакте: ${\displaystyle \mu (K)<\infty }$ для всех компактных ${\displaystyle K\subset G}$.
• Мера ${\displaystyle \mu }$ является внешний регулярный на борелевских множествах ${\displaystyle S\subset G}$:

${\displaystyle \mu (S)=\inf\{\mu (U):S\subseteq U,U{\text{ open}}\}.}$

• Мера ${\displaystyle \mu }$ является внутренний регулярный на открытых наборах ${\displaystyle U\subset G}$:

${\displaystyle \mu (U)=\sup\{\mu (K):K\subseteq U,K{\text{ compact}}\}.}$

Такая мера на ${\displaystyle G}$ называется левая мера Хаара. Как следствие вышеуказанных свойств можно показать, что ${\displaystyle \mu (U)>0}$ для каждого непустого открытого подмножества ${\displaystyle U\subset G}$. В частности, если ${\displaystyle G}$ компактно, то ${\displaystyle \mu (G)}$ конечна и положительна, поэтому мы можем однозначно указать левую меру Хаара на ${\displaystyle G}$ добавив условие нормализации ${\displaystyle \mu (G)=1}$.

Некоторые авторы определяют меру Хаара на Наборы Baire а не борелевские множества. Это делает ненужными условия регулярности, поскольку меры Бэра автоматически регулярны. Халмос^[3] довольно сбивает с толку термин «множество Бореля» для элементов ${\displaystyle \sigma }$-кольцо, порожденное компактами, и определяет меру Хаара на этих множествах.

Левая мера Хаара удовлетворяет условию внутренней регулярности для всех ${\displaystyle \sigma }$-конечные борелевские множества, но могут не быть внутренними регулярными для все Множества Бореля. Например, произведение единичной окружности (с ее обычной топологией) и вещественной прямой с дискретной топологией является локально компактной группой с топологией произведения, и мера Хаара на этой группе не является внутренней регулярной для замкнутого подмножества ${\displaystyle \{1\}\times [0,1]}$. (Компактные подмножества этого вертикального отрезка - конечные множества, а точки имеют меру ${\displaystyle 0}$, поэтому мера любого компактного подмножества этого вертикального отрезка равна ${\displaystyle 0}$. Но, используя внешнюю регулярность, можно показать, что отрезок имеет бесконечную меру.)

Существование и единственность (с точностью до скейлинга) левой меры Хаара впервые была доказана в полной общности Андре Вайль.^[4] Доказательство Вейля использовало аксиома выбора и Анри Картан предоставил доказательство, которое избегало его использования.^[5] Доказательство Картана также устанавливает существование и единственность одновременно. Упрощенное и полное изложение аргументов Картана было дано Альфсеном в 1963 году.^[6] Частный случай инвариантной меры для второй счетный локально компактные группы были показаны Хааром в 1933 г.^[1]

Построение меры Хаара

Конструкция с использованием компактных подмножеств

Следующий метод построения меры Хаара по сути является методом, использованным Хааром и Вейлем.

Для любых подмножеств ${\displaystyle S,T\subset G}$ с ${\displaystyle S}$ непустое определение ${\displaystyle [T:S]}$ быть наименьшим количеством левых переводов ${\displaystyle S}$ эта обложка ${\displaystyle T}$ (так что это неотрицательное целое число или бесконечность). Это не аддитивно на компактах ${\displaystyle K\subset G}$, хотя у него есть свойство ${\displaystyle [K:U]+[L:U]=[K\cup L:U]}$ для непересекающихся компактов ${\displaystyle K,L\subset G}$ при условии, что ${\displaystyle U}$ - достаточно малая открытая окрестность единицы (зависящая от ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle L}$). Идея меры Хаара состоит в том, чтобы взять своего рода предел ${\displaystyle [K:U]}$ в качестве ${\displaystyle U}$ становится меньше, чтобы сделать его аддитивным на всех парах непересекающихся компактов, хотя сначала его нужно нормализовать, чтобы предел не был просто бесконечностью. Так исправим компактный набор ${\displaystyle A}$ с непустой внутренностью (которая существует, поскольку группа локально компактна) и для компакта ${\displaystyle K}$ определять

${\displaystyle \mu _{A}(K)=\lim _{U}{\frac {[K:U]}{[A:U]}}}$

где предел берется по подходящему ориентированному множеству открытых окрестностей идентичности, в конечном итоге содержащихся в любой данной окрестности; существование направленного множества, такого что предел существует, следует с использованием Теорема Тихонова.

Функция ${\displaystyle \mu _{A}}$ аддитивна на непересекающихся компактных подмножествах ${\displaystyle G}$, откуда следует, что это регулярный содержание. Из обычного контента можно построить меру, сначала расширив ${\displaystyle \mu _{A}}$ для открытия множеств по внутренней регулярности, затем для всех множеств по внешней регулярности, а затем ограничения его до борелевских множеств. (Даже для открытых сетов ${\displaystyle U}$, соответствующая мера ${\displaystyle \mu _{A}(U)}$ не обязательно должно задаваться приведенной выше формулой lim sup. Проблема в том, что функция, задаваемая формулой lim sup, не является счетно субаддитивной в общем случае и, в частности, бесконечна на любом множестве без компактного замыкания, поэтому не является внешней мерой.)

Конструкция с использованием функций с компактным носителем

Картан представил другой способ построения меры Хаара как Радоновая мера (положительный линейный функционал на непрерывных функциях с компактным носителем), который аналогичен приведенной выше конструкции за исключением того, что ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle K}$, и ${\displaystyle U}$ положительные непрерывные функции с компактным носителем, а не подмножества ${\displaystyle G}$. В этом случае мы определяем ${\displaystyle [K:U]}$ быть инфимумом чисел ${\displaystyle c_{1}+\cdots +c_{n}}$ такой, что ${\displaystyle K(g)}$ меньше линейной комбинации ${\displaystyle c_{1}U(g_{1}g)+\cdots +c_{n}U(g_{n}g)}$ левых переводов ${\displaystyle U}$ для некоторых ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}\in G}$.Как и раньше, мы определяем

${\displaystyle \mu _{A}(K)=\lim _{U}{\frac {[K:U]}{[A:U]}}}$.

Тот факт, что предел существует, требует некоторых усилий для доказательства, хотя преимущество этого состоит в том, что доказательство избегает использования аксиомы выбора, а также дает единственность меры Хаара как побочный результат. Функционал ${\displaystyle \mu _{A}}$ продолжается до положительного линейного функционала на непрерывных функциях с компактным носителем и, таким образом, дает меру Хаара. (Обратите внимание, что даже если предел линейен по ${\displaystyle K}$, отдельные условия ${\displaystyle [K:U]}$ обычно не линейны по ${\displaystyle K}$.)

Конструкция с использованием средних значений функций

Фон Нейман дал метод построения меры Хаара с использованием средних значений функций, хотя он работает только для компактных групп. Идея в том, что с учетом функции ${\displaystyle f}$ на компактной группе можно найти выпуклое сочетание ${\displaystyle \sum a_{i}f(g_{i}g)}$ (куда ${\displaystyle \sum a_{i}=1}$) его левого сдвига, который отличается от постоянной функции не более чем на небольшое число ${\displaystyle \epsilon }$. Затем показывают, что как ${\displaystyle \epsilon }$ стремится к нулю, значения этих постоянных функций стремятся к пределу, который называется средним значением (или интегралом) функции ${\displaystyle f}$.

Для групп, которые локально компактны, но не компактны, эта конструкция не дает меры Хаара, так как среднее значение функций с компактным носителем равно нулю. Однако что-то подобное работает для почти периодические функции на группе, которые имеют среднее значение, хотя это не дано относительно меры Хаара.

Конструкция на группах Ли

На п-мерной группы Ли, меру Хаара легко построить как меру, индуцированную левоинвариантной п-форма. Это было известно до теоремы Хаара.

Правильная мера Хаара

Также можно доказать, что существует единственная (с точностью до умножения на положительная константа) борелевская мера, инвариантная относительно правого сдвига ${\displaystyle \nu }$ удовлетворяющая указанным выше условиям регулярности и конечность на компактах, но не обязательно совпадающая с лево-трансляционно-инвариантной мерой ${\displaystyle \mu }$. Левая и правая меры Хаара совпадают только для так называемых унимодулярные группы (Смотри ниже). Однако довольно просто найти связь между ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \nu }$.

Действительно, для борелевского множества ${\displaystyle S}$, обозначим через ${\displaystyle S^{-1}}$ набор инверсий элементов ${\displaystyle S}$. Если мы определим

${\displaystyle \mu _{-1}(S)=\mu (S^{-1})\quad }$

то это правая мера Хаара. Чтобы показать правильную инвариантность, примените определение:

${\displaystyle \mu _{-1}(Sg)=\mu ((Sg)^{-1})=\mu (g^{-1}S^{-1})=\mu (S^{-1})=\mu _{-1}(S).\quad }$

Поскольку правая мера единственна, отсюда следует, что ${\displaystyle \mu _{-1}}$ кратно ${\displaystyle \nu }$ и так

${\displaystyle \mu (S^{-1})=k\nu (S)\,}$

для всех борелевских наборов ${\displaystyle S}$, куда ${\displaystyle k}$ - некоторая положительная константа.

Модульная функция

В оставили сдвиг правой меры Хаара является правой мерой Хаара. Точнее, если ${\displaystyle \nu }$ - правая мера Хаара, то

${\displaystyle S\mapsto \nu (g^{-1}S)\quad }$

также инвариантен справа. Таким образом, в силу единственности с точностью до постоянного масштабного коэффициента меры Хаара существует функция ${\displaystyle \Delta }$ от группы к положительным реалам, называемым Модуль Хаара, модульная функция или же модульный характер, такое, что для любого борелевского множества ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \nu (g^{-1}S)=\Delta (g)\nu (S).\quad }$

Поскольку правая мера Хаара определена с точностью до положительного масштабного коэффициента, это уравнение показывает, что модулярная функция не зависит от выбора правой меры Хаара в приведенном выше уравнении.

Модулярная функция - это непрерывный гомоморфизм группы в мультипликативную группу положительные действительные числа. Группа называется унимодулярный если модульная функция тождественно ${\displaystyle 1}$, или, что то же самое, если мера Хаара инвариантна как слева, так и справа. Примеры унимодулярных групп: абелевы группы, компактные группы, дискретные группы (например., конечные группы ), полупростые группы Ли и подключен нильпотентные группы Ли.^{[нужна цитата ]} Примером неунимодулярной группы является группа аффинных преобразований

${\displaystyle {\big \{}x\mapsto ax+b:a\in \mathbb {R} \setminus \{0\},b\in \mathbb {R} {\big \}}=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&1\end{bmatrix}}\right\}}$

на реальной линии. Этот пример показывает, что разрешимая группа Ли может не быть унимодулярной. В этой группе левая мера Хаара задается формулой ${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}da\wedge db}$, а правую меру Хаара - ${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}da\wedge db}$.

Меры на однородных пространствах

Если локально компактная группа ${\displaystyle G}$ действует транзитивно на однородное пространство ${\displaystyle G/H}$, можно спросить, имеет ли это пространство инвариантную меру или, в более общем смысле, полуинвариантную меру со свойством, что ${\displaystyle \mu (gS)=\chi (g)\mu (S)}$ для какого-то персонажа ${\displaystyle \chi }$ из ${\displaystyle G}$. Необходимым и достаточным условием существования такой меры является ограничение ${\displaystyle \chi |_{H}}$ равно ${\displaystyle \Delta |_{H}/\delta }$, куда ${\displaystyle \Delta }$ и ${\displaystyle \delta }$ являются модульными функциями ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ соответственно. В частности, инвариантная мера на ${\displaystyle G/H}$ существует тогда и только тогда, когда модульная функция ${\displaystyle \Delta }$ из ${\displaystyle G}$ ограниченный ${\displaystyle H}$ модульная функция ${\displaystyle \delta }$ из ${\displaystyle H}$.

Пример

Если ${\displaystyle G}$ это группа ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ и ${\displaystyle H}$ - подгруппа верхнетреугольных матриц, то модулярная функция ${\displaystyle H}$ нетривиальна, но модульная функция ${\displaystyle G}$ тривиально. Их частное нельзя распространить на любой символ ${\displaystyle G}$, поэтому факторпространство ${\displaystyle G/H}$ (который можно рассматривать как одномерный реальное проективное пространство ) не имеет даже полуинвариантной меры.

Интеграл Хаара

Используя общую теорию Интеграция Лебега, тогда можно определить интеграл для всех измеримых по Борелю функций ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle G}$. Этот интеграл называется Интеграл Хаара и обозначается как:

${\displaystyle \int f(x)\,d\mu (x)}$

куда ${\displaystyle \mu }$ - мера Хаара.

Одно свойство левой меры Хаара ${\displaystyle \mu }$ это, позволяя ${\displaystyle s}$ быть элементом ${\displaystyle G}$, допустимо следующее:

${\displaystyle \int _{G}f(sx)\ d\mu (x)=\int _{G}f(x)\ d\mu (x)}$

для любой интегрируемой функции Хаара ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle G}$. Это немедленно для индикаторные функции:

${\displaystyle \int {\mathit {1}}_{A}(tg)\,d\mu =\int {\mathit {1}}_{t^{-1}A}(g)\,d\mu =\mu (t^{-1}A)=\mu (A)=\int {\mathit {1}}_{A}(g)\,d\mu }$

что по сути является определением левой инвариантности.

Примеры

• Мера Хаара на топологической группе ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ который принимает значение ${\displaystyle 1}$ на интервале ${\displaystyle [0,1]}$ равно ограничению Мера Лебега к борелевским подмножествам ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Это можно обобщить на ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},+)}$.
• Если ${\displaystyle G}$ группа ненулевых действительных чисел с операцией умножения, то мера Хаара ${\displaystyle \mu }$ дан кем-то

${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{|t|}}\,dt}$

для любого борелевского подмножества ${\displaystyle S}$ ненулевых действительных чисел.

Например, если ${\displaystyle S}$ считается интервалом ${\displaystyle [a,b]}$, то находим ${\displaystyle \mu (S)=\log(b/a)}$. Теперь позвольте мультипликативной группе действовать на этом интервале умножением всех ее элементов на число ${\displaystyle g}$, в результате чего ${\displaystyle gS}$ будучи интервалом ${\displaystyle [g\cdot a,g\cdot b]}$. Измеряя этот новый интервал, мы находим ${\displaystyle \mu (gS)=\log((g\cdot b)/(g\cdot a))=\log(b/a)=\mu (S)}$.

• Если группа ${\displaystyle G}$ представляется как открытое подмногообразие в ${\displaystyle R^{n}}$ то левая мера Хаара на ${\displaystyle G}$ дан кем-то ${\displaystyle {\frac {1}{J(x)}}d^{n}x}$, куда ${\displaystyle J(x)}$ это Якобиан умножения слева на ${\displaystyle x}$. Таким же образом дается правая мера Хаара, за исключением ${\displaystyle J(x)}$ якобиан правого умножения на ${\displaystyle x}$.
• Как частный случай предыдущей конструкции для ${\displaystyle G=GL(n,\mathbb {R} )}$, любая левая мера Хаара является правой мерой Хаара и одна такая мера ${\displaystyle \mu }$ дан кем-то

${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{1 \over |\det(X)|^{n}}\,dX}$

куда ${\displaystyle dX}$ обозначает меру Лебега на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}$ отождествляется с набором всех ${\displaystyle n\times n}$-матрицы. Это следует из формула замены переменных.

• На любом Группа Ли измерения ${\displaystyle d}$ левой мере Хаара можно сопоставить любую ненулевую левоинвариантную ${\displaystyle d}$-форма ${\displaystyle \omega }$, как Мера Лебега ${\displaystyle |\omega |}$; и аналогично для правых мер Хаара. Это также означает, что модульная функция может быть вычислена как абсолютное значение детерминант из присоединенное представительство.
• Чтобы определить меру Хаара ${\displaystyle \mu }$ на круговая группа ${\displaystyle \mathbb {T} }$рассмотрим функцию ${\displaystyle f}$ из ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ на ${\displaystyle \mathbb {T} }$ определяется ${\displaystyle f(t)=(\cos(t),\sin(t))}$. потом ${\displaystyle \mu }$ можно определить как

${\displaystyle \mu (S)={\frac {1}{2\pi }}m\left(f^{-1}(S)\right),}$

куда ${\displaystyle m}$ - мера Лебега. Фактор ${\displaystyle (2\pi )^{-1}}$ выбирается так, чтобы ${\displaystyle \mu (\mathbb {T} )=1}$.

• В гипербола единиц ${\displaystyle \{(x,y):x^{2}-y^{2}=1,x>0\}}$ можно рассматривать как группу при умножении, определяемом как с разделенные комплексные числа ${\displaystyle z=x+yj,\ \ j^{2}=+1.}$ Обычный площадь измерять по полумесяцу ${\displaystyle C=\{(x,y):|y|<x,\ \ x^{2}-y^{2}<1\}}$ служит для определения гиперболический угол как площадь его гиперболический сектор. Мера Хаара единичной гиперболы порождается гиперболическим углом сегментов на гиперболе. Например, мера в одну единицу дается отрезком, идущим от (1,1) до (e, 1 / e), где e - это Число Эйлера. Гиперболический угол был использован в математической физике с быстрота заменяющий классический скорость.

• Если ${\displaystyle G}$ группа ненулевых кватернионы, тогда ${\displaystyle G}$ можно рассматривать как открытое подмножество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$. Мера Хаара ${\displaystyle \mu }$ дан кем-то

${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})^{2}}}\,dx\,dy\,dz\,dw}$

куда ${\displaystyle dx\wedge dy\wedge dz\wedge dw}$ обозначает меру Лебега в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ и ${\displaystyle S}$ является борелевским подмножеством ${\displaystyle G}$.

• Если ${\displaystyle G}$ аддитивная группа ${\displaystyle p}$-адические числа для простого ${\displaystyle p}$, то мера Хаара задается положением ${\displaystyle a+p^{n}O}$ иметь меру ${\displaystyle p^{-n}}$, куда ${\displaystyle O}$ кольцо ${\displaystyle p}$-адические целые числа.

Использует

В том же номере журнала Анналы математики и сразу после статьи Хаара теорема Хаара была использована для решения Пятая проблема Гильберта для компактных групп Джон фон Нейман.^[7]

Пока не ${\displaystyle G}$ дискретная группа, невозможно определить счетно-аддитивную левоинвариантную регулярную меру на все подмножества ${\displaystyle G}$, предполагая аксиома выбора, согласно теории неизмеримые множества.

Абстрактный гармонический анализ

Меры Хаара используются в гармонический анализ на локально компактных группах, в частности в теории Понтрягинская двойственность.^[8][9][10] Чтобы доказать существование меры Хаара на локально компактной группе ${\displaystyle G}$ достаточно показать левоинвариантный Радоновая мера на ${\displaystyle G}$.

Математическая статистика

В математической статистике меры Хаара используются для априорных показателей, которые априорные вероятности для компактных групп преобразований. Эти предварительные меры используются для построения допустимые процедуры, апеллируя к характеристике допустимых процедур как Байесовские процедуры (или пределы байесовских процедур) Вальд. Например, правая мера Хаара для семейства распределений с параметр местоположения приводит к Оценщик Питмана, который Лучший эквивариантный. Когда левая и правая меры Хаара различаются, правая мера обычно предпочтительнее в качестве предварительного распределения. Для группы аффинных преобразований на пространстве параметров нормального распределения правая мера Хаара является Джеффрис приор мера.^[11] К сожалению, даже правильные меры Хаара иногда приводят к бесполезным априорным показателям, которые нельзя рекомендовать для практического использования, как и другие методы построения априорных мер, которые избегают субъективной информации.^[12]

Еще одно применение меры Хаара в статистике: условный вывод, в котором выборочное распределение статистики обусловлено другой статистикой данных. В теоретико-инвариантном условном выводе выборочное распределение обусловлено инвариантом группы преобразований (относительно которой определена мера Хаара). Результат кондиционирования иногда зависит от порядка, в котором используются инварианты, и от выбора максимальный инвариант, так что само по себе статистический принцип инвариантности не может выбрать какую-либо уникальную лучшую условную статистику (если таковая существует); нужен хотя бы другой принцип.

Для некомпактных групп статистики расширили результаты меры Хаара, используя приемлемые группы.^[13]

Обратная теорема Вейля

В 1936 году Вейль доказал обратное (своего рода) теореме Хаара, показав, что если группа имеет левоинвариантную меру с некоторой разделение свойство,^[3] тогда можно определить топологию на группе, и пополнение группы локально компактно, и данная мера по существу совпадает с мерой Хаара на этом пополнении.

Смотрите также

• Понтрягинская двойственность
• Теорема о представлении Рисса – Маркова – Какутани

Примечания

1. Хаар, А. (1933), "Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen", Анналы математики, 2, 34 (1), стр. 147–169, Дои:10.2307/1968346, JSTOR  1968346
2. И. М. Джеймс, История топологии, с.186.
3. Халмос, Пол Р. (1950). Теория меры. Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. п. 219-220. ISBN  978-1-4684-9442-6.
4. Вайль, Андре (1940), Интеграция в топологические группы и приложения, Actualités Scientifiques et Industrielles, 869, Париж: Герман
5. Картан, Анри (1940), "Sur la mesure de Haar", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 211: 759–762
6. Альфсен, Э.М. (1963), «Упрощенное конструктивное доказательство существования и единственности меры Хаара», Математика. Сканд., 12: 106–116
7. фон Нейман, Дж. (1933), "Die Einfuhrung Analytischer Parameter in Topologischen Gruppen", Анналы математики, 2, 34 (1), с. 170–179, Дои:10.2307/1968347, JSTOR  1968347
8. Банащик, Войцех (1991). Аддитивные подгруппы топологических векторных пространств. Конспект лекций по математике. 1466. Берлин: Springer-Verlag. С. viii + 178. ISBN  3-540-53917-4. МИСТЕР  1119302.
9. Юрий Иванович Любич. Введение в теорию банаховых представлений групп. Перевод с русскоязычного издания 1985 г. (Харьков (Харьков), Украина). Birkhäuser Verlag. 1988 г.
10. Чарльз Ф. Данкл и Дональд Э. Рамирес: Темы гармонического анализа. Appleton-Century-Crofts. 1971 г. ISBN  039027819X.
11. Бергер, Джеймс О. (1985), «6 инвариантность», Теория статистических решений и байесовский анализ (второе изд.), Springer Verlag, стр. 388–432
12. Роберт, Кристиан П. (2001). Байесовский выбор - мотивация, основанная на теории принятия решений (второе изд.). Springer. ISBN  0-387-94296-3.
13. Бондарь, Джеймс В .; Милнс, Пол (1981). «Аменабельность: обзор статистических приложений Ханта – Штейна и связанных условий для групп». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. 57: 103–128. Дои:10.1007 / BF00533716.

дальнейшее чтение

• Дистель, Джо; Спалсбери, Анджела (2014), Радости меры Хаара, Аспирантура по математике, 150, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  978-1-4704-0935-7, МИСТЕР  3186070
• Лумис, Линн (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ, Д. ван Ностранд и Ко, HDL:2027 / uc1.b4250788.
• Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1963), Абстрактный гармонический анализ. Vol. I: Структура топологических групп. Теория интеграции, представления групп., Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 115, Берлин-Геттинген-Гейдельберг: Springer-Verlag, МИСТЕР  0156915
• Начбин, Леопольдо (1965), Интеграл Хаара, Принстон, Нью-Джерси: Д. Ван Ностранд
• Андре Вайль, Основная теория чисел, Academic Press, 1971.

внешняя ссылка

• Существование и единственность интеграла Хаара на локально компактной топологической группе - Герт К. Педерсен
• О существовании и единственности инвариантных мер на локально компактных группах - Саймон Рубинштейн-Сальзедо