Общие интегралы в квантовой теории поля - Common integrals in quantum field theory

Общие интегралы в квантовой теории поля все варианты и обобщения Гауссовские интегралы в комплексную плоскость и в несколько измерений.^[1] Другие интегралы могут быть аппроксимированы вариантами гауссова интеграла. Также рассматриваются интегралы Фурье.

Вариации простого гауссовского интеграла

Гауссов интеграл

Первый интеграл, широко применяемый за пределами квантовой теории поля, - это интеграл Гаусса.

${displaystyle Gequiv int _{-infty }^{infty }e^{-{1 over 2}x^{2}},dx}$

В физике обычно используется множитель 1/2 в аргументе экспоненты.

Примечание:

${displaystyle G^{2}=left(int _{-infty }^{infty }e^{-{1 over 2}x^{2}},dxight)cdot left(int _{-infty }^{infty }e^{-{1 over 2}y^{2}},dyight)=2pi int _{0}^{infty }re^{-{1 over 2}r^{2}},dr=2pi int _{0}^{infty }e^{-w},dw=2pi .}$

Таким образом, получаем

${displaystyle int _{-infty }^{infty }e^{-{1 over 2}x^{2}},dx={sqrt {2pi }}.}$

Небольшое обобщение гауссова интеграла

${displaystyle int _{-infty }^{infty }e^{-{1 over 2}ax^{2}},dx={sqrt {2pi over a}}}$

где мы масштабировались

${displaystyle x o {x over {sqrt {a}}}}$.

Интегралы от показателей и четных степеней Икс

${displaystyle int _{-infty }^{infty }x^{2}e^{-{1 over 2}ax^{2}},dx=-2{d over da}int _{-infty }^{infty }e^{-{1 over 2}ax^{2}},dx=-2{d over da}left({2pi over a}ight)^{1 over 2}=left({2pi over a}ight)^{1 over 2}{1 over a}}$

и

${displaystyle int _{-infty }^{infty }x^{4}e^{-{1 over 2}ax^{2}},dx=left(-2{d over da}ight)left(-2{d over da}ight)int _{-infty }^{infty }e^{-{1 over 2}ax^{2}},dx=left(-2{d over da}ight)left(-2{d over da}ight)left({2pi over a}ight)^{1 over 2}=left({2pi over a}ight)^{1 over 2}{3 over a^{2}}}$

В целом

${displaystyle int _{-infty }^{infty }x^{2n}e^{-{1 over 2}ax^{2}},dx=left({2pi over a}ight)^{1 over {2}}{1 over a^{n}}left(2n-1ight)left(2n-3ight)cdots 5cdot 3cdot 1=left({2pi over a}ight)^{1 over {2}}{1 over a^{n}}left(2n-1ight)!!}$

Обратите внимание, что интегралы от показателей и нечетных степеней x равны 0 из-за странный симметрия.

Интегралы с линейным членом в аргументе показателя степени

${displaystyle int _{-infty }^{infty }exp left(-{1 over 2}ax^{2}+Jxight)dx}$

Этот интеграл можно выполнить, заполнив квадрат:

${displaystyle left(-{1 over 2}ax^{2}+Jxight)=-{1 over 2}aleft(x^{2}-{2Jx over a}+{J^{2} over a^{2}}-{J^{2} over a^{2}}ight)=-{1 over 2}aleft(x-{J over a}ight)^{2}+{J^{2} over 2a}}$

Следовательно:

${displaystyle {egin{aligned}int _{-infty }^{infty }exp left(-{1 over 2}ax^{2}+Jxight),dx&=exp left({J^{2} over 2a}ight)int _{-infty }^{infty }exp left[-{1 over 2}aleft(x-{J over a}ight)^{2}ight],dx[8pt]&=exp left({J^{2} over 2a}ight)int _{-infty }^{infty }exp left(-{1 over 2}aw^{2}ight),dw[8pt]&=left({2pi over a}ight)^{1 over 2}exp left({J^{2} over 2a}ight)end{aligned}}}$

Интегралы с мнимым линейным членом в аргументе экспоненты

Интегральный

${displaystyle int _{-infty }^{infty }exp left(-{1 over 2}ax^{2}+iJxight)dx=left({2pi over a}ight)^{1 over 2}exp left(-{J^{2} over 2a}ight)}$

пропорционально преобразование Фурье гауссиана, где J это сопряженная переменная из Икс.

Снова завершая квадрат, мы видим, что преобразование Фурье гауссиана также является гауссовым, но в сопряженной переменной. Чем больше а есть, чем уже гауссиан в Икс и чем шире гауссиан в J. Это демонстрация принцип неопределенности.

Этот интеграл также известен как Преобразование Хаббарда-Стратоновича используется в теории поля.

Интегралы с комплексным аргументом показателя степени

Интересующий интеграл (пример приложения см. Связь между уравнением Шредингера и формулировкой интеграла по путям квантовой механики )

${displaystyle int _{-infty }^{infty }exp left({1 over 2}iax^{2}+iJxight)dx.}$

Предположим теперь, что а и J может быть сложным.

Завершение квадрата

${displaystyle left({1 over 2}iax^{2}+iJxight)={1 over 2}ialeft(x^{2}+{2Jx over a}+left({J over a}ight)^{2}-left({J over a}ight)^{2}ight)=-{1 over 2}{a over i}left(x+{J over a}ight)^{2}-{iJ^{2} over 2a}.}$

По аналогии с предыдущими интегралами

${displaystyle int _{-infty }^{infty }exp left({1 over 2}iax^{2}+iJxight)dx=left({2pi i over a}ight)^{1 over 2}exp left({-iJ^{2} over 2a}ight).}$

Этот результат действителен как интегрирование в комплексной плоскости, пока а отлична от нуля и имеет полуположительную мнимую часть. Видеть Интеграл Френеля.

Гауссовские интегралы в высших измерениях

Одномерные интегралы можно обобщить на несколько измерений.^[2]

${displaystyle int exp left(-{frac {1}{2}}xcdot Acdot x+Jcdot xight)d^{n}x={sqrt {frac {(2pi )^{n}}{det A}}}exp left({1 over 2}Jcdot A^{-1}cdot Jight)}$

Здесь А действительно положительно определенный симметричная матрица.

Этот интеграл выполняется диагонализация из А с ортогональное преобразование

${displaystyle D=O^{-1}AO=O^{T}AO}$

куда D это диагональная матрица и О является ортогональная матрица. Это разделяет переменные и позволяет выполнять интегрирование как п одномерные интеграции.

Лучше всего это проиллюстрировать на двумерном примере.

Пример: простое гауссовское интегрирование в двух измерениях

Гауссовский интеграл в двух измерениях равен

${displaystyle int exp left(-{frac {1}{2}}A_{ij}x^{i}x^{j}ight)d^{2}x={sqrt {frac {(2pi )^{2}}{det A}}}}$

куда А - двумерная симметричная матрица с компонентами, указанными как

${displaystyle A={egin{bmatrix}a&cc&bend{bmatrix}}}$

и мы использовали Соглашение о суммировании Эйнштейна.

Диагонализировать матрицу

Первый шаг - это диагонализировать матрица.^[3] Обратите внимание, что

${displaystyle A_{ij}x^{i}x^{j}equiv x^{T}Ax=x^{T}left(OO^{T}ight)Aleft(OO^{T}ight)x=left(x^{T}Oight)left(O^{T}AOight)left(O^{T}xight)}$

где, поскольку А настоящий симметричная матрица, мы можем выбрать О быть ортогональный, а значит, и унитарная матрица. О можно получить из собственные векторы из А. Мы выбрали О такой, что: D ≡ О^ТАО диагональный.

Собственные значения А

Чтобы найти собственные векторы А сначала находят собственные значения λ из А данный

${displaystyle {egin{bmatrix}a&cc&bend{bmatrix}}{egin{bmatrix}uvend{bmatrix}}=lambda {egin{bmatrix}uvend{bmatrix}}.}$

Собственные значения являются решениями характеристический многочлен

${displaystyle (a-lambda )(b-lambda )-c^{2}=0}$

${displaystyle lambda ^{2}-lambda (a+b)+ab-c^{2}=0}$

которые находятся с помощью квадратное уровненеие:

${displaystyle lambda _{pm }={1 over 2}(a+b)pm {1 over 2}{sqrt {(a+b)^{2}-4(ab-c^{2})}}.}$

${displaystyle lambda _{pm }={1 over 2}(a+b)pm {1 over 2}{sqrt {a^{2}+2ab+b^{2}-4ab+4c^{2}}}.}$

${displaystyle lambda _{pm }={1 over 2}(a+b)pm {1 over 2}{sqrt {(a-b)^{2}+4c^{2}}}.}$

Собственные векторы А

Подстановка собственных значений обратно в уравнение собственного вектора дает

${displaystyle v=-{left(a-lambda _{pm }ight)u over c},qquad v=-{cu over left(b-lambda _{pm }ight)}.}$

Из характеристического уравнения мы знаем

${displaystyle {a-lambda _{pm } over c}={c over b-lambda _{pm }}.}$

Также обратите внимание

${displaystyle {a-lambda _{pm } over c}=-{b-lambda _{mp } over c}.}$

Собственные векторы можно записать как:

${displaystyle {egin{bmatrix}{frac {1}{eta }}-{frac {a-lambda _{-}}{ceta }}end{bmatrix}},qquad {egin{bmatrix}-{frac {b-lambda _{+}}{ceta }}{frac {1}{eta }}end{bmatrix}}}$

для двух собственных векторов. Здесь η нормализующий коэффициент, определяемый

${displaystyle eta ={sqrt {1+left({frac {a-lambda _{-}}{c}}ight)^{2}}}={sqrt {1+left({frac {b-lambda _{+}}{c}}ight)^{2}}}.}$

Легко проверить, что два собственных вектора ортогональны друг другу.

Построение ортогональной матрицы

Ортогональная матрица создается путем назначения нормированных собственных векторов в качестве столбцов в ортогональной матрице

${displaystyle O={egin{bmatrix}{frac {1}{eta }}&-{frac {b-lambda _{+}}{ceta }}-{frac {a-lambda _{-}}{ceta }}&{frac {1}{eta }}end{bmatrix}}.}$

Обратите внимание, что det (О) = 1.

Если мы определим

${displaystyle sin( heta )=-{frac {a-lambda _{-}}{ceta }}}$

тогда ортогональная матрица может быть записана

${displaystyle O={egin{bmatrix}cos( heta )&-sin( heta )sin( heta )&cos( heta )end{bmatrix}}}$

который представляет собой просто поворот собственных векторов с обратным:

${displaystyle O^{-1}=O^{T}={egin{bmatrix}cos( heta )&sin( heta )-sin( heta )&cos( heta )end{bmatrix}}.}$

Диагональная матрица

Диагональная матрица становится

${displaystyle D=O^{T}AO={egin{bmatrix}lambda _{-}&0�&lambda _{+}end{bmatrix}}}$

с собственными векторами

${displaystyle {egin{bmatrix}1�end{bmatrix}},qquad {egin{bmatrix}01end{bmatrix}}}$

Числовой пример

${displaystyle A={egin{bmatrix}2&11&1end{bmatrix}}}$

Собственные значения:

${displaystyle lambda _{pm }={3 over 2}pm {{sqrt {5}} over 2}.}$

Собственные векторы:

${displaystyle {1 over eta }{egin{bmatrix}1-{1 over 2}-{{sqrt {5}} over 2}end{bmatrix}},qquad {1 over eta }{egin{bmatrix}{1 over 2}+{{sqrt {5}} over 2}1end{bmatrix}}}$

куда

${displaystyle eta ={sqrt {{5 over 2}+{{sqrt {5}} over 2}}}.}$

потом

${displaystyle {egin{aligned}O&={egin{bmatrix}{frac {1}{eta }}&{frac {1}{eta }}left({1 over 2}+{{sqrt {5}} over 2}ight){frac {1}{eta }}left(-{1 over 2}-{{sqrt {5}} over 2}ight)&{1 over eta }end{bmatrix}}O^{-1}&={egin{bmatrix}{frac {1}{eta }}&{frac {1}{eta }}left(-{1 over 2}-{{sqrt {5}} over 2}ight){frac {1}{eta }}left({1 over 2}+{{sqrt {5}} over 2}ight)&{frac {1}{eta }}end{bmatrix}}end{aligned}}}$

Диагональная матрица становится

${displaystyle D=O^{T}AO={egin{bmatrix}lambda _{-}&0�&lambda _{+}end{bmatrix}}={egin{bmatrix}{3 over 2}-{{sqrt {5}} over 2}&0�&{3 over 2}+{{sqrt {5}} over 2}end{bmatrix}}}$

с собственными векторами

${displaystyle {egin{bmatrix}1�end{bmatrix}},qquad {egin{bmatrix}01end{bmatrix}}}$

Измените масштаб переменных и интегрируйте

С диагонализацией интеграл можно записать

${displaystyle int exp left(-{frac {1}{2}}x^{T}Axight)d^{2}x=int exp left(-{frac {1}{2}}sum _{j=1}^{2}lambda _{j}y_{j}^{2}ight),d^{2}y}$

куда

${displaystyle y=O^{T}x.}$

Поскольку преобразование координат - это просто поворот координат, Якобиан детерминант преобразования - один, дающий

${displaystyle dy^{2}=dx^{2}}$

Теперь можно выполнить интеграцию.

${displaystyle {egin{aligned}int exp left(-{frac {1}{2}}x^{T}Axight)d^{2}x&=int exp left(-{frac {1}{2}}sum _{j=1}^{2}lambda _{j}y_{j}^{2}ight)d^{2}y&=prod _{j=1}^{2}left({2pi over lambda _{j}}ight)^{1 over 2}&=left({(2pi )^{2} over prod _{j=1}^{2}lambda _{j}}ight)^{1 over 2}&=left({(2pi )^{2} over det {left(O^{-1}AOight)}}ight)^{1 over 2}&=left({(2pi )^{2} over det {left(Aight)}}ight)^{1 over 2}end{aligned}}}$

которое является рекламируемым решением.

Интегралы со сложными и линейными членами в нескольких измерениях

В двумерном примере теперь легко увидеть обобщение на комплексную плоскость и на множественные измерения.

Интегралы с линейным членом в аргументе

${displaystyle int exp left(-{frac {1}{2}}xcdot Acdot x+Jcdot xight)d^{n}x={sqrt {frac {(2pi )^{n}}{det A}}}exp left({1 over 2}Jcdot A^{-1}cdot Jight)}$

Интегралы с мнимым линейным членом

${displaystyle int exp left(-{frac {1}{2}}xcdot Acdot x+iJcdot xight)d^{n}x={sqrt {frac {(2pi )^{n}}{det A}}}exp left(-{1 over 2}Jcdot A^{-1}cdot Jight)}$

Интегралы с комплексным квадратичным членом

${displaystyle int exp left({frac {i}{2}}xcdot Acdot x+iJcdot xight)d^{n}x={sqrt {frac {(2pi i)^{n}}{det A}}}exp left(-{i over 2}Jcdot A^{-1}cdot Jight)}$

Интегралы с дифференциальными операторами в аргументе

В качестве примера рассмотрим интеграл^[4]

${displaystyle int exp left[int d^{4}xleft(-{frac {1}{2}}varphi {hat {A}}varphi +Jvarphi ight)ight]Dvarphi }$

куда ${displaystyle {hat {A}}}$ является дифференциальным оператором с ${displaystyle varphi }$ и J функции пространство-время, и ${displaystyle Dvarphi }$ указывает на интеграцию по всем возможным путям. По аналогии с матричной версией этого интеграла решение имеет вид

${displaystyle int exp left[int d^{4}xleft(-{frac {1}{2}}varphi {hat {A}}varphi +Jvarphi ight)ight]Dvarphi ;propto ;exp left({1 over 2}int d^{4}x;d^{4}yJ(x)D(x-y)J(y)ight)}$

куда

${displaystyle {hat {A}}D(x-y)=delta ^{4}(x-y)}$

и D(Икс − у), называется пропагатор, является обратным ${displaystyle {hat {A}}}$, и ${displaystyle delta ^{4}(x-y)}$ это Дельта-функция Дирака.

Подобные аргументы приводят

${displaystyle int exp left[int d^{4}xleft(-{frac {1}{2}}varphi {hat {A}}varphi +iJvarphi ight)ight]Dvarphi ;propto ;exp left(-{1 over 2}int d^{4}x;d^{4}yJ(x)D(x-y)J(y)ight),}$

и

${displaystyle int exp left[iint d^{4}xleft({frac {1}{2}}varphi {hat {A}}varphi +Jvarphi ight)ight]Dvarphi ;propto ;exp left(-{i over 2}int d^{4}x;d^{4}yJ(x)D(x-y)J(y)ight).}$

Видеть Интегральная формулировка обмена виртуальными частицами для применения этого интеграла.

Интегралы, аппроксимируемые методом наискорейшего спуска

В квантовой теории поля n-мерные интегралы вида

${displaystyle int _{-infty }^{infty }exp left(-{1 over hbar }f(q)ight)d^{n}q}$

появляются часто. Здесь ${displaystyle hbar }$ это приведенная постоянная Планка а f - функция с положительным минимумом в точке ${displaystyle q=q_{0}}$. Эти интегралы могут быть аппроксимированы способ наискорейшего спуска.

Для малых значений постоянной Планка f можно разложить до минимума

${displaystyle int _{-infty }^{infty }exp left[-{1 over hbar }left(fleft(q_{0}ight)+{1 over 2}left(q-q_{0}ight)^{2}f^{prime prime }left(q-q_{0}ight)+cdots ight)ight]d^{n}q}$.

Здесь ${displaystyle f^{prime prime }}$ матрица n на n вторых производных, вычисленная в минимуме функции.

Если пренебречь членами более высокого порядка, этот интеграл можно проинтегрировать явно.

${displaystyle int _{-infty }^{infty }exp left[-{1 over hbar }(f(q))ight]d^{n}qapprox exp left[-{1 over hbar }left(fleft(q_{0}ight)ight)ight]{sqrt {(2pi hbar )^{n} over det f^{prime prime }}}.}$

Интегралы, аппроксимируемые методом стационарной фазы

Общий интеграл - это интеграл по путям вида

${displaystyle int exp left({i over hbar }Sleft(q,{dot {q}}ight)ight)Dq}$

куда ${displaystyle Sleft(q,{dot {q}}ight)}$ классический действие и интеграл по всем возможным путям, которые может пройти частица. В пределе малых ${displaystyle hbar }$ интеграл можно вычислить в приближение стационарной фазы. В этом приближении интеграл идет по пути, на котором действие минимально. Следовательно, это приближение восстанавливает классический предел из механика.

Интегралы Фурье

Распределение дельты Дирака

В Распределение дельты Дирака в пространство-время можно записать как преобразование Фурье^[5]

${displaystyle int {frac {d^{4}k}{(2pi )^{4}}}exp(ik(x-y))=delta ^{4}(x-y).}$

В общем, для любого измерения ${displaystyle N}$

${displaystyle int {frac {d^{N}k}{(2pi )^{N}}}exp(ik(x-y))=delta ^{N}(x-y).}$

Интегралы Фурье форм кулоновского потенциала

Лапласиан 1 / r

Хотя это и не интеграл, идентичность в трехмерном Евклидово пространство

${displaystyle -{1 over 4pi }abla ^{2}left({1 over r}ight)=delta left(mathbf {r} ight)}$

куда

${displaystyle r^{2}=mathbf {r} cdot mathbf {r} }$

является следствием Теорема Гаусса и может использоваться для вывода интегральных тождеств. Для примера см. Продольные и поперечные векторные поля.

Это тождество означает, что Интеграл Фурье представление 1 / r

${displaystyle int {frac {d^{3}k}{(2pi )^{3}}}{exp left(imathbf {k} cdot mathbf {r} ight) over k^{2}}={1 over 4pi r}.}$

Потенциал Юкавы: кулоновский потенциал с массой

В Потенциал Юкавы в трех измерениях можно представить как интеграл по преобразование Фурье^[6]

${displaystyle int {frac {d^{3}k}{(2pi )^{3}}}{exp left(imathbf {k} cdot mathbf {r} ight) over k^{2}+m^{2}}={e^{-mr} over 4pi r}}$

куда

${displaystyle r^{2}=mathbf {r} cdot mathbf {r} ,qquad k^{2}=mathbf {k} cdot mathbf {k} .}$

Видеть Статические силы и обмен виртуальными частицами для применения этого интеграла.

В пределе малых m интеграл сводится к 1/4πr.

Чтобы получить этот результат, обратите внимание:

${displaystyle {egin{aligned}int {frac {d^{3}k}{(2pi )^{3}}}{frac {exp left(imathbf {k} cdot mathbf {r} ight)}{k^{2}+m^{2}}}&=int _{0}^{infty }{frac {k^{2}dk}{(2pi )^{2}}}int _{-1}^{1}du{e^{ikru} over k^{2}+m^{2}}&={2 over r}int _{0}^{infty }{frac {kdk}{(2pi )^{2}}}{sin(kr) over k^{2}+m^{2}}&={1 over ir}int _{-infty }^{infty }{frac {kdk}{(2pi )^{2}}}{e^{ikr} over k^{2}+m^{2}}&={1 over ir}int _{-infty }^{infty }{frac {kdk}{(2pi )^{2}}}{e^{ikr} over (k+im)(k-im)}&={1 over ir}{frac {2pi i}{(2pi )^{2}}}{frac {im}{2im}}e^{-mr}&={frac {1}{4pi r}}e^{-mr}end{aligned}}}$

Модифицированный кулоновский потенциал с массой

${displaystyle int {frac {d^{3}k}{(2pi )^{3}}}left(mathbf {hat {k}} cdot mathbf {hat {r}} ight)^{2}{frac {exp left(imathbf {k} cdot mathbf {r} ight)}{k^{2}+m^{2}}}={frac {e^{-mr}}{4pi r}}left{1+{frac {2}{mr}}-{frac {2}{(mr)^{2}}}left(e^{mr}-1ight)ight}}$

где шляпа указывает единичный вектор в трехмерном пространстве. Вывод этого результата следующий:

${displaystyle {egin{aligned}int {frac {d^{3}k}{(2pi )^{3}}}left(mathbf {hat {k}} cdot mathbf {hat {r}} ight)^{2}{frac {exp left(imathbf {k} cdot mathbf {r} ight)}{k^{2}+m^{2}}}&=int _{0}^{infty }{frac {k^{2}dk}{(2pi )^{2}}}int _{-1}^{1}duu^{2}{frac {e^{ikru}}{k^{2}+m^{2}}}&=2int _{0}^{infty }{frac {k^{2}dk}{(2pi )^{2}}}{frac {1}{k^{2}+m^{2}}}left{{frac {1}{kr}}sin(kr)+{frac {2}{(kr)^{2}}}cos(kr)-{frac {2}{(kr)^{3}}}sin(kr)ight}&={frac {e^{-mr}}{4pi r}}left{1+{frac {2}{mr}}-{frac {2}{(mr)^{2}}}left(e^{mr}-1ight)ight}end{aligned}}}$

Обратите внимание, что в небольшом м предел интеграл идет к результату для кулоновского потенциала, так как член в скобках идет к 1.

Продольный потенциал с массой

${displaystyle int {frac {d^{3}k}{(2pi )^{3}}}mathbf {hat {k}} mathbf {hat {k}} {frac {exp left(imathbf {k} cdot mathbf {r} ight)}{k^{2}+m^{2}}}={1 over 2}{frac {e^{-mr}}{4pi r}}left(left[mathbf {1} -mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} ight]+left{1+{frac {2}{mr}}-{2 over (mr)^{2}}left(e^{mr}-1ight)ight}left[mathbf {1} +mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} ight]ight)}$

где шляпа указывает единичный вектор в трехмерном пространстве. Вывод этого результата следующий:

${displaystyle {egin{aligned}int {frac {d^{3}k}{(2pi )^{3}}}mathbf {hat {k}} mathbf {hat {k}} {frac {exp left(imathbf {k} cdot mathbf {r} ight)}{k^{2}+m^{2}}}&=int {frac {d^{3}k}{(2pi )^{3}}}left[left(mathbf {hat {k}} cdot mathbf {hat {r}} ight)^{2}mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} +left(mathbf {hat {k}} cdot mathbf {hat { heta }} ight)^{2}mathbf {hat { heta }} mathbf {hat { heta }} +left(mathbf {hat {k}} cdot mathbf {hat {phi }} ight)^{2}mathbf {hat {phi }} mathbf {hat {phi }} ight]{frac {exp left(imathbf {k} cdot mathbf {r} ight)}{k^{2}+m^{2}}}&={frac {e^{-mr}}{4pi r}}left{1+{frac {2}{mr}}-{2 over (mr)^{2}}left(e^{mr}-1ight)ight}left{mathbf {1} -{1 over 2}left[mathbf {1} -mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} ight]ight}+int _{0}^{infty }{frac {k^{2}dk}{(2pi )^{2}}}int _{-1}^{1}du{frac {e^{ikru}}{k^{2}+m^{2}}}{1 over 2}left[mathbf {1} -mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} ight]&={1 over 2}{frac {e^{-mr}}{4pi r}}left[mathbf {1} -mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} ight]+{e^{-mr} over 4pi r}left{1+{frac {2}{mr}}-{2 over (mr)^{2}}left(e^{mr}-1ight)ight}left{{1 over 2}left[mathbf {1} +mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} ight]ight}&={1 over 2}{frac {e^{-mr}}{4pi r}}left(left[mathbf {1} -mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} ight]+left{1+{frac {2}{mr}}-{2 over (mr)^{2}}left(e^{mr}-1ight)ight}left[mathbf {1} +mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} ight]ight)end{aligned}}}$

Обратите внимание, что в небольшом м ограничить интеграл сводится к

${displaystyle {1 over 2}{1 over 4pi r}left[mathbf {1} -mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} ight].}$

Поперечный потенциал с массой

${displaystyle int {frac {d^{3}k}{(2pi )^{3}}}left[mathbf {1} -mathbf {hat {k}} mathbf {hat {k}} ight]{exp left(imathbf {k} cdot mathbf {r} ight) over k^{2}+m^{2}}={1 over 2}{e^{-mr} over 4pi r}left{{2 over (mr)^{2}}left(e^{mr}-1ight)-{2 over mr}ight}left[mathbf {1} +mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} ight]}$

В пределе малых mr интеграл переходит в

${displaystyle {1 over 2}{1 over 4pi r}left[mathbf {1} +mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} ight].}$

На большом расстоянии интеграл спадает как куб, обратный r

${displaystyle {frac {1}{4pi m^{2}r^{3}}}left[mathbf {1} +mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} ight].}$

По поводу приложений этого интеграла см. Лагранжиан Дарвина и Дарвиновское взаимодействие в вакууме.

Угловое интегрирование в цилиндрических координатах

Есть два важных интеграла. Угловое интегрирование экспоненты в цилиндрических координатах можно записать через функции Бесселя первого рода^[7][8]

${displaystyle int _{0}^{2pi }{dvarphi over 2pi }exp left(ipcos(varphi )ight)=J_{0}(p)}$

и

${displaystyle int _{0}^{2pi }{dvarphi over 2pi }cos(varphi )exp left(ipcos(varphi )ight)=iJ_{1}(p).}$

По поводу приложений этих интегралов см. Магнитное взаимодействие между токовыми петлями в простой плазме или электронном газе.

Функции Бесселя

Интегрирование цилиндрического пропагатора с массой

Первая степень функции Бесселя

${displaystyle int _{0}^{infty }{k;dk over k^{2}+m^{2}}J_{0}left(kright)=K_{0}(mr).}$

См. Абрамовица и Стегуна.^[9]

За ${displaystyle mrll 1}$, у нас есть^[10]

${displaystyle K_{0}(mr) o -ln left({mr over 2}ight)+0.5772.}$

По поводу применения этого интеграла см. Два линейных заряда, заключенные в плазму или электронный газ.

Квадраты функций Бесселя

Интегрирование пропагатора в цилиндрических координатах равно^[7]

${displaystyle int _{0}^{infty }{k;dk over k^{2}+m^{2}}J_{1}^{2}(kr)=I_{1}(mr)K_{1}(mr).}$

При малых mr интеграл принимает вид

${displaystyle int _{o}^{infty }{k;dk over k^{2}+m^{2}}J_{1}^{2}(kr) o {1 over 2}left[1-{1 over 8}(mr)^{2}ight].}$

При больших mr интеграл принимает вид

${displaystyle int _{o}^{infty }{k;dk over k^{2}+m^{2}}J_{1}^{2}(kr) o {1 over 2}left({1 over mr}ight).}$

По поводу приложений этого интеграла см. Магнитное взаимодействие между токовыми петлями в простой плазме или электронном газе.

В целом

${displaystyle int _{0}^{infty }{k;dk over k^{2}+m^{2}}J_{u }^{2}(kr)=I_{u }(mr)K_{u }(mr)qquad Re (u )>-1.}$

Интегрирование по магнитной волновой функции

Двумерный интеграл по магнитной волновой функции равен^[11]

${displaystyle {2a^{2n+2} over n!}int _{0}^{infty }{dr};r^{2n+1}exp left(-a^{2}r^{2}ight)J_{0}(kr)=Mleft(n+1,1,-{k^{2} over 4a^{2}}ight).}$

Здесь M - конфлюэнтная гипергеометрическая функция. По поводу применения этого интеграла см. Распределение плотности заряда по волновой функции.

Смотрите также

• Связь между уравнением Шредингера и формулировкой интеграла по путям квантовой механики

Рекомендации

1. А. Зи (2003). Квантовая теория поля в двух словах. Университет Принстона. ISBN  0-691-01019-6. стр. 13-15
2. Фредерик У. Байрон и Роберт У. Фуллер (1969). Математика классической и квантовой физики. Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-00746-0.
3. Герберт С. Уилф (1978). Математика для физических наук. Дувр. ISBN  0-486-63635-6.
4. Зи, стр. 21-22.
5. Зи, стр. 23.
6. Зи, стр. 26, 29.
7. Градштейн Израиль Соломонович; Рыжик Иосиф Моисеевич; Геронимус Юрий Вениаминович; Цейтлин Михаил Юльевич; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. Цвиллинджер, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов. Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN  978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
8. Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Вайли. ISBN  0-471-30932-X. п. 113
9. М. Абрамовиц и И. Стегун (1965). Справочник по математическим функциям. Дувр. ISBN  0486-61272-4. Раздел 11.4.44
10. Джексон, стр. 116
11. Абрамовиц и Стегун, Раздел 11.4.28