Связь между уравнением Шредингера и формулировкой интеграла по путям квантовой механики - Relation between Schrödingers equation and the path integral formulation of quantum mechanics

В этой статье рассказывается о Уравнение Шредингера с формулировка интеграла по путям квантовой механики используя простой нерелятивистский одномерный одночастичный Гамильтониан состоит из кинетической и потенциальной энергии.

Фон

Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера в обозначение бюстгальтера, является

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi \rangle ={\hat {H}}|\psi \rangle }$

куда ${\displaystyle {\hat {H}}}$ это Гамильтонов оператор.

Оператор Гамильтона можно записать

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V({\hat {q}})}$

куда ${\displaystyle V({\hat {q}})}$ это потенциальная энергия, m - масса, и мы для простоты предположили, что существует только одно пространственное измерение q.

Формальное решение уравнения:

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t\right)|q_{0}\rangle \equiv \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t\right)|0\rangle }$

где мы предположили, что начальное состояние является пространственным состоянием свободных частиц ${\displaystyle |q_{0}\rangle }$.

В амплитуда вероятности перехода для перехода из начального состояния ${\displaystyle |0\rangle }$ к конечному пространственному состоянию свободных частиц ${\displaystyle |F\rangle }$ вовремя Т является

${\displaystyle \langle F|\psi (T)\rangle =\left\langle F{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}T\right){\bigg |}0\right\rangle .}$

Формулировка интеграла по путям

Формулировка интеграла по путям гласит, что амплитуда перехода - это просто интеграл от величины

${\displaystyle \exp \left({\frac {i}{\hbar }}S\right)}$

по всем возможным путям от начального состояния до конечного состояния. Здесь S - классический действие.

Переформулировка этой переходной амплитуды, первоначально сделанная Дираком^[1] и концептуализирован Фейнманом,^[2] составляет основу формулировки интеграла по путям.^[3]

От уравнения Шредингера к формулировке интеграла по путям

Следующий вывод^[4] использует Формула продукта Trotter, который утверждает, что для самосопряженных операторов А и B (удовлетворяющих определенным техническим условиям) имеем

${\displaystyle e^{i(A+B)}\psi =\lim _{N\rightarrow \infty }(e^{iA/N}e^{iB/N})^{N}\psi }$,

даже если А и B не ездить на работу.

Мы можем разделить временной интервал [0, Т] в N отрезки длины

${\displaystyle \delta t={\frac {T}{N}}.}$

Тогда амплитуду перехода можно записать

${\displaystyle \left\langle F{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}T\right){\bigg |}0\right\rangle =\left\langle F{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right)\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right)\cdots \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}0\right\rangle .}$

Хотя операторы кинетической энергии и потенциальной энергии не коммутируют, формула произведения Троттера, процитированная выше, гласит, что для каждого небольшого интервала времени мы можем игнорировать эту некоммутативность и писать

${\displaystyle \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right)\approx \exp \left({-{i \over \hbar }{{\hat {p}}^{2} \over 2m}\delta t}\right)\exp \left({-{i \over \hbar }V\left(q_{j}\right)\delta t}\right).}$

Для упрощения обозначений мы пока откладываем эту замену.

Мы можем вставить единичную матрицу

${\displaystyle I=\int dq|q\rangle \langle q|}$

N − 1 раз между экспонентами, чтобы получить

${\displaystyle \left\langle F{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}T\right){\bigg |}0\right\rangle =\left(\prod _{j=1}^{N-1}\int dq_{j}\right)\left\langle F{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}q_{N-1}\right\rangle \left\langle q_{N-1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}q_{N-2}\right\rangle \cdots \left\langle q_{1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}0\right\rangle .}$

Теперь мы реализуем замену, связанную с формулой произведения Троттера, так что мы эффективно

${\displaystyle \left\langle q_{j+1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}q_{j}\right\rangle =\left\langle q_{j+1}{\Bigg |}\exp \left({-{i \over \hbar }{{\hat {p}}^{2} \over 2m}\delta t}\right)\exp \left({-{i \over \hbar }V\left(q_{j}\right)\delta t}\right){\Bigg |}q_{j}\right\rangle .}$

Мы можем вставить личность

${\displaystyle I=\int {dp \over 2\pi }|p\rangle \langle p|}$

в амплитуду, чтобы дать

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle q_{j+1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}q_{j}\right\rangle &=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}V\left(q_{j}\right)\delta t\right)\int {\frac {dp}{2\pi }}\left\langle q_{j+1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p^{2}}{2m}}\delta t\right){\bigg |}p\right\rangle \langle p|q_{j}\rangle \\&=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}V\left(q_{j}\right)\delta t\right)\int {\frac {dp}{2\pi }}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p^{2}}{2m}}\delta t\right)\left\langle q_{j+1}|p\right\rangle \left\langle p|q_{j}\right\rangle \\&=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}V\left(q_{j}\right)\delta t\right)\int {\frac {dp}{2\pi \hbar }}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p^{2}}{2m}}\delta t-{\frac {i}{\hbar }}p\left(q_{j+1}-q_{j}\right)\right)\end{aligned}}}$

где мы использовали тот факт, что волновая функция свободной частицы равна

${\displaystyle \langle p|q_{j}\rangle ={\frac {\exp \left({\frac {i}{\hbar }}pq_{j}\right)}{\sqrt {\hbar }}}}$.

Интеграл по p можно провести (см. Общие интегралы в квантовой теории поля ) чтобы получить

${\displaystyle \left\langle q_{j+1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}q_{j}\right\rangle =\left({-im \over 2\pi \delta t\hbar }\right)^{1 \over 2}\exp \left[{i \over \hbar }\delta t\left({1 \over 2}m\left({q_{j+1}-q_{j} \over \delta t}\right)^{2}-V\left(q_{j}\right)\right)\right]}$

Амплитуда перехода за весь период времени равна

${\displaystyle \left\langle F{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}T\right){\bigg |}0\right\rangle =\left({-im \over 2\pi \delta t\hbar }\right)^{N \over 2}\left(\prod _{j=1}^{N-1}\int dq_{j}\right)\exp \left[{i \over \hbar }\sum _{j=0}^{N-1}\delta t\left({1 \over 2}m\left({q_{j+1}-q_{j} \over \delta t}\right)^{2}-V\left(q_{j}\right)\right)\right].}$

Если мы возьмем предел больших N амплитуда перехода уменьшается до

${\displaystyle \left\langle F{\bigg |}\exp \left({-{i \over \hbar }{\hat {H}}T}\right){\bigg |}0\right\rangle =\int Dq(t)\exp \left[{i \over \hbar }S\right]}$

где S - классическая действие данный

${\displaystyle S=\int _{0}^{T}dtL\left(q(t),{\dot {q}}(t)\right)}$

а L - классический Лагранжиан данный

${\displaystyle L\left(q,{\dot {q}}\right)={1 \over 2}m{\dot {q}}^{2}-V(q)}$

Любой возможный путь частицы от начального до конечного состояния аппроксимируется ломаной линией и включается в меру интеграла

${\displaystyle \int Dq(t)=\lim _{N\to \infty }\left({\frac {-im}{2\pi \delta t\hbar }}\right)^{\frac {N}{2}}\left(\prod _{j=1}^{N-1}\int dq_{j}\right)}$

Это выражение фактически определяет способ вычисления интегралов по путям. Передний коэффициент необходим для того, чтобы выражение имело правильные размеры, но он не имеет никакого отношения к физическому применению.

Это восстанавливает формулировку интеграла по путям из уравнения Шредингера.

От формулировки интеграла по путям к уравнению Шредингера

Интеграл по путям воспроизводит уравнение Шредингера для начального и конечного состояния даже при наличии потенциала. Это легче всего увидеть, взяв интеграл по путям за бесконечно малые промежутки времени.

${\displaystyle \psi (y;t+\varepsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x;t)\int _{x(t)=x}^{x(t+\varepsilon )=y}\exp \left(i\int \limits _{t}^{t+\varepsilon }\left({\tfrac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}-V(x)\right)\,dt\right)\,Dx(t)\,dx\qquad (1)}$

Поскольку временное разделение бесконечно мало и компенсирующие колебания становятся сильными для больших значений Икс, интеграл по путям имеет наибольший вес при у рядом с Икс. В этом случае до низшего порядка потенциальная энергия постоянна, и только вклад кинетической энергии нетривиален. (Это разделение членов кинетической и потенциальной энергии в показателе экспоненты по существу является Формула продукта Trotter.) Экспонента действия равна

${\displaystyle e^{-i\varepsilon V(x)}e^{i{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\varepsilon }}$

Первый член вращает фазу ψ(Икс) локально на величину, пропорциональную потенциальной энергии. Второй член - пропагатор свободной частицы, соответствующий я раз процесс распространения. В самый низкий порядок в ε они аддитивны; в любом случае с (1):

${\displaystyle \psi (y;t+\varepsilon )\approx \int \psi (x;t)e^{-i\varepsilon V(x)}e^{\frac {i(x-y)^{2}}{2\varepsilon }}\,dx\,.}$

Как уже упоминалось, разброс в ψ является диффузным из-за распространения свободных частиц с дополнительным бесконечно малым вращением фазы, которое медленно изменяется от точки к точке в зависимости от потенциала:

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\cdot \left({\tfrac {1}{2}}\nabla ^{2}-V(x)\right)\psi \,}$

и это уравнение Шредингера. Обратите внимание, что нормализация интеграла по путям должна быть зафиксирована точно так же, как и в случае свободных частиц. Произвольный непрерывный потенциал не влияет на нормализацию, хотя сингулярные потенциалы требуют осторожного обращения.

Рекомендации

1. Дирак, П.А.М. (1958). Принципы квантовой механики, четвертое издание. Оксфорд. ISBN  0-19-851208-2.
2. Браун, Лори М. (1958). Тезис Фейнмана: новый подход к квантовой теории. World Scientific. ISBN  981-256-366-0.
3. А. Зи (2010). Квантовая теория поля в двух словах, второе издание. Университет Принстона. ISBN  978-0-691-14034-6.
4. Видеть Холл, Брайан К. (2013). Квантовая теория для математиков. Тексты для выпускников по математике. 267. Springer. Раздел 20.2. ISBN  978-1461471158.