Интегрирование по формуле Эйлера - Integration using Eulers formula

В интегральное исчисление, Формула Эйлера за сложные числа может использоваться для оценки интегралы с участием тригонометрические функции. Используя формулу Эйлера, любую тригонометрическую функцию можно записать в терминах комплексных экспоненциальных функций, а именно ${ displaystyle e ^ {ix}}$ и ${ displaystyle e ^ {- ix}}$ а затем интегрировали. Этот метод часто проще и быстрее, чем использование тригонометрические тождества или же интеграция по частям, и достаточно мощный, чтобы интегрировать любые рациональное выражение с участием тригонометрических функций.

Формула Эйлера

Формула Эйлера утверждает, что ^[1]

{ Displaystyle е ^ {ix} = соз х + я , грех х.}

Подстановка ${ displaystyle -x}$ за ${ displaystyle x}$ дает уравнение

{ Displaystyle е ^ {- ix} = соз х-я , грех х}

потому что косинус - четная функция, а синус - нечетная. Эти два уравнения можно решить относительно синуса и косинуса, чтобы получить

{ displaystyle cos x = { frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}} quad { text {and}} quad sin x = { frac {e ^ { ix} -e ^ {- ix}} {2i}}.}

Примеры

Первый пример

Рассмотрим интеграл

{ displaystyle int cos ^ {2} x , dx.}

Стандартный подход к этому интегралу заключается в использовании формула полуугла чтобы упростить подынтегральное выражение. Вместо этого мы можем использовать тождество Эйлера:

{ displaystyle { begin {align} int cos ^ {2} x , dx , & = , int left ({ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} { 2}} right) ^ {2} dx [6pt] & = , { frac {1} {4}} int left (e ^ {2ix} + 2 + e ^ {- 2ix} справа) dx end {выровнен}}}

На этом этапе можно будет вернуться к действительным числам, используя формулу $е 2 ix + е -2 ix = 2 cos 2 Икс$ . В качестве альтернативы мы можем интегрировать комплексные экспоненты и не возвращаться к тригонометрическим функциям до конца:

{ displaystyle { begin {align} { frac {1} {4}} int left (e ^ {2ix} + 2 + e ^ {- 2ix} right) dx & = { frac {1} { 4}} left ({ frac {e ^ {2ix}} {2i}} + 2x - { frac {e ^ {- 2ix}} {2i}} right) + C [6pt] & = { frac {1} {4}} left (2x + sin 2x right) + C. end {выравнивается}}}

Второй пример

Рассмотрим интеграл

{ displaystyle int sin ^ {2} x cos 4x , dx.}

Этот интеграл было бы чрезвычайно утомительно решать с использованием тригонометрических тождеств, но использование тождества Эйлера делает его относительно безболезненным:

{ displaystyle { begin {align} int sin ^ {2} x cos 4x , dx & = int left ({ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} } right) ^ {2} left ({ frac {e ^ {4ix} + e ^ {- 4ix}} {2}} right) dx [6pt] & = - { frac {1} {8}} int left (e ^ {2ix} -2 + e ^ {- 2ix} right) left (e ^ {4ix} + e ^ {- 4ix} right) dx [6pt] & = - { frac {1} {8}} int left (e ^ {6ix} -2e ^ {4ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2e ^ {- 4ix} + e ^ {- 6ix} right) dx. end {align}}}

На этом этапе мы можем либо интегрировать напрямую, либо сначала изменить подынтегральное выражение на $2 cos 6 Икс - 4 cos 4 Икс + 2 cos 2 Икс$ и продолжить оттуда. Любой метод дает

{ displaystyle int sin ^ {2} x cos 4x , dx = - { frac {1} {24}} sin 6x + { frac {1} {8}} sin 4x - { frac {1} {8}} sin 2x + C.}

Использование реальных деталей

Помимо тождества Эйлера, может оказаться полезным разумное использование реальные части сложных выражений. Например, рассмотрим интеграл

{ Displaystyle int е ^ {х} соз х , dx.}

С $потому что Икс$ это настоящая часть $е ix$ , мы знаем это

{ displaystyle int e ^ {x} cos x , dx = operatorname {Re} int e ^ {x} e ^ {ix} , dx.}

Интеграл справа вычислить легко:

{ displaystyle int e ^ {x} e ^ {ix} , dx = int e ^ {(1 + i) x} , dx = { frac {e ^ {(1 + i) x}} {1 + i}} + C.}

Таким образом:

{ displaystyle { begin {align} int e ^ {x} cos x , dx & = operatorname {Re} left ({ frac {e ^ {(1 + i) x}} {1 + i }} right) + C [6pt] & = e ^ {x} operatorname {Re} left ({ frac {e ^ {ix}} {1 + i}} right) + C [6pt] & = e ^ {x} operatorname {Re} left ({ frac {e ^ {ix} (1-i)} {2}} right) + C [6pt] & = e ^ {x} { frac { cos x + sin x} {2}} + C. end {align}}}

Фракции

В общем, этот метод можно использовать для вычисления любых дробей, включающих тригонометрические функции. Например, рассмотрим интеграл

{ displaystyle int { frac {1+ cos ^ {2} x} { cos x + cos 3x}} , dx.}

Используя тождество Эйлера, этот интеграл принимает вид

{ displaystyle { frac {1} {2}} int { frac {6 + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {e ^ {ix} + e ^ {- ix} + e ^ {3ix} + e ^ {- 3ix}}} , dx.}

Если мы сейчас сделаем замена $ты = е ix$ , результатом является интеграл от рациональная функция:

{ displaystyle - { frac {i} {2}} int { frac {1 + 6u ^ {2} + u ^ {4}} {1 + u ^ {2} + u ^ {4} + u ^ {6}}} , du.}

Можно продолжить использование частичное разложение на фракции.

Интегралы
Типы интегралов	Интеграл Римана Интеграл Лебега Интеграл Беркилла Интеграл Бохнера Даниэль интеграл Интеграл Дарбу Интеграл Хенстока – Курцвейла Интеграл Хаара Интеграл Хеллингера Хинчин интеграл Интеграл Колмогорова Интеграл Лебега – Стилтьеса. Интеграл Петтиса Интеграл Пфеффера Интеграл Римана – Стилтьеса. Регулируемый интеграл
Методы интеграции	По частям Замена Обратные функции Изменение порядка Тригонометрическая замена Подстановка Эйлера Замена Вейерштрасса Неполные фракции Формулы приведения Параметрические производные Формула Эйлера Дифференцирование под знаком интеграла Контурная интеграция Численное интегрирование
Несобственные интегралы	Гауссов интеграл Интеграл Дирихле Интеграл Ферми – Дирака полный неполный Интеграл Бозе – Эйнштейна Интеграл Фруллани Общие интегралы в квантовой теории поля
Стохастические интегралы	Ито интегральный Интеграл Руссо – Валлуа Интеграл Стратоновича Скороход интеграл