Испытание чередующейся серии - Alternating series test

В математический анализ, то испытание чередующейся последовательностью метод, используемый для доказательства того, что чередующийся ряд с условиями, что уменьшение по абсолютной величине является сходящийся ряд.Тест использовался Готфрид Лейбниц и иногда его называют Тест Лейбница, Правило Лейбница, или Критерий Лейбница.

Формулировка

Серия формы

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots \!}$

где либо все а_п положительные или все а_п отрицательны, называется чередующийся ряд.

В испытание чередующейся последовательностью затем говорит: если ${\displaystyle |a_{n}|}$ уменьшается монотонно^[1] и ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ тогда знакопеременный ряд сходится.

Кроме того, пусть L обозначим сумму ряда, то частичная сумма

${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}\!}$

приблизительно L с ошибкой, ограниченной следующим пропущенным термином:

${\displaystyle \left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k+1}\right\vert =a_{k+1}.\!}$

Доказательство

Предположим, нам дан ряд вида ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}\!}$, где ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$ и ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$ для всех натуральных чисел п. (Дело ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!}$ следует с отрицанием.)^[1]

Доказательство сходимости

Докажем, что обе частичные суммы ${\displaystyle S_{2m+1}=\sum _{n=1}^{2m+1}(-1)^{n-1}a_{n}}$ с нечетным количеством терминов, и ${\displaystyle S_{2m}=\sum _{n=1}^{2m}(-1)^{n-1}a_{n}}$ с четным числом членов сходятся к одному и тому же числу L. Таким образом, обычная частичная сумма ${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=1}^{k}(-1)^{n-1}a_{n}}$ также сходится к L.

Нечетные частичные суммы монотонно убывают:

${\displaystyle S_{2(m+1)+1}=S_{2m+1}-a_{2m+2}+a_{2m+3}\leq S_{2m+1}}$

а четные частичные суммы монотонно увеличиваются:

${\displaystyle S_{2(m+1)}=S_{2m}+a_{2m+1}-a_{2m+2}\geq S_{2m}}$

оба потому что а_п монотонно убывает с п.

Более того, поскольку а_п положительные, ${\displaystyle S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}\geq 0}$. Таким образом, мы можем собрать эти факты, чтобы сформировать следующее предполагаемое неравенство:

${\displaystyle a_{1}-a_{2}=S_{2}\leq S_{2m}\leq S_{2m+1}\leq S_{1}=a_{1}.}$

Обратите внимание, что а₁ − а₂ является нижней границей монотонно убывающей последовательности S_{2м + 1}, то теорема о монотонной сходимости тогда следует, что эта последовательность сходится как м приближается к бесконечности. Аналогично сходится и последовательность четных частичных сумм.

Наконец, они должны сходиться к одному числу, потому что

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }(S_{2m+1}-S_{2m})=\lim _{m\to \infty }a_{2m+1}=0.}$

Назовите предел L, то теорема о монотонной сходимости также сообщает нам дополнительную информацию, которая

${\displaystyle S_{2m}\leq L\leq S_{2m+1}}$

для любого м. Это означает, что частичные суммы чередующегося ряда также «чередуются» выше и ниже конечного предела. Точнее, когда есть нечетное (четное) количество членов, то есть последний член является плюсовым (минусовым) членом, тогда частичная сумма выше (ниже) конечного предела.

Это понимание немедленно приводит к ошибке оценки частичных сумм, показанной ниже.

Доказательство границы ошибки частичной суммы

Мы хотели бы показать ${\displaystyle \left|S_{k}-L\right|\leq a_{k+1}\!}$ разделением на два случая.

Когда k = 2m + 1, т.е. нечетное, то

${\displaystyle \left|S_{2m+1}-L\right|=S_{2m+1}-L\leq S_{2m+1}-S_{2m+2}=a_{(2m+1)+1}}$

Когда k = 2m, т.е. четное, то

${\displaystyle \left|S_{2m}-L\right|=L-S_{2m}\leq S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}}$

по желанию.

Оба случая существенно опираются на последнее неравенство, полученное в предыдущем доказательстве.

Для альтернативного доказательства с использованием Тест сходимости Коши, увидеть Чередование серий.

Для обобщения см. Тест Дирихле.

Контрпример

Для того, чтобы вывод был верным, должны быть выполнены все условия теста, а именно сходимость к нулю и монотонность. Например, возьмем ряд

${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}+{\frac {1}{{\sqrt {3}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {3}}+1}}+\cdots }$

Знаки чередуются, а члены стремятся к нулю. Однако монотонности нет, и мы не можем применить тест. На самом деле серия расходится. Действительно, для частичной суммы ${\displaystyle S_{2n}}$ у нас есть ${\displaystyle S_{2n}={\frac {2}{1}}+{\frac {2}{2}}+{\frac {2}{3}}+\cdots +{\frac {2}{n-1}}}$ что в два раза превышает частичную сумму расходящегося гармонического ряда. Следовательно, исходный ряд расходится.

Смотрите также

• Чередование серий
• Тест Дирихле

Заметки

^ На практике первые несколько сроков могут увеличиваться. Важно то, что ${\displaystyle b_{n}\geq b_{n+1}}$ для всех ${\displaystyle n}$ через какой-то момент.^[2]

использованная литература

1. Доказательство следует идее, данной Джеймсом Стюартом (2012), «Исчисление: ранние трансценденталы, седьмое издание», стр. 727–730. ISBN  0-538-49790-4
2. Докинз, Пол. «Исчисление II - Тест чередующихся серий». Онлайн-математические заметки Пола. Ламарский университет. Получено 1 ноября 2019.

• Конрад Кнопп (1956) Бесконечные последовательности и серии, § 3.4, Dover Publications ISBN  0-486-60153-6
• Конрад Кнопп (1990) Теория и применение бесконечных рядов, § 15, Dover Publications ISBN  0-486-66165-2
• Э. Т. Уиттакер & Г. Н. Уотсон (1963) Курс современного анализа, 4-е издание, §2.3, Издательство Кембриджского университета ISBN  0-521-58807-3

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Критерий Лейбница». MathWorld.