Правила дифференциации - Differentiation rules

Это краткое изложение правила дифференциации, то есть правила вычисления производная из функция в исчисление.

Элементарные правила дифференциации

Если не указано иное, все функции являются функциями действительные числа (р) возвращающие реальные значения; хотя в более общем плане приведенные ниже формулы применимы везде, где они хорошо определенный^[1][2] - в том числе случай сложные числа (C).^[3]

Дифференциация линейная

Для любых функций ${displaystyle f}$ и ${displaystyle g}$ и любые реальные числа ${displaystyle a}$ и ${displaystyle b}$, производная функции ${displaystyle h(x)=af(x)+bg(x)}$ относительно ${displaystyle x}$ является

${displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x).}$

В Обозначения Лейбница это записывается как:

${displaystyle {frac {d(af+bg)}{dx}}=a{frac {df}{dx}}+b{frac {dg}{dx}}.}$

Особые случаи включают:

• В правило постоянного множителя

${displaystyle (af)'=af'}$

• В правило сумм

${displaystyle (f+g)'=f'+g'}$

• Правило вычитания

${displaystyle (f-g)'=f'-g'.}$

Правило продукта

Основная статья: Правило продукта

Для функций ж и г, производная функции час(Икс) = ж(Икс) г(Икс) относительно Икс является

${displaystyle h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).}$

В обозначениях Лейбница это написано

${displaystyle {frac {d(fg)}{dx}}={frac {df}{dx}}g+f{frac {dg}{dx}}.}$

Цепное правило

Основная статья: Правило цепи

Производная функции ${displaystyle h(x)=f(g(x))}$ является

${displaystyle h'(x)=f'(g(x))cdot g'(x).}$

В обозначениях Лейбница это записывается как:

${displaystyle {frac {d}{dx}}h(x)={frac {d}{dz}}f(z)|_{z=g(x)}cdot {frac {d}{dx}}g(x),}$

часто сокращается до

${displaystyle {frac {dh(x)}{dx}}={frac {df(g(x))}{dg(x)}}cdot {frac {dg(x)}{dx}}.}$

Сосредоточение внимания на понятии карт, а дифференциал - это карта ${displaystyle { ext{D}}}$, это записывается более кратко:

${displaystyle [{ ext{D}}(fcirc g)]_{x}=[{ ext{D}}f]_{g(x)}cdot [{ ext{D}}g]_{x},.}$

Правило обратной функции

Основная статья: Обратные функции и дифференцирование

Если функция ж имеет обратная функция г, означающий, что ${displaystyle g(f(x))=x}$ и ${displaystyle f(g(y))=y,}$ тогда

${displaystyle g'={frac {1}{f'circ g}}.}$

В обозначениях Лейбница это записывается как

${displaystyle {frac {dx}{dy}}={frac {1}{frac {dy}{dx}}}.}$

Степенные законы, многочлены, частные и обратные

Правило полинома или элементарной степени

Основная статья: Правило власти

Если ${displaystyle f(x)=x^{r}}$, для любого действительного числа ${displaystyle req 0,}$ тогда

${displaystyle f'(x)=rx^{r-1}.}$

Когда ${displaystyle r=1,}$ это становится частным случаем, если ${displaystyle f(x)=x,}$ тогда ${displaystyle f'(x)=1.}$

Комбинирование правила мощности с правилами суммы и множественных постоянных позволяет вычислить производную любого многочлена.

Взаимное правило

Основная статья: Взаимное правило

Производная от ${displaystyle h(x)={frac {1}{f(x)}}}$для любой (отличной от нуля) функции ж является:

${displaystyle h'(x)=-{frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}}$ где бы ж не равно нулю.

В обозначениях Лейбница это написано

${displaystyle {frac {d(1/f)}{dx}}=-{frac {1}{f^{2}}}{frac {df}{dx}}.}$

Взаимное правило может быть получено либо из правила частного, либо из комбинации правила силы и правила цепочки.

Правило частного

Основная статья: Правило частного

Если ж и г являются функциями, то:

${displaystyle left({frac {f}{g}}ight)'={frac {f'g-g'f}{g^{2}}}quad }$ где бы г отличен от нуля.

Это может быть получено из правила продукта и правила взаимности.

Обобщенное правило власти

Основная статья: Правило власти

Правило элементарной власти значительно обобщает. Наиболее общее правило власти - это правило функциональной власти: для любых функций ж и г,

${displaystyle (f^{g})'=left(e^{gln f}ight)'=f^{g}left(f'{g over f}+g'ln fight),quad }$

везде, где обе стороны четко определены.^[4]

Особые случаи

• Если ${ extstyle f(x)=x^{a}!}$, тогда ${ extstyle f'(x)=ax^{a-1}}$когда а - любое ненулевое действительное число и Икс положительный.
• Взаимное правило может быть получено как частный случай, когда ${ extstyle g(x)=-1!}$.

Производные экспоненциальной и логарифмической функций

${displaystyle {frac {d}{dx}}left(c^{ax}ight)={ac^{ax}ln c},qquad c>0}$

приведенное выше уравнение верно для всех c, но производная для ${ extstyle c<0}$ дает комплексное число.

${displaystyle {frac {d}{dx}}left(e^{ax}ight)=ae^{ax}}$

${displaystyle {frac {d}{dx}}left(log _{c}xight)={1 over xln c},qquad c>0,ceq 1}$

вышеприведенное уравнение также верно для всех c, но дает комплексное число, если ${ extstyle c<0!}$.

${displaystyle {frac {d}{dx}}left(ln xight)={1 over x},qquad x>0.}$

${displaystyle {frac {d}{dx}}left(ln |x|ight)={1 over x}.}$

${displaystyle {frac {d}{dx}}left(x^{x}ight)=x^{x}(1+ln x).}$

${displaystyle {frac {d}{dx}}left(f(x)^{g(x)}ight)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}ln {(f(x))}{frac {dg}{dx}},qquad { ext{if }}f(x)>0,{ ext{ and if }}{frac {df}{dx}}{ ext{ and }}{frac {dg}{dx}}{ ext{ exist.}}}$

${displaystyle {frac {d}{dx}}left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{left(...ight)^{f_{n}(x)}}}ight)=left[sum limits _{k=1}^{n}{frac {partial }{partial x_{k}}}left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{left(...ight)^{f_{n}(x_{n})}}}ight)ight]{iggr vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{ ext{ if }}f_{i<n}(x)>0{ ext{ and }}}$ ${displaystyle {frac {df_{i}}{dx}}{ ext{ exists. }}}$

Логарифмические производные

В логарифмическая производная это еще один способ сформулировать правило дифференциации логарифм функции (с использованием цепного правила):

${displaystyle (ln f)'={frac {f'}{f}}quad }$ где бы ж положительный.

Логарифмическое дифференцирование - это метод, который использует логарифмы и его правила дифференцирования для упрощения определенных выражений перед фактическим применением производной. Логарифмы могут использоваться для удаления показателей степени, преобразования произведений в суммы и преобразования деления в вычитание - каждое из которых может привести к упрощенному выражению для взятия производные.

Производные тригонометрических функций

Основная статья: Дифференциация тригонометрических функций

${displaystyle (sin x)'=cos x}$	${displaystyle (arcsin x)'={1 over {sqrt {1-x^{2}}}}}$
${displaystyle (cos x)'=-sin x}$	${displaystyle (arccos x)'=-{1 over {sqrt {1-x^{2}}}}}$
${displaystyle ( an x)'=sec ^{2}x={1 over cos ^{2}x}=1+ an ^{2}x}$	${displaystyle (arctan x)'={1 over 1+x^{2}}}$
${displaystyle (cot x)'=-csc ^{2}x=-{1 over sin ^{2}x}=-(1+cot ^{2}x)}$	${displaystyle (operatorname {arccot} x)'=-{1 over 1+x^{2}}}$
${displaystyle (sec x)'= an xsec x}$	${displaystyle (operatorname {arcsec} x)'={1 over |x|{sqrt {x^{2}-1}}}}$
${displaystyle (csc x)'=-cot xcsc x}$	${displaystyle (operatorname {arccsc} x)'=-{1 over |x|{sqrt {x^{2}-1}}}}$

Обычно дополнительно определяют функция обратной тангенса с двумя аргументами, ${displaystyle arctan(y,x)!}$. Его значение лежит в диапазоне ${displaystyle [-pi ,pi ]!}$ и отражает квадрант точки ${displaystyle (x,y)!}$. Для первого и четвертого квадранта (т.е. ${displaystyle x>0!}$) надо ${displaystyle arctan(y,x>0)=arctan(y/x)!}$. Его частные производные:

${displaystyle {frac {partial arctan(y,x)}{partial y}}={frac {x}{x^{2}+y^{2}}}}$, и ${displaystyle {frac {partial arctan(y,x)}{partial x}}={frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}.}$

Производные гиперболических функций

${displaystyle (sinh x)'=cosh x={frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$	${displaystyle (operatorname {arsinh} ,x)'={1 over {sqrt {x^{2}+1}}}}$
${displaystyle (cosh x)'=sinh x={frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$	${displaystyle (operatorname {arcosh} ,x)'={frac {1}{sqrt {x^{2}-1}}}}$
${displaystyle ( anh x)'={operatorname {sech} ^{2},x}}$	${displaystyle (operatorname {artanh} ,x)'={1 over 1-x^{2}}}$
${displaystyle (operatorname {coth} ,x)'=-,operatorname {csch} ^{2},x}$	${displaystyle (operatorname {arcoth} ,x)'={1 over 1-x^{2}}}$
${displaystyle (operatorname {sech} ,x)'=- anh x,operatorname {sech} ,x}$	${displaystyle (operatorname {arsech} ,x)'=-{1 over x{sqrt {1-x^{2}}}}}$
${displaystyle (operatorname {csch} ,x)'=-,operatorname {coth} ,x,operatorname {csch} ,x}$	${displaystyle (operatorname {arcsch} ,x)'=-{1 over |x|{sqrt {1+x^{2}}}}}$

Увидеть Гиперболические функции для ограничений на эти производные.

Производные от специальных функций

Гамма-функция ${displaystyle quad Gamma (x)=int _{0}^{infty }t^{x-1}e^{-t},dt}$ ${displaystyle Gamma '(x)=int _{0}^{infty }t^{x-1}e^{-t}ln t,dt}$ ${displaystyle ,=Gamma (x)left(sum _{n=1}^{infty }left(ln left(1+{dfrac {1}{n}}ight)-{dfrac {1}{x+n}}ight)-{dfrac {1}{x}}ight)}$ ${displaystyle ,=Gamma (x)psi (x)}$ с участием ${displaystyle psi (x)}$ будучи функция дигаммы, выраженный выражением в скобках справа от ${displaystyle Gamma (x)}$ в строке выше.

Дзета-функция Римана${displaystyle quad zeta (x)=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{x}}}}$ ${displaystyle zeta '(x)=-sum _{n=1}^{infty }{frac {ln n}{n^{x}}}=-{frac {ln 2}{2^{x}}}-{frac {ln 3}{3^{x}}}-{frac {ln 4}{4^{x}}}-cdots }$ ${displaystyle ,=-sum _{p{ ext{ prime}}}{frac {p^{-x}ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}prod _{q{ ext{ prime}},qeq p}{frac {1}{1-q^{-x}}}}$

Производные интегралов

Основная статья: Дифференцирование под знаком интеграла

Предположим, что требуется дифференцировать по Икс функция

${displaystyle F(x)=int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t),dt,}$

где функции ${displaystyle f(x,t)}$ и ${displaystyle {frac {partial }{partial x}},f(x,t)}$ оба непрерывны в обоих ${displaystyle t}$ и ${displaystyle x}$ в каком-то районе ${displaystyle (t,x)}$ самолет, в том числе ${displaystyle a(x)leq tleq b(x),}$ ${displaystyle x_{0}leq xleq x_{1}}$, а функции ${displaystyle a(x)}$ и ${displaystyle b(x)}$ оба непрерывны и оба имеют непрерывные производные для ${displaystyle x_{0}leq xleq x_{1}}$. Тогда для ${displaystyle ,x_{0}leq xleq x_{1}}$:

${displaystyle F'(x)=f(x,b(x)),b'(x)-f(x,a(x)),a'(x)+int _{a(x)}^{b(x)}{frac {partial }{partial x}},f(x,t);dt,.}$

Эта формула представляет собой общую форму Интегральное правило Лейбница и может быть получен с помощью основная теорема исчисления.

Производные к пй заказ

Существуют некоторые правила для вычисления п--я производная функций, где п положительное целое число. Они включают:

Формула Фаа ди Бруно

Основная статья: Формула Фаа ди Бруно

Если ж и г находятся п-раз дифференцируемые, то

${displaystyle {frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!sum _{{k_{m}}}^{}f^{(r)}(g(x))prod _{m=1}^{n}{frac {1}{k_{m}!}}left(g^{(m)}(x)ight)^{k_{m}}}$

где ${displaystyle r=sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}$ и набор ${displaystyle {k_{m}}}$ состоит из всех неотрицательных целочисленных решений диофантова уравнения ${displaystyle sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}$.

Общее правило Лейбница

Основная статья: Общее правило Лейбница

Если ж и г находятся п-раз дифференцируемые, то

${displaystyle {frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=sum _{k=0}^{n}{inom {n}{k}}{frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}$

Смотрите также

• Тождества векторного исчисления
• Дифференцируемая функция
• Дифференциал функции
• Список математических функций
• Тригонометрические функции
• Обратные тригонометрические функции
• Гиперболические функции
• Обратные гиперболические функции
• Матричное исчисление
• Дифференцирование под знаком интеграла

использованная литература

1. Исчисление (5-е издание), Ф. Эйрес, Э. Мендельсон, Серия набросков Шаума, 2009 г., ISBN  978-0-07-150861-2.
2. Advanced Calculus (3-е издание), Р. Вреде, М.Р. Шпигель, Серия набросков Шаума, 2010 г., ISBN  978-0-07-162366-7.
3. Комплексные переменные, M.R. Speigel, S. Lipschutz, J.J. Шиллер, Д. Спеллман, Серия очертаний Шаума, Макгроу Хилл (США), 2009, ISBN  978-0-07-161569-3
4. «Правило экспоненты для деривативов». Математическое хранилище. 2016-05-21. Получено 2019-07-25.

Источники и дальнейшее чтение

Эти правила приведены во многих книгах как по элементарному, так и по продвинутому исчислению, по чистой и прикладной математике. Те, что в этой статье (в дополнение к приведенным выше ссылкам), можно найти в:

• Математический справочник формул и таблиц (3-е издание), С. Липшуц, М.Р. Шпигель, Дж. Лю, Серия набросков Шаума, 2009 г., ISBN  978-0-07-154855-7.
• Кембриджский справочник по физическим формулам, Дж. Воан, Издательство Кембриджского университета, 2010 г. ISBN  978-0-521-57507-2.
• Математические методы для физики и техники, К.Ф. Райли, М. Хобсон, С.Дж. Бенс, издательство Кембриджского университета, 2010 г., ISBN  978-0-521-86153-3
• Справочник NIST по математическим функциям, Ф. В. Дж. Олвер, Д. В. Лозье, Р. Ф. Бойсверт, К. В. Кларк, Cambridge University Press, 2010 г., ISBN  978-0-521-19225-5.

внешние ссылки

• Калькулятор производных с упрощением формул