Гиперболические функции - Hyperbolic functions

«Гиперболическая кривая» перенаправляется сюда. Для геометрической кривой см. Гипербола.

В математика, гиперболические функции являются аналогами обычных тригонометрические функции определены для гипербола а не на круг: так же, как точки (потому что тгрех т) сформировать круг с единичным радиусом, точки (ш т, зп т) образуют правую половину равностороннего гипербола.

Гиперболические функции встречаются при вычислении углов и расстояний в гиперболическая геометрия. Они также встречаются в решениях многих линейных дифференциальные уравнения (например, уравнение, определяющее цепная связь ), кубические уравнения, и Уравнение Лапласа в Декартовы координаты. Уравнения Лапласа важны во многих областях физика, в том числе электромагнитная теория, теплопередача, динамика жидкостей, и специальная теория относительности.

Основные гиперболические функции:^[1][2]

• гиперболический синус "зин" (/ˈsɪŋ,ˈsɪпtʃ,ˈʃаɪп/),^[3]
• гиперболический косинус "ш" (/ˈkɒʃ,ˈkoʊʃ/),^[4]

из которых получены:^[5]

• гиперболический тангенс "танх" (/ˈтæŋ,ˈтæпtʃ,ˈθæп/),^[6]
• гиперболический косеканс «цщ» или «когеч» (/ˈkoʊsɛtʃ,ˈkoʊʃɛk/^[4])
• гиперболический секанс «сечь» (/ˈsɛtʃ,ˈʃɛk/),^[7]
• гиперболический котангенс "кот" (/ˈkɒθ,ˈkoʊθ/),^[8][9]

соответствующие производным тригонометрическим функциям.

В обратные гиперболические функции находятся:^[1]

• площадь гиперболического синуса "арсинх" (также обозначаемый "синх⁻¹"," asinh "или иногда" arcsinh ")^[10][11][12]
• гиперболический косинус площади «аркош» (также обозначается как «сш»⁻¹"," acosh "или иногда" arccosh "
• и так далее.

Луч сквозь гипербола единиц Икс² − у² = 1 в точке (ш а, зп а), где а вдвое больше площади между лучом, гиперболой и Икс-ось. Для точек на гиперболе ниже Икс-оси площадь считается отрицательной (см. анимированная версия со сравнением с тригонометрическими (круговыми) функциями).

Гиперболические функции принимают реальный аргумент называется гиперболический угол. Размер гиперболического угла в два раза больше площади его гиперболический сектор. Гиперболические функции могут быть определены в терминах стороны прямоугольного треугольника охватывающий этот сектор.

В комплексный анализ, гиперболические функции возникают как мнимые части синуса и косинуса. Гиперболический синус и гиперболический косинус равны целые функции. В результате другие гиперболические функции мероморфный во всей комплексной плоскости.

От Теорема Линдемана – Вейерштрасса, гиперболические функции имеют трансцендентная ценность для каждого ненулевого алгебраическое значение аргумента.^[13]

Гиперболические функции были введены в 1760-х годах независимо Винченцо Риккати и Иоганн Генрих Ламберт.^[14] Риккати использовал Sc. и Копия (синус / косинус циркулярный) для обозначения круговых функций и Ш. и Гл. (синус / гиперболический косинус) для обозначения гиперболических функций. Ламберт принял эти имена, но изменил сокращения на те, которые используются сегодня.^[15] Сокращения ш, ch, th, cth также используются в настоящее время, в зависимости от личных предпочтений.

Определения

грех, шиш и танх

csch, сечь и кот

Существуют различные эквивалентные способы определения гиперболических функций.

Экспоненциальные определения

грех Икс половина разница из е^Икс и е^−Икс

шиш Икс это средний из е^Икс и е^−Икс

Что касается экспоненциальная функция:^[2][5]

• Гиперболический синус: странная часть экспоненциальной функции, то есть

  ${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}$

• Гиперболический косинус: даже часть экспоненциальной функции, то есть

  ${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}$

• Гиперболический тангенс:

  ${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}$

• Гиперболический котангенс: для Икс ≠ 0,

  ${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}$

• Гиперболический секанс:

  ${\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}}$

• Гиперболический косеканс: для Икс ≠ 0,

  ${\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}}$

Определения дифференциальных уравнений

Гиперболические функции можно определить как решения дифференциальные уравнения: Гиперболический синус и косинус - уникальное решение. (s, c) системы

${\displaystyle {\begin{aligned}c'(x)&=s(x)\\s'(x)&=c(x)\end{aligned}}}$

такой, что s(0) = 0 и c(0) = 1.

Они также являются единственным решением уравнения ж ″(Икс) = ж (Икс), так что ж (0) = 1, ж ′(0) = 0 для гиперболического косинуса и ж (0) = 0, ж ′(0) = 1 для гиперболического синуса.

Сложные тригонометрические определения

Гиперболические функции также могут быть выведены из тригонометрические функции с участием сложный аргументы:

• Гиперболический синус:^[2]

  ${\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix)}$

• Гиперболический косинус:^[2]

  ${\displaystyle \cosh x=\cos(ix)}$

• Гиперболический тангенс:

  ${\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix)}$

• Гиперболический котангенс:

  ${\displaystyle \coth x=i\cot(ix)}$

• Гиперболический секанс:

  ${\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix)}$

• Гиперболический косеканс:

  ${\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix)}$

где я это мнимая единица с участием я² = −1.

Приведенные выше определения связаны с экспоненциальными определениями через Формула Эйлера (Увидеть § Гиперболические функции для комплексных чисел ниже).

Характеристика свойств

Гиперболический косинус

Можно показать, что площадь под кривой гиперболического косинуса (на конечном интервале) всегда равна длине дуги, соответствующей этому интервалу:^[16]

${\displaystyle {\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{arc length.}}}$

Гиперболический тангенс

Гиперболический тангенс - это решение дифференциальное уравнение ж ′ = 1 − ж ², с участием ж (0) = 0 и нелинейный краевая задача:^[17][18]

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}f''=f^{3}-f;\quad f(0)=f'(\infty )=0.}$

Полезные отношения

Гиперболические функции удовлетворяют многим тождествам, все они по форме похожи на тригонометрические тождества. По факту, Правило Осборна^[19] утверждает, что можно преобразовать любое тригонометрическое тождество для ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle 2\theta }$, ${\displaystyle 3\theta }$ или ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle \varphi }$ в гиперболическую идентичность, полностью расширив ее с точки зрения интегральных степеней синусов и косинусов, изменив синус на sinh и косинус на cosh, и изменив знак каждого члена, содержащего произведение двух sinh.

Нечетные и четные функции:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}}$

Отсюда:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}$

Таким образом, шиш Икс и сечь Икс находятся четные функции; другие нечетные функции.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{x}}\right)\end{aligned}}}$

Гиперболический синус и косинус удовлетворяют:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\\\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\end{aligned}}}$

последний из которых похож на Пифагорейская тригонометрическая идентичность.

Также есть

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\end{aligned}}}$

для других функций.

Суммы аргументов

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\[6px]\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}$

особенно

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}}$

Также:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$

Формулы вычитания

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}$

Также:^[20]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$

Формулы половинного аргумента

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}}$

где sgn это функция знака.

Если Икс ≠ 0, тогда^[21]

${\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x}$

Квадратные формулы

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh ^{2}x&={\frac {1}{2}}(\cosh 2x-1)\\\cosh ^{2}x&={\frac {1}{2}}(\cosh 2x+1)\end{aligned}}}$

Неравенства

В статистике полезно следующее неравенство:${\displaystyle \operatorname {cosh} (t)\leq e^{t^{2}/2}}$ ^[22]

Это можно доказать, послеменно сравнивая ряды Тейлора этих двух функций.

Обратные функции как логарифмы

Основная статья: Обратная гиперболическая функция

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geqslant 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leqslant 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{aligned}}}$

Производные

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}}$

Вторые производные

Sinh и cosh равны своим вторая производная, это:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sinh x=\sinh x\,}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cosh x=\cosh x\,.}$

Все функции с этим свойством линейные комбинации греха и кош, в частности экспоненциальные функции ${\displaystyle e^{x}}$ и ${\displaystyle e^{-x}}$.

Стандартные интегралы

Полный список см. список интегралов от гиперболических функций.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left(\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right)+C=a^{-1}\ln \left|\operatorname {csch} (ax)-\coth(ax)\right|+C\end{aligned}}}$

Следующие интегралы можно доказать с помощью гиперболическая замена:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}}$

где C это постоянная интеграции.

Выражения ряда Тейлора

Можно явно выразить Серия Тейлор на нуле (или Серия Laurent, если функция не определена в нуле) указанных выше функций.

${\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$

Эта серия сходящийся для каждого сложный ценность Икс. Поскольку функция грех Икс является странный, только нечетные показатели для Икс происходят в его серии Тейлора.

${\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$

Эта серия сходящийся для каждого сложный ценность Икс. Поскольку функция шиш Икс является даже, только четные показатели для Икс происходят в его серии Тейлора.

Сумма рядов sinh и cosh равна бесконечная серия выражение экспоненциальная функция.

Следующие серии сопровождаются описанием подмножества их область конвергенции, где ряд сходится, а его сумма равна функции.

${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} \,x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} \,x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}}$

где:

${\displaystyle B_{n}\,}$ это пth Число Бернулли

${\displaystyle E_{n}\,}$ это пth Число Эйлера

Сравнение с круговыми функциями

Касательная к окружности и гиперболе в точке (1,1) отображает геометрию круговых функций в терминах круговой сектор площадь ты и гиперболические функции в зависимости от гиперболический сектор площадь ты.

Гиперболические функции представляют собой разложение тригонометрия за пределами круговые функции. Оба типа зависят от аргумент, либо круговой угол или гиперболический угол.

Поскольку площадь кругового сектора с радиусом р и угол ты (в радианах) равно р²ты/ 2, она будет равна ты когда р = √2. На схеме такая окружность касается гиперболы ху = 1 в (1,1). Желтый сектор обозначает площадь и угловую величину. Точно так же желтый и красный секторы вместе обозначают область и величина гиперболического угла.

Ноги двоих прямоугольные треугольники с гипотенузой на луче, определяющем углы, имеют длину √2 умножить на круговые и гиперболические функции.

Гиперболический угол - это инвариантная мера с уважением к сжатие, так же, как круговой угол инвариантен относительно вращения.^[23]

В Функция Гудермана дает прямую связь между круговыми функциями и гиперболическими функциями, не использующими комплексные числа.

График функции а сш (Икс/а) это цепная связь, кривая, образованная однородной гибкой цепью, свободно свисающей между двумя фиксированными точками под действием равномерного силы тяжести.

Связь с экспоненциальной функцией

Разложение экспоненты по ее четные и нечетные части дает личности

${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x,}$

и

${\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.}$

Первый аналогичен Формула Эйлера

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$

Дополнительно,

${\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}}$

Гиперболические функции для комплексных чисел

Поскольку экспоненциальная функция можно определить для любого сложный аргумент, мы также можем расширить определения гиперболических функций до сложных аргументов. Функции sinhz и шишz тогда голоморфный.

Отношения к обычным тригонометрическим функциям задаются формулой Формула Эйлера для комплексных чисел:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\sin x\end{aligned}}}$

так:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}}$

Таким образом, гиперболические функции периодический по мнимой составляющей с периодом ${\displaystyle 2\pi i}$ (${\displaystyle \pi i}$ для гиперболического тангенса и котангенса).

Гиперболические функции на комплексной плоскости

${\displaystyle \operatorname {sinh} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {cosh} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {tanh} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {coth} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {sech} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {csch} (z)}$

Смотрите также

• e (математическая константа)
• Теорема о равных вписанных окружностях, основанный на синх
• Гиперболический рост
• Обратные гиперболические функции
• Список интегралов от гиперболических функций
• Спирали Пуансо
• Сигмовидная функция
• Модифицированный гиперболический тангенс Соболевой
• Тригонометрические функции

использованная литература

1. «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-08-29.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболические функции». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-29.
3. (1999) Краткий словарь Коллинза, 4-е издание, HarperCollins, Глазго, ISBN  0 00 472257 4, п. 1386
4. Краткий словарь Коллинза, п. 328
5. «Гиперболические функции». www.mathsisfun.com. Получено 2020-08-29.
6. Краткий словарь Коллинза, п. 1520
7. Краткий словарь Коллинза, п. 1340
8. Краткий словарь Коллинза, п. 329
9. танх
10. Вудхаус, Н. М. Дж. (2003), Специальная теория относительности, Лондон: Springer, стр. 71, ISBN  978-1-85233-426-0
11. Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А., ред. (1972), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-61272-0
12. Некоторые примеры использования arcsinh нашел в Google Книги.
13. Нивен, Иван (1985). Иррациональные числа. 11. Математическая ассоциация Америки. ISBN  9780883850381. JSTOR  10.4169 / j.ctt5hh8zn.
14. Роберт Э. Брэдли, Лоуренс А. Д'Антонио, Чарльз Эдвард Сандифер. 300 лет Эйлеру: признание. Математическая ассоциация Америки, 2007. Стр. 100.
15. Георг Ф. Беккер. Гиперболические функции. Прочтите книги, 1931. Страница xlviii.
16. Н.П., Бали (2005). Золотое интегральное исчисление. Брандмауэр Media. п. 472. ISBN  81-7008-169-6.
17. Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболический тангенс». MathWorld.
18. «Получение тангенциального раствора в 1/2ж" = ж³ − ж". Математика StackExchange. Получено 18 марта 2016.
19. Осборн, Г. (июль 1902 г.). «Мнемоника для гиперболических формул». Математический вестник. 2 (34): 189. Дои:10.2307/3602492. JSTOR  3602492.
20. Мартин, Джордж Э. (1986). Основы геометрии и неевклидова плоскость (1-й кор. Ред.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 416. ISBN  3-540-90694-0.
21. «Докажи личность». StackExchange (математика). Получено 24 января 2016.
22. Audibert, Жан-Ив (2009). «Высокая скорость обучения статистическому выводу посредством агрегирования». Летопись статистики. п. 1627. [1]
23. Меллен В. Хаскелл, «О введении понятия гиперболических функций», Бюллетень Американского математического общества 1:6:155–9, полный текст

внешние ссылки

• «Гиперболические функции», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Гиперболические функции на PlanetMath
• ГониоЛаб: Визуализация единичного круга, тригонометрических и гиперболических функций (Запуск Java Web )
• Веб-калькулятор гиперболических функций