Exsecant - Exsecant

В эксцентричный (exsec, бывшие) и excosecant (excosec, исключая, отлично) находятся тригонометрические функции определены в терминах секущий и косеканс функции. Раньше они были важны в таких областях, как геодезия, железнодорожная техника, гражданское строительство, астрономия, и сферическая тригонометрия и могут помочь повысить точность, но сегодня используются редко, за исключением упрощения некоторых вычислений.

А единичный круг с участием тригонометрические функции.^[1]

Exsecant

Тригонометрические функции, включая эксеканс, могут быть построены геометрически в терминах единичного круга с центром в О. Exsecant - это часть DE секущей внешний вид в круг.

Вэксцентричный,^{[2][3][4][5][6][7][8][9]} (Латинский: секанс экстерьер^{[10][11][12][13]}) также известен как внешний вид, внешний,^{[1][14][15][16][17]} наружу или внешняя секущая и сокращенно exsec^{[14][2][5][18][7][8][9][15][16][19][20][21]} или бывшие,^[22] это тригонометрическая функция определяется через секущую функцию sec (θ):^[7][21][23]

${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )=\sec(\theta )-1={\frac {1}{\cos(\theta )}}-1.}$^{[7][8][9][15][16][19][20][21][23]}

Название эксцентричный можно понять из графического построения различных тригонометрических функций из единичный круг, такие, которые использовались исторически. сек (θ) это секущая линия OE, а exsecant - это часть DE этого секанса, что лежит внешний вид к кругу (бывший является латинский для снаружи).

Excosecant

exsecant (синий) и excosecant (зеленый)

Связанная функция - это excosecant^[5][24] или сосексуальный,^[25][18][26] также известен как внешний вид, внешний,^[17] наружу или внешний косеканс и сокращенно excosec, coexsec,^[14][18][26] исключая^[5][24] или отлично,^[22] эксеканс дополнительного угла:

${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\operatorname {exsec} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc(\theta )-1={\frac {1}{\sin(\theta )}}-1.}$^[24]

Применение

Важно в таких областях, как геодезия,^[8] железнодорожная техника^[5] (например выложить кривые железной дороги и вираж ), гражданское строительство, астрономия, и сферическая тригонометрия до 80-х годов прошлого века функция exsecant практически не использовалась.^[8][23] В основном это связано с широкой доступностью калькуляторы и компьютеры устранила необходимость в тригонометрических таблицах специализированных функций, таких как эта.^[8]

Причина для определения специальной функции для exsecant аналогична обоснованию для Версина: для маленьких углы θ, сек (θ) функция приближается один, поэтому использование приведенной выше формулы для эксеканса будет включать вычитание двух почти равных величин, в результате чего катастрофическая отмена. Таким образом, таблица функции секущей потребует очень высокой точности, чтобы использовать ее для эксеканса, что делает полезной специализированную таблицу секущей. Даже с компьютером, плавающая точка ошибки могут быть проблематичными для exsecants малых углов, если использовать определение на основе косинуса. Более точной формулой в этом пределе было бы использование идентификатора:

${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )={\frac {1-\cos(\theta )}{\cos(\theta )}}={\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{\cos(\theta )}}=\operatorname {versin} (\theta )\sec(\theta )=2\left(\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)^{2}\sec(\theta )}$^[3][4][17]

или

${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )={\frac {1-\sin(\theta )}{\sin(\theta )}}={\frac {\operatorname {coversin} (\theta )}{\sin(\theta )}}=\operatorname {coversin} (\theta )\csc(\theta )=2\left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)^{2}\csc(\theta ).\ }$^[17]

До появления компьютеров для этого потребовалось бы трудоемкое умножение.

Функция exsecant использовалась Галилео Галилей уже в 1632 году, хотя он еще называл это сеганте (смысл секущий ).^{[27][28][29][30]} Латинский термин секанс экстерьер использовался по крайней мере с 1745 года.^{[10][11][12][13]} Использование английского термина внешняя секущая и сокращение напр. сек. можно проследить по крайней мере до 1855 года, когда Чарльз Хаслетт опубликовал первую известную Таблица бывших.^[1][31] Такие вариации, как бывший секущий и exsec использовались в 1880 г.,^[14] и эксцентричный меньше всего использовался с 1894 года.^[2]

Условия сосексуальный^[25] и coexsec^[2] можно найти в употреблении еще в 1880 г.^[2][25] с последующим excosecant с 1909 г.^[5] Эту функцию также использовали Альберт Эйнштейн описать кинетическая энергия из фермионы.^[29][30]

Математические тождества

Производные

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatorname {exsec} (\theta )=\tan(\theta )\sec(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{(\cos(\theta ))^{2}}}}$^[21]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatorname {excsc} (\theta )=-\cot(\theta )\csc(\theta )={\frac {-\cos(\theta )}{(\sin(\theta ))^{2}}}}$

Интегралы

${\displaystyle \int \operatorname {exsec} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\theta +C}$^[21]

${\displaystyle \int \operatorname {excsc} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\theta +C}$

Обратные функции

Обратные функции arcexsecant^[26] (arcexsec,^[5][26] aexsec,^[32][33] aexs, exsec⁻¹) и arcexcosecant (arcexcosec, arcexcsc,^[5] aexcsc, aexc, аркосексанс, arccoexsec, исключая⁻¹) тоже существуют:

${\displaystyle \operatorname {arcexsec} (y)=\operatorname {arcsec}(y+1)=\arccos \left({\frac {1}{y+1}}\right)=\arctan({\sqrt {y^{2}+2y}})}$^[26][32][33] (для у ≤ −2 или у ≥ 0)^[26]

${\displaystyle \operatorname {arcexcsc} (y)=\operatorname {arccsc}(y+1)=\arcsin \left({\frac {1}{y+1}}\right)\,}$

Другие свойства

Получено из единичного круга:

${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )=\sec(\theta )-\cos(\theta )-\operatorname {versin} (\theta ).}$

${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\operatorname {csc} (\theta )-\sin(\theta )-\operatorname {coversin} (\theta ).}$

Функция exsecant связана с касательная функция

${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )=\tan(\theta )\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$^[23]

Аналогично, функция экзосеканса связана с котангенс функция

${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\cot(\theta )\cot \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$

Функция exsecant связана с синус функция

${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )={\frac {1}{\sqrt {1-(\sin(\theta ))^{2}}}}-1.}$

Аналогично, функция экзосеканса связана с косинус функция

${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )={\frac {1}{\sqrt {1-(\cos(\theta ))^{2}}}}-1.}$^[30]

Функции exsecant и excosecant могут быть расширены на комплексная плоскость.^[21]

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )}{\theta }}=0}$^[5]

${\displaystyle {\frac {\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )}{\operatorname {exsec} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta )}}={\frac {2\operatorname {versin} (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}}$^[5]

${\displaystyle (\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {versin} (\theta ))\,(\operatorname {excsc} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta ))=\sin(\theta )\cos(\theta )}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {exsec} (2\theta )={\frac {2\sin ^{2}(\theta )}{1-2\sin ^{2}(\theta )}}}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {exsec} (2\theta )\,\cos(2\theta )=\tan(\theta )}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {exsec} ^{2}(\theta )+2\operatorname {exsec} (\theta )=\tan ^{2}(\theta )}$^[5]

Смотрите также

• Тригонометрические тождества - Равенства, включающие тригонометрические функции
• Версина - 1 минус косинус угла
• Аккорд - Геометрический отрезок прямой, оба конца которого лежат на кривой
• Вписанная и вневписанная окружности треугольника - Окружности, касающиеся всех трех сторон треугольника
• Экспоненциальная минус 1
• Натуральный логарифм плюс 1

использованная литература

1. Хаслетт, Чарльз (сентябрь 1855 г.). Хакли, Чарльз В. (ред.). Практическое руководство для механика, машиниста, инженера: содержит таблицы и формулы для использования при поверхностных и твердых измерениях; прочность и вес материалов; механика; техника; гидравлика, гидродинамика; судовые двигатели, химия; и разные рецепты. Адаптирован для всех классов практической механики. Вместе с Полевой Книгой Инженера: Содержит формулы для различных бегущих и изменяющихся линий, расположения боковых путей и переключателей, и т. Д. И т. Д. Таблицы радиусов и их логарифмов, натуральные и логарифмические синусы и внешние секущие, натуральные синусы и тангенсы для каждого градуса и минуты квадранта, а также логарифмы натуральных чисел от 1 до 10 000. Нью-Йорк, США: Джеймс Г. Грегори, преемник W. A. ​​Townsend & Co. (Stringer & Townsend). Получено 2017-08-13. […] Тем не менее, потребуется много вычислительной работы, которую можно сэкономить, используя таблицы внешние секущие и разбирающиеся синусы, которые недавно с большим успехом применялись инженерами на Железная дорога Огайо и Миссисипи, и которые вместе с формулами и правилами, необходимыми для их применения при построении кривых, составленные г-ном Хаслеттом, одним из инженеров той дороги, теперь впервые представлены публике. […] Представляя эту работу широкой публике, автор утверждает, что она является адаптацией нового принципа тригонометрического анализа формул, обычно используемых в полевых расчетах. Опыт показал, что в расчетах кривых часто используются синусы и внешние секущие, как синусы и касательные; и благодаря их использованию, как показано в примерах, приведенных в этой работе, считается, что многие из общих правил значительно упрощаются, а многие вычисления, касающиеся кривых и бегущих линий, становятся менее сложными, а результаты получаются с большей точностью и меньше хлопот, чем при использовании любых методов, заложенных в подобных работах. Все приведенные примеры основаны на реальной практике и сами себя объяснят. […] Будучи книгой для практического использования в полевых исследованиях, можно с уверенностью сказать, что она более прямолинейна в применении правил и простоте вычислений, чем любая другая работа, которая сейчас используется. В дополнение к таблицам, которые обычно встречаются в книгах подобного рода, автор с большим трудом подготовил Таблицу натуральных и логарифмических сближенных синусов и внешних секущих, рассчитанных в градусах для каждой минуты; а также таблица радиусов и их логарифмов от 1 ° до 60 °. […] Издание 1856 г.
2. Аллен, Кальвин Франк (1894) [1889]. Железнодорожные повороты и земляные работы. Нью-Йорк, США; Лондон, Великобритания: Spon & Chamberlain; Э. энд Ф. Спон, ООО. Получено 2015-11-16.
3. Нэгл, Джеймс К. (1897). "IV.138.-165 .: Переходные кривые; Таблица XIII .: Естественные версии и расходящиеся". Полевое руководство для инженеров железнодорожного транспорта (1-е изд.). Нью-Йорк, США: Джон Уайли и сыновья, Chapman and Hall, Limited. С. 110–142, 332–354. Получено 2015-11-16.
4. «Полевое руководство для инженеров железнодорожного транспорта» (PDF). Инженер (Обзор): 540. 1897-12-03. В архиве (PDF) из оригинала от 17.11.2015. Получено 2015-11-17.
5. Холл, Артур Грэм; Фринк, Фред Гудрич (январь 1909 г.). «Обзор упражнений [100] Вторичные тригонометрические функции». Написано в Анн-Арборе, Мичиган, США. Тригонометрия. Часть I: Плоская тригонометрия. Нью-Йорк, США: Генри Холт и компания / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Норвуд, Массачусетс, США. п. 125. Получено 2017-08-12.
6. Бойер, Карл Бенджамин (1969) [1959]. "5: Комментарий к статье Э. Дж. Дейкстерхейс (Истоки классической механики от Аристотеля до Ньютона) ». В Clagett, Marshall (ed.). Критические проблемы истории науки (3-е изд.). Мэдисон, Милуоки и Лондон: University of Wisconsin Press, Ltd. С. 185–190. ISBN  0-299-01874-1. LCCN  59-5304. 9780299018740. Получено 2015-11-16.
7. Цукер, Рут (1983) [июнь 1964]. «Глава 4.3.147: Элементарные трансцендентные функции - Круговые функции». В Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн (ред.). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 78. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. Г-Н  0167642. LCCN  65-12253.
8. Калверт, Джеймс Б. (14 сентября 2007 г.) [10 января 2004 г.]. «Тригонометрия». Архивировано из оригинал на 2007-10-02. Получено 2015-11-08.
9. Тэпсон, Фрэнк (2004). «Общие сведения о мерах: углы». 1.4. Расколоть книги. В архиве из оригинала от 09.02.2007. Получено 2015-11-12.
10. Пату, Андрша-Клаудио (Андре Клод); Ле Торт, Варфоломей (февраль 1745 г.). Ривар, Франциск (Доминик-Франсуа) (ред.). Математические тезисыæ De Mathesi Generatim (на латыни). Collegio Dormano – Bellovaco (Collège de Dormans – Beauvais ), Париж: Ph. N. Lottin. п. 6. Получено 2017-08-06.
11. Лемонье, Петро (Пьер) (1750). Genneau, Ludovicum (Людовико); Роллин, Якобум (Жак) (ред.). Physica Generalis. Cursus Philosophicus Ad Scholarum Usum Accomodatus (на латыни). 3. Collegio Harcuriano (Collège d'Harcourt ), Париж. стр. 303–. Получено 2017-08-06.
12. Тисберт, Ян-Франс (1774 г.). "Articulus II: De situ lineæ rectæ ad Circularem; & de mensura angulorum, quorum vertex non est in looccentro. §1. De situ lineæ rectæ ad Circularem. Definitio II: [102]". Геометрия elementaria et Practica (на латыни). Lovanii, e typographia academica. п. 30, складной. Получено 2017-08-06.
13. ван Хехт, Иоаннес (1784). «Articulus III: De secantibus circi: Corollarium III: [109]». Geometria elementaria et Practica: quam in usum auditorum (на латыни). Lovanii, e typographia academica. п. 24, складной. Получено 2017-08-06.
14. Сирлз, Уильям Генри (1880-03-01). Полевая инженерия - Справочник по теории и практике геодезии, размещения и строительства железных дорог, разработанный для учебных классов, полевых и офисных помещений и содержащий большое количество полезных таблиц, оригинальных и избранных. (PDF). Нью-Йорк, США: Джон Уайли и сыновья. В архиве (PDF) из оригинала на 13.08.2017. Получено 2017-08-13. 8-е переработанное издание 1887 г. 16-е издание, 1910 г.
15. Кахори, Флориан (1952) [март 1929]. История математических обозначений. 2 (2 (3-е исправленное издание 1929 г.) изд.). Чикаго, США: Издательство open court. п. 173. ISBN  978-1-60206-714-1. 1602067147. Получено 2015-11-11. (NB. ISBN и ссылка для перепечатки 2-го издания компанией Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)
16. Суонсон, Тодд; Андерсен, Джанет; Кили, Роберт (1999). «5 (тригонометрические функции)» (PDF). Precalculus: исследование функций и их приложений. Harcourt Brace & Company. п. 344. Архивировано с оригинал (PDF) на 2003-06-17. Получено 2015-11-12.
17. Готтшалк, Уолтер Хельбиг (2002). Некоторые причудливые, любопытные и почти забытые триггерные функции (PDF). Гештальты Готтшалка - серия, иллюстрирующая инновационные формы организации и изложения математики. 80. Провиденс, Род-Айленд, США: Infinite Vistas Press. ПВД РИ, ГГ80. В архиве (PDF) из оригинала от 25.09.2013. Получено 2015-11-17.
18. Фрай, Альберт I. (1918) [1913]. Записная книжка инженера-строителя: справочник для инженеров, подрядчиков и студентов, содержащий правила, данные, методы, формулы и таблицы. (2 (исправленное) изд.). Нью-Йорк, США; Лондон, Великобритания: Компания D. Van Nostrand; Констебль и компания, Ltd. Получено 2015-11-16.
19. Кеньон, Альфред Монро; Ингольд, Луи (1913). Тригонометрия. Нью-Йорк, США: Компания Macmillan. п.5. Получено 2015-12-08.
20. Хадсон, Ральф Гортон; Липка, Иосиф (1917). Учебник по математике. Нью-Йорк, США: Джон Вили и сыновья. п. 68. Получено 2015-12-08.
21. Вайсштейн, Эрик Вольфганг (2015) [2005]. "Exsecant". MathWorld. Wolfram Research, Inc. В архиве из оригинала 29.11.2005. Получено 2015-11-05.
22. Шейнифелт, Тед В. «的 的 Примечания о кругах, ज्य, & कोज्य: Что такое хаверкозин?». Хило, Гавайи: Гавайский университет. В архиве из оригинала от 19.09.2015. Получено 2015-11-08.
23. Олдхэм, Кейт Б.; Myland, Jan C .; Спаниер, Джером (2009) [1987]. «33.13. Функции Secant sec (x) и Cosecant csc (x) - функции Cognate». Атлас функций: с Equator, калькулятор функций Атласа (2-е изд.). Springer Science + Business Media, LLC. п.336. Дои:10.1007/978-0-387-48807-3. ISBN  978-0-387-48806-6. LCCN  2008937525.
24. Вайсштейн, Эрик Вольфганг (2015) [2013]. "Excosecant". MathWorld. Wolfram Research, Inc. В архиве из оригинала от 26.03.2014. Получено 2015-11-05.
25. Боханнан, Россер Даниэль (1904) [1903]. «$ 131. Стихийный синус, эксеканс и сосексанс. §132. Упражнения». Плоская тригонометрия. Государственный университет Огайо: Аллин и Бэкон, Бостон, США / Дж. С. Кушинг и Ко - Бервик и Смит Ко, Норвуд, Массачусетс. стр. 235–236. Получено 2017-07-09.
26. ван Влиймен, Оскар (2005-12-28) [2003]. «Гониология». Eenheden, constanten en разговоры. В архиве из оригинала от 28.10.2009. Получено 2015-11-28.
27. Галилей, Галилей (1632). Dialogo di Galileo Galilei sopra i due massimi sistemi del mondo Tolemaico e Copernicano [Диалог о двух главных мировых системах, Птолемеевой и Коперниканской] (на итальянском).
28. Галилей, Галилей (1997-05-25) [1632]. Finocchiaro, Морис А. (ред.). Галилей о мировых системах: новый сокращенный перевод и руководство. Калифорнийский университет Press. стр.184 (№130), 184 (№135), 192 (№158). ISBN  9780520918221. Получено 2017-07-30. […] Слово Галилея - сеганте (что означает секущий ), но он явно намеревается exsecant; exsecant определяется как часть секанса вне круга […]
29. Хокинг, Стивен Уильям, изд. (2002). На плечах гигантов: великие труды по физике и астрономии. Филадельфия, США: Бегущий пресс. ISBN  0-7624-1698-X. LCCN  2002100441. Получено 2017-07-31.
30. Ставек, Иржи (10 марта 2017 г.) [26 февраля 2017 г.]. «О скрытой красоте тригонометрических функций». Прикладные исследования физики. Прага, Чехия: Канадский центр науки и образования. 9 (2): 57–64. Дои:10.5539 / апр.v9n2p57. ISSN  1916-9639. ISSN  1916-9647. [1]
31. Бедный, Генри Варнум, изд. (1856-03-22). "ПРАКТИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК и Полевая книга инженера. Чарльз Хаслетт, генеральный директор Под редакцией профессора Чарльза В. Хакли, 1 том 12 месяцев. Стр. 617. Цена 2,50 доллара. Колумбийский колледж, Н. Ю. Стрингер и Таунсенд" (PDF). American Railroad Journal - Steam Navigation, Commerce, Mining, Производители (Обзор). Вторая четверть серии. J. H. Schultz & Co. XII (12): 184. Целый No. 1040, Vol. XX. Получено 2017-08-14.
32. Симпсон, Дэвид Г. (2001-11-08). «АУСТРИГ» (Фортран 90 исходный код). Гринбелт, Мэриленд, США: Центр космических полетов имени Годдарда НАСА. В архиве из оригинала от 16.06.2008. Получено 2015-10-26.
33. ван ден Доэль, Кес (25 января 2010 г.). "jass.utils Class Fmath". JASS - система синтеза звука Java. 1.25. В архиве из оригинала от 02.09.2007. Получено 2015-10-26.