Секущая линия - Secant line

Для получения информации о секущей тригонометрической функции см. Секанс (тригонометрия).

В геометрия, а секущий из изгиб это линия который пересекает кривую как минимум в двух различных точки.[1]Слово секущий исходит из латинский слово охранять, смысл резать.[2] В случае круг секущая пересечет окружность ровно в двух точках. А аккорд это актуальный отрезок определяется этими двумя точками, то есть интервал на секущей, концы которой находятся в этих положениях.[3]

Круги

Дальнейшая информация: Круг § Аккорды
Общие линии и отрезки на окружности, включая секущую

Прямая линия может пересекать круг в нуле, одной или двух точках. Прямая, пересекающаяся в двух точках, называется секущая линия, в одной точке a касательная линия и ни в коем случае внешняя линия. А аккорд круга - это отрезок прямой, соединяющий две различные точки круга. Следовательно, хорда содержится в уникальной секущей линии, и каждая секущая линия определяет уникальный хорд.

В строгих современных методах лечения плоская геометрия, результаты, которые кажутся очевидными и были приняты (без утверждения) Евклид в его лечение, обычно доказываются.

Например, Теорема (элементарная круговая непрерывность):[4] Если это круг и линия, содержащая точку А это внутри и точка B это за пределами тогда это секущая линия для .

В некоторых ситуациях выражение результатов в виде секущих, а не аккордов может помочь объединить утверждения. В качестве примера рассмотрим результат:[5]

Если две секущие линии содержат хорды AB и CD по кругу и пересекаются в точке п который не находится на окружности, то длины отрезков линии удовлетворяют AP⋅PB = CP⋅PD.

Если точка п лежит внутри круга, это Евклид III.35, но если точка находится вне круга, результат не содержится в Элементах. Тем не мение, Роберт Симсон следующий Кристофер Клавиус продемонстрировал этот результат, иногда называемый теорема о секансе в своих комментариях к Евклиду.[6]

Кривые

При работе с кривыми, более сложными, чем простые круги, возникает вероятность того, что линия, которая пересекает кривую в двух различных точках, может пересекаться с кривой в других точках. Некоторые авторы определяют секущую линию кривой как линию, которая пересекает кривую в двух различных точках. Это определение оставляет открытой возможность того, что линия может иметь другие точки пересечения с кривой. При такой формулировке определения секущей линии для окружностей и кривых идентичны, и возможность дополнительных точек пересечения просто не возникает для окружности.

Секущие и касательные

Секущие можно использовать для приблизительный в касательная линия к изгиб, в какой-то момент п, если он существует. Определим секанс кривой двумя точки, п и Q, с п фиксированный и Q Переменная. В качестве Q подходы п вдоль кривой, если склон секущих приближается к предельное значение, то этот предел определяет наклон касательной в точке п.[1] Секущие линии PQ являются приближениями к касательной. В исчислении эта идея представляет собой геометрическое определение производная.

Касательная в точке п секущая линия кривой

Касательная к кривой в точке п может быть секущей к этой кривой, если она пересекает кривую хотя бы в одной точке, кроме п. Другой способ взглянуть на это - понять, что касательная линия в точке п это местный свойство, зависящее только от кривой в непосредственной близости от п, а секущая - это Глобальный свойство, так как необходимо исследовать всю область функции, производящей кривую.

Наборы и п-секанты

Концепция секущей линии может применяться в более общем контексте, чем евклидово пространство. Позволять K быть конечным набором k точки в некоторой геометрической обстановке. Линия будет называться п-секун K если он содержит точно п точки K.[7] Например, если K представляет собой набор из 50 точек, расположенных на окружности в евклидовой плоскости, линия, соединяющая две из них, будет 2-секущей (или бисекантный) и прямая, проходящая только через один из них, будет 1-секущей (или однотонный). Унисеканс в этом примере не обязательно должен быть касательной к окружности.

Эта терминология часто используется в геометрия падения и дискретная геометрия. Например, Теорема Сильвестра – Галлаи геометрии инцидентности утверждает, что если п точки евклидовой геометрии не являются коллинеарен тогда должно существовать 2-секущее из них. И оригинал проблема садоводства дискретной геометрии требует ограничения на количество 3-секущих конечного множества точек.

Конечность множества точек не существенна в этом определении, если каждая прямая может пересекать множество только в конечном числе точек.

Смотрите также

  • Эллиптическая кривая, кривая, для которой каждая секущая имеет третью точку пересечения, из которой может быть определена большая часть группового закона
  • Теорема о среднем значении, что каждая секущая графика гладкой функции имеет параллельную касательную
  • Quadrisecant, линия, пересекающая четыре точки кривой (обычно пространственная кривая)
  • Секущая плоскость, трехмерный эквивалент секущей линии
  • Секущее разнообразие, объединение секущих и касательных к заданному проективному многообразию

Рекомендации

  1. ^ а б Проттер, Мюррей Х.; Проттер, Филип Э. (1988), Исчисление с аналитической геометрией, Jones & Bartlett Learning, стр. 62, ISBN  9780867200935.
  2. ^ Редгроув, Герберт Стэнли (1913), Экспериментальное измерение: простая тетрадь по индуктивной геометрии, Ван Ностранд, стр. 167.
  3. ^ Гуллберг, Ян (1997), Математика: от рождения чисел, W. W. Norton & Company, стр. 387, г. ISBN  9780393040029.
  4. ^ Венема, Джерард А. (2006), Основы геометрии, Пирсон / Прентис-Холл, стр. 229, ISBN  978-0-13-143700-5
  5. ^ Джейкобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия, W.H. Freeman & Co., стр. 482, г. ISBN  0-7167-0456-0
  6. ^ Хит, Томас Л. (1956), Тринадцать книг Элементов Евклида (Том 2), Дувр, стр. 73
  7. ^ Хиршфельд, Дж. У. П. (1979), Проективные геометрии над конечными полями, Oxford University Press, стр.70, ISBN  0-19-853526-0

внешняя ссылка