Пятая проблема Гильберта - Hilberts fifth problem

Пятая проблема Гильберта пятая математическая задача из список проблем опубликовано в 1900 году математиком Дэвид Гильберт, и касается характеристики Группы Ли.

Теория групп Ли описывает непрерывная симметрия по математике; его важность там и в теоретическая физика (Например теория кварков ) неуклонно росла в двадцатом веке. Грубо говоря, теория групп Ли - это общая основа теория групп и теория топологические многообразия. Гильберт задал острый вопрос, касающийся уточнения: есть ли разница, если ограничение на гладкие многообразия навязывается?

Ожидаемый ответ был отрицательным ( классические группы, наиболее центральными примерами в теории групп Ли являются гладкие многообразия). В конце концов это подтвердилось в начале 1950-х годов. Поскольку точное понятие «многообразие» не было доступно Гильберту, есть место для некоторых споров о формулировке проблемы на современном математическом языке.

Классическая рецептура

Долгое время принималась формулировка, заключающаяся в том, чтобы охарактеризовать группы Ли как топологические группы которые также были топологические многообразия. В терминах, близких к тем, которые использовал бы Гильберт, около элемент идентичности е группы грамм в вопросе есть открытый набор U в Евклидово пространство содержащий е, и на некотором открытом подмножестве V из U Существует непрерывное отображение

F : V × V → U

что удовлетворяет групповые аксиомы где они определены. Это фрагмент типичного локально евклидова топологическая группа. Проблема в том, чтобы показать, что F это гладкая функция возле е (поскольку топологические группы однородные пространства, они везде выглядят одинаково, как и рядом е).

Другими словами, возможный класс дифференцируемости из F не имеет значения: групповые аксиомы рушатся целиком C ^k гамма.

Решение

Первым важным результатом был результат Джон фон Нейман в 1933 г.,^[1] за компактные группы. В локально компактная абелева группа дело было раскрыто в 1934 г. Лев Понтрягин. Окончательное решение, по крайней мере в этой интерпретации того, что имел в виду Гильберт, пришло с работой Эндрю Глисон, Дин Монтгомери и Лео Зиппин в 1950-е гг.

В 1953 г. Хидехико Ямабе получил окончательный ответ на пятую проблему Гильберта:^[2]

Если связная локально компактная группа грамм это проективный предел последовательности групп Ли, и если грамм "не имеет малых подгрупп" (условие, определенное ниже), то грамм группа Ли.

Однако этот вопрос все еще обсуждается, поскольку в литературе были и другие подобные утверждения, в значительной степени основанные на различных интерпретациях формулировки проблемы Гильбертом, данной различными исследователями.^[3]

Вообще говоря, каждая локально компактная почти связная группа является проективным пределом группы Ли. Если мы рассмотрим общую локально компактную группу грамм и связная составляющая тождества грамм₀, у нас есть групповое расширение

грамм₀ → грамм → грамм/грамм₀.

Как полностью разобщенная группа, грамм/грамм₀ имеет открытую компактную подгруппу, и откат ГРАММ' такой открытой компактной подгруппы является открытой почти связной подгруппой в грамм. Таким образом, мы получаем гладкую структуру на грамм, поскольку он гомеоморфен (ГРАММ' × ГРАММ' )/грамм₀, куда ГРАММ'/грамм₀ дискретное множество.

Альтернативная формулировка

Другое мнение, что грамм следует рассматривать как группа трансформации, а не абстрактно. Это приводит к формулировке Гипотеза Гильберта – Смита, что было доказано для ${\displaystyle R^{3}}$ в 2013.

Нет маленьких подгрупп

Важным условием теории является нет маленьких подгрупп. Топологическая группа грамм, или часть группы, например F выше, как говорят, имеет нет малых подгрупп если есть район N из е не содержит подгруппы больше, чем {е}. Например, круговая группа удовлетворяет условию, а п-адические целые числа Z_п в качестве аддитивная группа нет, потому что N будет содержать подгруппы: п^k Z_п, для всех больших целых чисел k. Это дает представление о сложности проблемы. В случае гипотезы Гильберта – Смита дело в известной редукции к тому, Z_п может добросовестно действовать на закрытый коллектор. Глисон, Монтгомери и Зиппин охарактеризовали группы Ли среди локально компактные группы, как имеющие немалые подгруппы.

Бесконечные измерения

Исследователи также рассмотрели пятую проблему Гильберта, не предполагая конечномерность. Последняя глава Беньямини и Lindenstrauss обсудить тезис Пер Энфло, по пятой проблеме Гильберта без компактность.

Смотрите также

• Ханс Родстрем

Примечания

1. Джон, фон Нейман (1933). «Параметр Die Einführung analytischer в topologischen Gruppen». Анналы математики. 34 (1): 170–190. Дои:10.2307/1968347. JSTOR  1968347.
2. В соответствии с Морикуни (1961 г., п. я)
3. Для обзора таких заявлений (однако полностью игнорируя вклад Ямабе) и нового, см. Розингер (1998, стр. xiii – xiv и стр. 169–170)

Рекомендации

• Морикуни, Гото (1961). "Хидехико Ямабе (1923–1960)". Математический журнал Осаки. 13 (1): i – ii. МИСТЕР  0126362. Zbl  0095.00505.
• Розингер, Элемер Э. (1998). Параметрические действия группы Ли над глобальными обобщенными решениями нелинейных уравнений в частных производных. Включая решение пятой проблемы Гильберта. Математика и ее приложения. 452. Дердрехт – Бостон – Лондон: Kluwer Academic Publishers. С. xvii + 234. ISBN  0-7923-5232-7. МИСТЕР  1658516. Zbl  0934.35003.
• Д. Монтгомери и Л. Зиппин, Группы топологических преобразований
• Ямабе, Хидехико, О линейно связной подгруппе группы Ли, Osaka Mathematical Journal v.2, no. 1 марта (1950), 13–14.
• Ирвинг Каплански, Алгебры Ли и локально компактные группы, Чикагские лекции по математике, 1971.
• Беньямини, Йоав и Линденштраус, Иорам, Геометрический нелинейный функциональный анализ Публикации коллоквиума, 48. Американское математическое общество.
• Энфло, Пер. (1970) Исследования по пятой проблеме Гильберта для нелокально компактных групп. (Кандидатская диссертация пяти статей Enflo с 1969 по 1970)
  • Энфло, Пер; 1969a: Топологические группы, в которых умножение с одной стороны дифференцируемо или линейно. Математика. Сканд., 24,  195–197.
  • Пер Энфло (1969). «Об отсутствии равномерных гомеоморфизмов между L_п пробелы ". Ковчег Мат. 8 (2): 103–105. Дои:10.1007 / BF02589549.
  • Энфло, Пер; 1969b: По проблеме Смирнова. Арк. Математика. 8,  107–109.
  • Энфло, П. (1970). «Равномерные структуры и квадратные корни в топологических группах». Израильский математический журнал. 8 (3): 230–252. Дои:10.1007 / BF02771560. S2CID  189773170.
  • Энфло, П. (1970). «Равномерные структуры и квадратные корни в топологических группах». Израильский математический журнал. 8 (3): 253–272. Дои:10.1007 / BF02771561. S2CID  121193430.