Семнадцатая проблема Гильберта - Hilberts seventeenth problem

Семнадцатая проблема Гильберта один из 23 Проблемы Гильберта изложены в знаменитом списке, составленном в 1900 г. Дэвид Гильберт. Это касается выражения положительно определенный рациональные функции в качестве суммы из частные из квадраты. Исходный вопрос можно переформулировать так:

• Учитывая многомерный многочлен, который принимает только неотрицательные значения над действительными числами, может ли он быть представлен как сумма квадратов рациональных функций?

Вопрос Гильберта можно ограничить однородные многочлены четной степени, поскольку многочлен нечетной степени меняет знак, а усреднение полинома принимает только неотрицательные значения тогда и только тогда, когда то же самое верно и для многочлена.

Мотивация

Основная статья: Полиномиальный SOS

В постановке вопроса учтено, что есть неотрицательные многочлены, Например^[1]

${\displaystyle f(x,y,z)=z^{6}+x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}z^{2},}$

который нельзя представить как сумма квадратов других многочленов. В 1888 году Гильберт показал, что каждый неотрицательный однородный многочлен из п переменные и степень 2d может быть представлен как сумма квадратов других многочленов тогда и только тогда, когда либо (а)п = 2 или (б) 2d = 2 или (c) п = 3 и 2d = 4.^[2] Доказательство Гильберта не показало явного контрпримера: только в 1967 году Моцкин построил первый явный контрпример.^[3]

В следующей таблице показано, в каких случаях однородный многочлен (или многочлен четной степени) может быть представлен в виде суммы квадратов:

Однородный многочлен можно представить в виде суммы квадратов?		2d (Степень)				Многочлен четной степени можно представить в виде суммы квадратов?		2d (Степень)
		2	4	≥6				2	4	≥6
п (Количество переменных)	1	да	да	да		п (Количество переменных)	1	да	да	да
	2	да	да	да			2	да	да	Нет
	3	да	да	Нет			3	да	Нет	Нет
	≥4	да	Нет	Нет			≥4	да	Нет	Нет

Решение и обобщения

Частный случай п = 2 было решено еще Гильбертом в 1893 г.^[4] Общая проблема была решена положительно в 1927 г. Эмиль Артин,^[5] для положительных полуопределенных функций над действительными или в более общем смысле реально закрытые поля. Алгоритмическое решение было найдено Чарльз Делзелл в 1984 г.^[6] Результат Альбрехт Пфистер^[7] показывает, что положительная полуопределенная форма в п переменные могут быть выражены как сумма 2^п квадраты.^[8]

Дюбуа показал в 1967 г., что ответ в целом отрицательный для упорядоченные поля.^[9] В этом случае можно сказать, что положительный многочлен - это сумма взвешенных квадратов рациональных функций с положительными коэффициентами.^[10]

Обобщение на матричный случай (матрицы с полиномиальными функциональными элементами, которые всегда являются положительно полуопределенными, могут быть выражены как сумма квадратов симметричных матриц с рациональными функциональными элементами) было дано Гондардом, Рибенбойм^[11] и Procesi, Schacher,^[12] с элементарным доказательством, данным Хилларом и Ни.^[13]

Минимальное количество квадратных рациональных членов

Какое наименьшее число - открытый вопрос

${\displaystyle v(n,d),}$

такой, что любой п-вариант неотрицательный многочлен степени d можно записать как сумму не более ${\displaystyle v(n,d)}$ квадратные рациональные функции над действительными числами.

Самый известный результат (по состоянию на 2008 г.^{[Обновить]}) является

${\displaystyle v(n,d)\leq 2^{n},}$

благодаря Пфистеру в 1967 году.^[7]

В комплексном анализе эрмитов аналог, требующий, чтобы квадраты были квадратами норм голоморфных отображений, несколько сложнее, но верен для положительных многочленов благодаря результату Квиллена.^[14] С другой стороны, результат Пфистера неверен в эрмитовом случае, то есть нет ограничения на количество требуемых квадратов, см. Д'Анджело – Лебля.^[15]

Смотрите также

• Полиномиальный SOS
• Положительный полином
• Оптимизация по сумме квадратов
• SOS-выпуклость

Примечания

1. Мари-Франсуаза Руа. Роль проблем Гильберта в реальной алгебраической геометрии, Труды девятой встречи EWM, Локкум, Германия, 1999 г.
2. Гильберт, Дэвид (сентябрь 1888 г.). "Ueber die Darstellung Definiter Formen als Summe von Formenquadraten". Mathematische Annalen. 32 (3): 342–350. Дои:10.1007 / bf01443605.
3. Моцкин, Т. С. (1967). «Арифметико-геометрическое неравенство». В кальяне, Овед (ред.). Неравенства. Академическая пресса. С. 205–224.
4. Гильберт, Дэвид (декабрь 1893 г.). "Über ternäre defined Formen" (PDF). Acta Mathematica. 17 (1): 169–197. Дои:10.1007 / bf02391990.
5. Артин, Эмиль (1927). «Uber die Zerlegung Definiter Funktionen in Quadrate». Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 5 (1): 100–115. Дои:10.1007 / BF02952513.
6. Делзелл, К. (1984). «Непрерывное конструктивное решение 17-й проблемы Гильберта». Inventiones Mathematicae. 76 (3): 365–384. Bibcode:1984InMat..76..365D. Дои:10.1007 / BF01388465. Zbl  0547.12017.
7. Пфистер, Альбрехт (1967). "Zur Darstellung Definiter Funktionen as Summe von Quadraten". Inventiones Mathematicae (на немецком). 4 (4): 229–237. Bibcode:1967InMat ... 4..229P. Дои:10.1007 / bf01425382. Zbl  0222.10022.
8. Лам (2005) стр.391
9. Дюбуа, Д. (1967). «Заметка о решении Артином 17-й проблемы Гильберта». Бык. Являюсь. Математика. Soc. 73 (4): 540–541. Дои:10.1090 / s0002-9904-1967-11736-1. Zbl  0164.04502.
10. Лоренц (2008) стр.16
11. Гондар, Даниэль; Рибенбойм, Пауло (1974). "17 проблем Гильберта для матриц". Бык. Sci. Математика. (2). 98 (1): 49–56. МИСТЕР  0432613. Zbl  0298.12104.
12. Прочези, Клаудио; Шачер, Мюррей (1976). «Некоммутативный вещественный нульстеллензац и 17-я проблема Гильберта». Анна. математики. 2. 104 (3): 395–406. Дои:10.2307/1970962. JSTOR  1970962. МИСТЕР  0432612. Zbl  0347.16010.
13. Хиллар, Кристофер Дж .; Не, Цзяванг (2008). «Элементарное и конструктивное решение 17-й проблемы Гильберта для матриц». Proc. Являюсь. Математика. Soc. 136 (1): 73–76. arXiv:математика / 0610388. Дои:10.1090 / с0002-9939-07-09068-5. Zbl  1126.12001.
14. Квиллен, Дэниел Г. (1968). «О представлении эрмитовых форм суммами квадратов». Изобретать. Математика. 5 (4): 237–242. Bibcode:1968InMat ... 5..237Q. Дои:10.1007 / bf01389773. Zbl  0198.35205.
15. Д'Анджело, Джон П .; Лебль, Иржи (2012). «Теорема Пфистера не работает в эрмитовом случае». Proc. Являюсь. Математика. Soc. 140 (4): 1151–1157. arXiv:1010.3215. Дои:10.1090 / с0002-9939-2011-10841-4. Zbl  1309.12001.

Рекомендации

• Пфистер, Альбрехт (1976). «Семнадцатая проблема Гильберта и связанные с ней проблемы об определенных формах». В Феликс Э. Браудер (ред.). Математические разработки, возникающие из проблем Гильберта. Труды симпозиумов по чистой математике. XXVIII.2. Американское математическое общество. С. 483–489. ISBN  0-8218-1428-1.
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями. Аспирантура по математике. 67. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1095-2. Zbl  1068.11023.
• Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и продвинутые темы. Springer-Verlag. С. 15–27. ISBN  978-0-387-72487-4. Zbl  1130.12001.
• Раджваде, А. Р. (1993). Квадраты. Серия лекций Лондонского математического общества. 171. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-42668-5. Zbl  0785.11022.