Двадцать первая проблема Гильберта - Hilberts twenty-first problem

В двадцать первая проблема из 23 Проблемы Гильберта, из знаменитого списка, составленного в 1900 г. Дэвид Гильберт, касается существования определенного класса линейных дифференциальных уравнений с заданными особые точки и монодромная группа.

Заявление

Исходная задача была сформулирована следующим образом (английский перевод 1902 г.):

Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной монодромной группой

В теории линейные дифференциальные уравнения с одной независимой переменной z я хочу указать на важную проблему, которая, скорее всего, Риман сам мог иметь в виду. Эта проблема заключается в следующем: показать, что всегда существует линейное дифференциальное уравнение фуксова класса, с учетом особые точки и монодромная группа. Задача требует производства n функций переменной z, регулярных на всей комплексной плоскости z, за исключением заданных особых точек; в этих точках функции могут стать бесконечными только конечного порядка, и когда z описывает обход этих точек, функции должны претерпевать предписанные линейные замены. Было показано, что существование таких дифференциальных уравнений вероятно подсчет констант, но строгое доказательство получено до сих пор только в частном случае, когда фундаментальные уравнения данных подстановок имеют все корни с абсолютной величиной единицы. Л. Шлезингер (1895 ) дал это доказательство, основанное на Пуанкаре теория Фуксовы дзета-функции. Теория линейных дифференциальных уравнений, очевидно, имела бы более законченный вид, если бы обрисованная здесь проблема могла быть решена каким-нибудь совершенно общим методом. [1]

Определения

На самом деле уместнее говорить не о дифференциальных уравнениях, а о линейных системах дифференциальных уравнений: чтобы реализовать любую монодромию с помощью дифференциального уравнения, нужно, вообще говоря, допустить наличие дополнительных кажущихся особенностей, т. Е. Особенностей с тривиальными локальными монодромия. Говоря более современным языком, рассматриваемые (системы) дифференциальных уравнений - это те, которые определены в комплексная плоскость, меньше нескольких баллов и с регулярная особенность у тех. Более строгая версия проблемы требует, чтобы эти особенности были устранены. Фуксовский, т.е. полюса первого порядка (логарифмические полюсы). А группа монодромии задается с помощью конечномерного сложное представление из фундаментальная группа дополнения в Сфера Римана этих точек, плюс точка в бесконечности, с точностью до эквивалентности. Фундаментальная группа на самом деле свободная группа, на «схемах», проходящих один раз вокруг каждой недостающей точки, начиная и заканчивая в заданном базовая точка. Вопрос в том, действительно ли отображение из этих Фуксовский уравнения на классы представлений сюръективный.

История

Эту проблему чаще называют Проблема Римана – Гильберта. Есть сейчас современный (D-модуль и производная категория ) версия 'Соответствие Римана – Гильберта ' во всех измерениях. История доказательств с использованием одной комплексной переменной сложна. Йосип Племель опубликовал решение в 1908 году. Эта работа долгое время считалась окончательным решением; была работа Г. Д. Биркгоф в 1913 году тоже, но вся территория, включая работы Людвиг Шлезингер на изомонодромные деформации что гораздо позже будет возрождено в связи с теория солитонов, вышли из моды. Племель (1964) написал монографию, обобщающую его работу. Спустя несколько лет советский математик Юлий Сергеевич Ильяшенко и другие начали сомневаться в работе Племеля. Фактически, Племель правильно доказал, что любая группа монодромии может быть реализована регулярной линейной системой, которая является фуксовой во всех, кроме одной из особых точек. Утверждение Племеля о том, что система может быть сделана фуксовой и в последней точке, неверно. (Ильяшенко показал, что если один из операторов монодромии диагонализируется, то утверждение Племеля верно.)

В самом деле Болибрух Андрей Анатольевич (1990 ) нашел контрпример к заявлению Племеля. Обычно это рассматривается как контрпример к точному вопросу, который имел в виду Гильберт; Болибрух показал, что для данной конфигурации полюсов определенные группы монодромии могут быть реализованы регулярными, но не фуксовыми системами. (В 1990 году он опубликовал подробное исследование случая регулярных систем размера 3, показывающее все ситуации, когда такие контрпримеры существуют. В 1978 году Деккерс показал, что для систем размера 2 утверждение Племеля верно. Болибрух Андрей Анатольевич (1992 ) и независимо Владимир Костов (1992 ) показал, что неприводимая группа монодромии любого размера может быть реализована фуксовой системой. Коразмерность многообразия групп монодромии регулярных систем размера ${ displaystyle n}$ с ${ displaystyle p + 1}$ полюса, которые не могут быть реализованы фуксовыми системами, равны ${ displaystyle 2 (n-1) p}$ (Владимир Костов (1992 )).) Параллельно с этим в школе алгебраической геометрии Гротендика заинтересовались вопросы «интегрируемых связностей на алгебраических многообразиях», обобщающих теорию линейных дифференциальных уравнений на Римановы поверхности. Пьер Делинь доказал точное соответствие Римана – Гильберта в этом общем контексте (главное - сказать, что означает «фуксово»). С работой Гельмут Рёрль, снова был рассмотрен случай в одном комплексном измерении.