Пятнадцатая проблема Гильберта - Hilberts fifteenth problem

Пятнадцатая проблема Гильберта один из 23 Проблемы Гильберта изложены в знаменитом списке, составленном в 1900 г. Дэвид Гильберт. Проблема в том, чтобы поставить Перечислительное исчисление Шуберта на прочном фундаменте.

Вступление

Исчисление Шуберта - это теория пересечений XIX века вместе с приложениями к перечислительной геометрии. Обоснование этого исчисления было содержанием 15-й проблемы Гильберта, а также главной темой алгебраической геометрии 20-го века.[1][2] В ходе закрепления основ теории пересечений Ван дер Варден и Андре Вайль[3][4] связал проблему с определением кольца когомологий H * (G / P) флагового многообразия G / P, где G - группа Ли, а P - параболическая подгруппа в G.

Аддитивная структура кольца H * (G / P) задается базисной теоремой исчисления Шуберта[5][6][7] благодаря Эресману, Шевалле и Бернштейну-Гельфанду-Гельфанду, утверждающим, что классические классы Шуберта на G / P образуют свободный базис кольца когомологий H * (G / P). Оставшаяся проблема разложения произведений классов Шуберта как линейной комбинации базисных элементов была названа характерная проблема,[8][9][3] Шубертом и рассматривается им как «основная теоретическая проблема перечислительной геометрии».[10]

Хотя перечислительная геометрия не имела никакого отношения к физике в течение первого столетия своего развития, с тех пор она превратилась в центральный элемент физики. теория струн.[11]

Постановка задачи

Полнота исходной постановки задачи такова:

Проблема состоит в следующем: строго и с точным определением границ их действия те геометрические числа, которые Шуберт специально определил на основе так называемого принципа особого положения, или сохранения числа, с помощью разработанное им перечислительное исчисление.

Хотя современная алгебра в принципе гарантирует возможность выполнения процессов исключения, тем не менее для доказательства теорем перечислительной геометрии явно требуется нечто большее, а именно фактическое выполнение процесса исключения в случае уравнения специального вида таким образом, чтобы можно было предвидеть степень конечных уравнений и кратность их решений.[12]

Исчисление Шуберта

Основная статья: Исчисление Шуберта

Исчисление Шуберта это филиал алгебраическая геометрия введен в девятнадцатом веке Герман Шуберт, для решения различных задач подсчета проективная геометрия (часть перечислительная геометрия ). Это был предшественник нескольких более современных теорий, например характеристические классы, и, в частности, ее алгоритмические аспекты по-прежнему актуальны.

Объекты, представленные Шубертом, - это Клетки Шуберта, которые локально закрыто устанавливает в Грассманиан определяется условиями заболеваемость линейного подпространства в проективном пространстве с заданным флаг. Подробнее см. Сорт Шуберта.

По словам Ван дер Вардена[3] и Андре Вайль[4] Пятнадцатая проблема Гильберта решена. Особенно,

а) Характерная проблема Шуберта была решена Хайбао Дуань и Сюэчжи Чжао;[13]

б) Специальные представления колец Чжоу многообразий флагов были разработаны Борелем, Марлином, Билли-Хайманом и Дуань-Чжао и др. [13];

в) Основные перечислительные примеры Шуберта[8] были проверены Aluffi, Harris, Kleiman, Xambó и др.[14][13]

Рекомендации

  1. ^ Гильберт, Дэвид, "Mathematische Probleme" Göttinger Nachrichten, (1900), стр. 253-297, и в Archiv der Mathematik und Physik, (3) 1 (1901), 44-63 и 213-237. Опубликовано в английском переводе доктора Маби Винтон Ньюсон, Бюллетень Американского математического общества 8 (1902), 437-479 [1] [2] Дои:10.1090 / S0002-9904-1902-00923-3 . [Более полное название журнала Göttinger Nachrichten - Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wiss. zu Göttingen.]
  2. ^ Ф. Скоттиль, Исчисление Шуберта, Математическая энциклопедия Спрингера. [3]
  3. ^ а б c Варден, Б.Л. ван дер (1930). "Topologische Begru ̈ndung des Kalku ̈ls der abz ahlenden Geometrie". Математика. Анна. 102 (1): 337–362. Дои:10.1007 / BF01782350. МИСТЕР  1512581.
  4. ^ а б Вейль, А. (1962), Основы алгебраической геометрии, Студенческая математическая библиотека, 32, Американское математическое общество, МИСТЕР  0144898
  5. ^ Эресманн, К. (1934). "Sur la topologie de sures espaces homogenes" (PDF). Анна. математики. 35 (2): 396–443.
  6. ^ Шевалле, К. (1994). "Sur les D ́ecompositions Celluaires des Espaces G / B". Proc. Symp. в чистой математике. 56 (1): 1–26. Дои:10.1090 / pspum / 056.1.
  7. ^ В. Бернштейн; И. М. Гельфанд; С.И. Гельфанд (1973). «Клетки Шуберта и когомологии пространств G / P». Русская математика. Обзоры. 28 (3): 1–26.
  8. ^ а б Х. Шуберт, Kalku ̈l der abz ahlenden Geometrie, Перепечатка оригинала 1879 года. С введением Стивена Л. Клеймана, Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag, (1979)
  9. ^ Х. Шуберт, журнал «Характерные проблемы линейного измерения R», «Mitteilungen der Mathematische Gesellschaft» в Гамбурге, 1 (1886), 134–155.
  10. ^ С. Клейман, Рецензия на книгу В. Фултона «Теория пересечений», Бюл. АМС, Том 12, № 1 (1985), 137-143. url = https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183552346
  11. ^ Кац, Шелдон (2006), Перечислительная геометрия и теория струн, Студенческая математическая библиотека, 32, Американское математическое общество
  12. ^ Гильберт, Дэвид, "Mathematische Probleme" Göttinger Nachrichten, (1900), стр. 253-297, и в Archiv der Mathematik und Physik, (3) 1 (1901), 44-63 и 213-237. Опубликовано в английском переводе доктора Маби Винтон Ньюсон, Бюллетень Американского математического общества 8 (1902), 437-479 [4] [5] Дои:10.1090 / S0002-9904-1902-00923-3 . [Более полное название журнала Göttinger Nachrichten - Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wiss. zu Göttingen.]
  13. ^ а б c Х. Дуань; X. Чжао (2020). «О проблеме характеристик Шуберта в исчислении Шуберта и его приложениях в комбинаторике и теории представлений (J. Hu et al. Eds.)». Springer Proceedings по математике и статистике. 332: 43–71. Дои:10.1007/978-981-15-7451-1_4.
  14. ^ С. Клейман, Теория пересечений и перечислительная геометрия: обзор десятилетия, Proc. Symp. Чистая математика, 46: 2, амер. Математика. Soc. (1987), 321-370. url = https://www.ams.org/books/pspum/046.2/ doi = https://doi.org/10.1090/pspum/046.2
  • Клейман, Стивен Л. (1976), "Проблема 15: строгое основание перечислительного исчисления Шуберта", Математические разработки, связанные с проблемами Гильберта (Proc. Sympos. Pure Math., Northern Illinois Univ., De Kalb, Ill., 1974), Proc. Симпози. Чистая математика., XXVIII, Провиденс, Р. И .: Американское математическое общество, стр. 445–482, МИСТЕР  0429938.
  • Манин, Ю. I. (1969), "О пятнадцатой проблеме Гильберта", Проблемы Гильберта (рус.), Издат. «Наука», Москва, с. 175–181, МИСТЕР  0254047.
  • Прагач, Петр (1997), "Статус пятнадцатой проблемы Гильберта в 1993 году", Проблемы Гильберта (польский) (Międzyzdroje, 1993), Варшава: Польск. Акад. Наук. С. 175–184. МИСТЕР  1632447.