Тринадцатая проблема Гильберта - Hilberts thirteenth problem

Тринадцатая проблема Гильберта один из 23 Проблемы Гильберта изложены в знаменитом списке, составленном в 1900 г. Дэвид Гильберт. Это влечет за собой доказательство того, существует ли решение для всех Уравнения 7-й степени с использованием алгебраических (вариант: непрерывный) функции из двух аргументы. Впервые он был представлен в контексте номография и, в частности, «номографическое построение» - процесс, при котором функция нескольких переменных строится с использованием функций двух переменных. Вариант для непрерывных функций был разрешен в 1957 г. Владимир Арнольд когда он доказал Теорема Колмогорова-Арнольда о представлении, но вариант для алгебраических функций остается нерешенным.

Вступление

Гильберт рассмотрел уравнение седьмой степени

${\displaystyle x^{7}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0}$

и спросил, есть ли его решение, Икс, рассматриваемая как функция трех переменных а, б и c, можно выразить как сочинение конечного числа функций двух переменных.

История

Первоначально Гильберт поставил свою проблему для алгебраических функций (Hilbert 1927, «... Existenz von algebraischen Funktionen ...», т.е. «... существование алгебраических функций ...»; также см. Abhyankar 1997, Vitushkin 2004). Однако Гильберт также спросил в более поздней версии этой проблемы, есть ли решение в классе непрерывные функции.

Обобщением второго («непрерывного») варианта задачи является следующий вопрос: может ли всякая непрерывная функция трех переменных быть выражена как сочинение конечного числа непрерывных функций двух переменных? Утвердительный ответ на этот общий вопрос был дан в 1957 г. Владимир Арнольд, тогда всего девятнадцать лет и студент Андрей Колмогоров. Колмогоров в прошлом году показал, что любую функцию нескольких переменных можно построить с помощью конечного числа функций трех переменных. Затем Арнольд расширил эту работу, чтобы показать, что на самом деле требовались только функции с двумя переменными, тем самым отвечая на вопрос Гильберта, заданный для класса непрерывных функций.

Позднее Арнольд вернулся к алгебраической версии задачи совместно с Горо Шимура (Арнольд и Шимура, 1976).

Смотрите также

• Теорема Колмогорова – Арнольда о представлении

Рекомендации

• Шрирам С. Абхьянкар "Тринадцатая проблема Гильберта ", Некоммутативные группы, квантовые группы и инварианты (Реймс, 1995), 1–11, Семин. Congr., 2, Soc. Математика. Франция, Париж, 1997 г.
• В. И. Арнольд и Г. Шимура, Суперпозиция алгебраических функций (1976), в Математические разработки, возникающие из проблем Гильберта, Том 1, Труды симпозиумов по чистой математике 28 (1976), стр. 45-46.
• Д. Гильберт, "Über die Gleichung neunten Grades", Math. Анна. 97 (1927), 243–250
• Г. Г. Лоренц, Приближение функций. (1966), гл. 11
• Витушкин А.Г. »О тринадцатой проблеме Гильберта и связанных с ней вопросах ", Успехи матем. Наук 59: 1 (2004), 11 24. (Пер. С рус. Математики. Обзоры 59 (2004), № 1, 11–25)