Септическое уравнение - Septic equation

График многочлена степени 7 с 7 настоящий корни (переходы

Икс

ось) и 6 критические точки. В зависимости от количества и вертикального расположения минимумы и максимумы у септика могло быть 7, 5, 3 или 1 настоящий корень с учетом их множественности; количество сложный нереальные корни - это 7 минус количество действительных корней.

В алгебра, а септическое уравнение является уравнение формы

{ displaystyle ax ^ {7} + bx ^ {6} + cx ^ {5} + dx ^ {4} + ex ^ {3} + fx ^ {2} + gx + h = 0, ,}

куда $а \neq 0$ .

А септическая функция это функция формы

{ displaystyle f (x) = ax ^ {7} + bx ^ {6} + cx ^ {5} + dx ^ {4} + ex ^ {3} + fx ^ {2} + gx + h ,}

куда $а \neq 0$ . Другими словами, это многочлен из степень Семь. Если $а = 0$ , тогда ж это секстическая функция ( $б \neq 0$ ), квинтическая функция ( $б = 0, c \neq 0$ ), так далее.

Уравнение может быть получено из функции, задав $ж (Икс) = 0$ .

В коэффициенты $а, б, c, d, е, ж, грамм, час$ может быть либо целые числа, рациональное число, действительные числа, сложные числа или, в более общем смысле, члены любого поле.

Потому что у них странная степень, септические функции похоже на квинтик или же кубическая функция на графике, за исключением того, что они могут иметь дополнительные локальные максимумы и локальные минимумы (до трех максимумов и трех минимумов). В производная септической функции секстическая функция.

Решаемые септики

Некоторые уравнения седьмой степени можно решить, разложив на множители радикалы, но другие септики не могут. Эварист Галуа разработал методы определения того, можно ли решить данное уравнение с помощью радикалов, которые дали начало области Теория Галуа. Чтобы привести пример неразрешимого, но разрешимого септика, можно обобщить разрешимый де Муавр квинтик получить,

{ displaystyle x ^ {7} +7 alpha x ^ {5} +14 alpha ^ {2} x ^ {3} +7 alpha ^ {3} x + beta = 0 ,}

,

где вспомогательное уравнение

{ Displaystyle у ^ {2} + бета Y- альфа ^ {7} = 0 ,}

.

Это означает, что септик получается путем устранения $ты$ и $v$ между $Икс = ты + v$ , $УФ + α = 0$ и $ты 7 + v 7 + β = 0$ .

Отсюда следует, что семь корней септика даны

{ displaystyle x_ {k} = omega _ {k} { sqrt [{7}] {y_ {1}}} + omega _ {k} ^ {6} { sqrt [{7}] {y_ {2}}}}

куда $ω k$ любой из 7 седьмых корни единства. В Группа Галуа этого септика является максимальная разрешимая группа порядка 42. Это легко обобщается на любые другие степени $k$ , не обязательно простое.

Еще одно разрешимое семейство:

{ displaystyle x ^ {7} -2x ^ {6} + ( alpha +1) x ^ {5} + ( alpha -1) x ^ {4} - alpha x ^ {3} - ( alpha +5) х ^ {2} -6x-4 = 0 ,}

члены которого появляются в Kluner База данных числовых полей. Его дискриминант является

{ displaystyle Delta = -4 ^ {4} left (4 alpha ^ {3} +99 alpha ^ {2} -34 alpha +467 right) ^ {3} ,}

В Группа Галуа из этих септиков группа диэдра порядка 14.

Общее септическое уравнение можно решить с помощью чередование или же симметричный Группы Галуа $А 7$ или же $S 7$ .^[1] Такие уравнения требуют гиперэллиптические функции и связанные тета-функции из род 3 за их решение.^[1] Однако математики девятнадцатого века, изучающие решения алгебраических уравнений, специально не изучали эти уравнения, поскольку шестнадцатеричные уравнения 'решения уже были на пределе своих вычислительных возможностей без компьютеров.^[1]

Септики - это уравнения низшего порядка, для которых неочевидно, что их решения могут быть получены путем наложения непрерывные функции двух переменных. 13-я проблема Гильберта предполагалось, что это невозможно в общем случае для уравнений седьмой степени. Владимир Арнольд решил это в 1957 году, продемонстрировав, что это всегда было возможно.^[2] Однако сам Арнольд считал подлинный Проблема Гильберта состоит в том, могут ли септики их решения получить путем наложения алгебраические функции двух переменных (проблема все еще не решена).^[3]

Группы Галуа

Самолет Фано

Решаемые радикалами септические уравнения имеют Группа Галуа что либо циклическая группа порядка 7, или группа диэдра порядка 14 или метациклическая группа порядка 21 или 42.^[1]
В $L (3, 2)$ Группа Галуа (порядка 168) формируется перестановки из 7 меток вершин, которые сохраняют 7 "линий" в Самолет Фано.^[1] Септические уравнения с этим Группа Галуа $L (3, 2)$ требовать эллиптические функции но нет гиперэллиптические функции для их решения.^[1]
В противном случае группа Галуа септика является либо переменная группа порядка 2520 или симметричная группа заказа 5040.

Септическое уравнение для квадрата площади циклического пятиугольника или шестиугольника

Квадрат площади циклический пятиугольник является корнем септического уравнения, коэффициенты которого равны симметричные функции сторон пятиугольника.^[4] То же самое и с квадратом площади циклический шестиугольник.^[5]

Полиномы и полиномиальные функции
К степень	Нулевой многочлен (неопределенная степень или -1 или -∞) Постоянная функция (0) Линейная функция (1) Линейное уравнение Квадратичная функция (2) Квадратное уровненеие Кубическая функция (3) Кубическое уравнение Функция четвертого порядка (4) Уравнение четвертой степени Квинтик функция (5) Шестическое уравнение (6) Септическое уравнение (7)
По свойствам	Одномерный Двумерный Многомерный Моном Биномиальный Трехчлен Неприводимый Без квадратов Однородный Квазиоднородный
Инструменты и алгоритмы	Факторизация Наибольший общий делитель Разделение Метод оценки Хорнера Результирующий Дискриминантный Основа Грёбнера

Септическое уравнение - Septic equation

Содержание

Решаемые септики

Группы Галуа

Септическое уравнение для квадрата площади циклического пятиугольника или шестиугольника

Смотрите также

Рекомендации