Линейная функция (исчисление) - Linear function (calculus)

График линейной функции:

{ Displaystyle у (х) = - х + 2}

В исчисление и смежных областях математики, линейная функция от действительных чисел к действительным числам представляет собой функцию, график которой (в Декартовы координаты ) это линия в плоскости.^[1] Характерным свойством линейных функций является то, что при изменении входной переменной изменение выходной пропорциональный к изменению входа.

Линейные функции связаны с линейные уравнения.

Характеристики

Линейная функция - это полиномиальная функция в которой Переменная $Икс$ имеет степень не более одного:^[2]

{ displaystyle f (x) = ax + b}

.

Такая функция называется линейный потому что это график, множество всех точек ${ Displaystyle (х, е (х))}$ в Декартова плоскость, это линия. Коэффициент а называется склон функции и линии (см. ниже).

Если наклон ${ displaystyle a = 0}$ , это постоянная функция ${ displaystyle f (x) = b}$ определяя горизонтальную линию, которую некоторые авторы исключают из класса линейных функций.^[3] С этим определением степень линейного многочлена будет ровно один, а его график будет линией, которая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. Однако в этой статье ${ displaystyle a neq 0}$ требуется, поэтому постоянные функции будут считаться линейными.

Если ${ displaystyle b = 0}$ то линейная функция называется однородный. Такая функция определяет линию, проходящую через начало системы координат, то есть точку ${ Displaystyle (х, у) = (0,0)}$ . В текстах по продвинутой математике термин линейная функция часто обозначает специфически однородные линейные функции, а термин аффинная функция используется для общего случая, который включает ${ displaystyle b neq 0}$ .

Естественный домен линейной функции ${ displaystyle f (x)}$ , набор разрешенных входных значений для $Икс$ , это весь набор действительные числа, ${ Displaystyle х in mathbb {R}.}$ Такие функции также можно рассматривать с $Икс$ в произвольном поле, принимая коэффициенты $а, б$ в этой области.

График ${ displaystyle y = f (x) = ax + b}$ не вертикальная линия, имеющая ровно одно пересечение с $у$ ось, ее $у$ -точка перехвата ${ displaystyle (x, y) = (0, b).}$ В $у$ -перехват значения ${ displaystyle y = f (0) = b}$ также называется Первоначальный значение из ${ displaystyle f (x).}$ Если ${ displaystyle a neq 0,}$ график представляет собой негоризонтальную линию, имеющую ровно одно пересечение с $Икс$ ось, $Икс$ -точка перехвата ${ displaystyle (x, y) = (- { tfrac {b} {a}}, 0).}$ В $Икс$ -перехват значения ${ displaystyle x = - { tfrac {b} {a}},}$ решение уравнения ${ displaystyle f (x) = 0,}$ также называется корень или же нуль из ${ displaystyle f (x).}$

Склон

Наклон линии - это отношение

{ Displaystyle { tfrac { Delta y} { Delta x}}}

между изменением

Икс

, обозначенный

{ displaystyle Delta x}

, и соответствующее изменение

у

, обозначенный

{ displaystyle Delta y}

В склон длины невертикальной линии - это число, которое измеряет, насколько крутой наклон линия (подъем-выход). Если линия - это график линейной функции ${ displaystyle f (x) = ax + b}$ , этот наклон задается постоянной $а$ .

Наклон измеряет постоянную скорость изменения ${ displaystyle f (x)}$ на единицу изменения в Икс: всякий раз, когда ввод $Икс$ увеличивается на единицу, выход изменяется на $а$ единицы: ${ Displaystyle е (х {+} 1) = е (х) + а}$ , и в более общем плане ${ displaystyle f (x {+} Delta x) = f (x) + a Delta x}$ на любой номер ${ displaystyle Delta x}$ . Если наклон положительный, ${ displaystyle a> 0}$ , то функция ${ displaystyle f (x)}$ растет; если ${ displaystyle a <0}$ , тогда ${ displaystyle f (x)}$ уменьшается

В исчисление, производная общей функции измеряет скорость ее изменения. Линейная функция ${ displaystyle f (x) = ax + b}$ имеет постоянную скорость изменения, равную его крутизне $а$ , поэтому его производная - постоянная функция ${ Displaystyle е , '(х) = а}$ .

Основная идея дифференциального исчисления состоит в том, что любое гладкий функция ${ displaystyle f (x)}$ (не обязательно линейный) может быть близко приблизительный рядом с заданной точкой ${ displaystyle x = c}$ единственной линейной функцией. В производная ${ displaystyle f , '(c)}$ - наклон этой линейной функции, и приближение: ${ Displaystyle е (х) приблизительно е , '(с) (х {-} с) + е (с)}$ за ${ Displaystyle х приблизительно с}$ . График линейной аппроксимации - это касательная линия графика ${ Displaystyle у = е (х)}$ в момент ${ Displaystyle (с, е (с))}$ . Наклон производной ${ displaystyle f , '(c)}$ обычно меняется в зависимости от точки c. Линейные функции можно охарактеризовать как единственные действительные функции, производная которых постоянна: если ${ Displaystyle е , '(х) = а}$ для всех Икс, тогда ${ displaystyle f (x) = ax + b}$ за ${ displaystyle b = f (0)}$ .

Уклон-пересечение, точечный уклон и двухточечные формы

Заданная линейная функция ${ displaystyle f (x)}$ можно записать в несколько стандартных формул, отображающих его различные свойства. Самый простой - это форма пересечения склонов:

{ displaystyle f (x) = ax + b}

,

откуда сразу виден откос а и начальное значение ${ displaystyle f (0) = b}$ , какой у-перехват графика ${ Displaystyle у = е (х)}$ .

Учитывая наклон а и одно известное значение ${ displaystyle f (x_ {0}) = y_ {0}}$ , мы пишем точечно-наклонная форма:

{ displaystyle f (x) = a (x {-} x_ {0}) + y_ {0}}

.

Графически это дает линию ${ Displaystyle у = е (х)}$ с уклоном а проходя через точку ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ .

В двухточечная форма начинается с двух известных значений ${ displaystyle f (x_ {0}) = y_ {0}}$ и ${ displaystyle f (x_ {1}) = y_ {1}}$ . Один вычисляет наклон ${ displaystyle a = { tfrac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}}}$ и вставляет это в форму точки наклона:

{ displaystyle f (x) = { tfrac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} (x {-} x_ {0} !) + y_ {0 }}

.

Его график ${ Displaystyle у = е (х)}$ единственная прямая, проходящая через точки ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0} !), (x_ {1}, y_ {1} !)}$ . Уравнение ${ Displaystyle у = е (х)}$ также можно написать, чтобы подчеркнуть постоянный наклон:

{ displaystyle { frac {y-y_ {0}} {x-x_ {0}}} = { frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} }

.

Связь с линейными уравнениями

Линейные функции обычно возникают из практических задач, связанных с переменными. ${ displaystyle x, y}$ с линейной зависимостью, то есть подчиняясь линейное уравнение ${ displaystyle Ax + By = C}$ . Если ${ displaystyle B neq 0}$ , можно решить это уравнение относительно у, получение

{ displaystyle y = - { tfrac {A} {B}} x + { tfrac {C} {B}} = ax + b,}

где мы обозначаем ${ displaystyle a = - { tfrac {A} {B}}}$ и ${ displaystyle b = { tfrac {C} {B}}}$ . То есть можно считать у как зависимая переменная (выход), полученная из независимой переменной (вход) Икс через линейную функцию: ${ displaystyle y = f (x) = ax + b}$ . в ху-координатная плоскость, возможные значения ${ Displaystyle (х, у)}$ образуют линию, график функции ${ displaystyle f (x)}$ . Если ${ displaystyle B = 0}$ в исходном уравнении результирующая строка ${ Displaystyle х = { tfrac {C} {A}}}$ вертикально и не может быть записано как ${ Displaystyle у = е (х)}$ .

Особенности графика ${ displaystyle y = f (x) = ax + b}$ можно интерпретировать в терминах переменных Икс и у. В у-intercept - начальное значение ${ displaystyle y = f (0) = b}$ в ${ displaystyle x = 0}$ . Склон а измеряет скорость изменения выхода у на единицу изменения на входе Икс. На графике перемещение на одну единицу вправо (увеличение Икс на 1) перемещает у-ценность на а: то есть, ${ Displaystyle е (х {+} 1) = е (х) + а}$ . Отрицательный наклон а указывает на уменьшение у за каждое увеличение Икс.

Например, линейная функция ${ displaystyle y = -2x + 4}$ имеет наклон ${ displaystyle a = -2}$ , у-точка перехвата ${ displaystyle (0, b) = (0,4)}$ , и Икс-точка перехвата ${ displaystyle (2,0)}$ .

Пример

Предположим, салями и колбаса стоят 6 и 3 евро за килограмм, а мы хотим купить на сумму 12 евро. Сколько каждого из них мы можем купить? Если Икс килограммы салями и у килограмм колбасы стоит 12 евро, тогда 6 евро * x + 3 евро * y = 12 евро. Решение для у дает форму точечного уклона ${ displaystyle y = -2x + 4}$ , как указано выше. То есть, если сначала выбрать количество салями Иксколичество колбасы можно вычислить как функцию ${ Displaystyle у = е (х) = - 2x + 4}$ . Поскольку салями стоит вдвое дороже колбасы, добавление одного килограмма салями уменьшает колбасу на 2 килограмма: ${ displaystyle f (x {+} 1) = f (x) -2}$ , а наклон равен −2. В у-точка перехвата ${ Displaystyle (х, у) = (0,4)}$ соответствует покупке всего 4 кг колбасы; в то время как Икс-точка перехвата ${ Displaystyle (х, у) = (2,0)}$ соответствует покупке всего 2 кг салями.

Обратите внимание, что на графике есть точки с отрицательными значениями Икс или же у, которые не имеют значения с точки зрения исходных переменных (если только мы не представляем себе продажу мяса мяснику). Таким образом, мы должны ограничить нашу функцию ${ displaystyle f (x)}$ в домен ${ Displaystyle 0 Leq х Leq 2}$ .

Также мы могли выбрать у в качестве независимой переменной и вычислить Икс посредством обратный линейная функция: ${ Displaystyle х = г (у) = - { tfrac {1} {2}} у + 2}$ по домену ${ Displaystyle 0 Leq Y Leq 4}$ .

Связь с другими классами функций

Если коэффициент переменной не равен нулю ( $а \neq 0$ ), то линейная функция представлена степень 1 многочлен (также называемый линейный полином), иначе это постоянная функция - тоже полиномиальная функция, но нулевой степени.

Прямая линия, нарисованная в другой системе координат, может представлять другие функции.

Например, он может представлять экспоненциальная функция когда это значения выражаются в логарифмическая шкала. Это означает, что когда $бревно (грамм (Икс))$ является линейной функцией $Икс$ , функция $грамм$ экспоненциально. В линейных функциях увеличение ввода на одну единицу приводит к увеличению вывода на фиксированную величину, которая представляет собой наклон графика функции. В случае экспоненциальных функций увеличение ввода на одну единицу приводит к увеличению вывода на фиксированное кратное число, которое известно как основание экспоненциальной функции.

Если обе аргументы а значения функции указаны в логарифмическом масштабе (т.е. когда $бревно (у)$ является линейной функцией $бревно (Икс)$ ), то прямая линия представляет собой сила закона:

{ displaystyle log _ {r} y = a log _ {r} x + b quad Rightarrow quad y = r ^ {b} cdot x ^ {a}}

Архимедова спираль, определяемая полярным уравнением r =¹⁄₂θ + 2

С другой стороны, график линейной функции через полярные координаты:

{ Displaystyle г = е ( тета) = а тета + Ь}

является Архимедова спираль если ${ displaystyle a neq 0}$ и круг иначе.

Примечания

^ Стюарт 2012, стр. 23
^ Стюарт 2012, стр. 24
^ Своковски 1983, п. 34

Смотрите также

Аффинная карта, обобщение
Арифметическая прогрессия, линейная функция целочисленного аргумента

внешняя ссылка

[1] Стюарт 2012, стр. 23

[2] Стюарт 2012, стр. 24

[3] Своковски 1983, п. 34

[1]

[2]

[3]

Полиномы и полиномиальные функции
К степень	Нулевой многочлен (неопределенная степень или -1 или -∞) Постоянная функция (0) Линейная функция (1) Линейное уравнение Квадратичная функция (2) Квадратное уровненеие Кубическая функция (3) Кубическое уравнение Функция четвертого порядка (4) Уравнение четвертой степени Квинтик функция (5) Шестическое уравнение (6) Септическое уравнение (7)
По свойствам	Одномерный Двумерный Многомерный Моном Биномиальный Трехчлен Неприводимый Без квадратов Однородный Квазиоднородный
Инструменты и алгоритмы	Факторизация Наибольший общий делитель Разделение Метод оценки Хорнера Результирующий Дискриминантный Основа Грёбнера