Пространство Бохнера - Bochner space

В математика, Пространства Бохнера являются обобщением концепции L^п пробелы функциям, значения которых лежат в Банахово пространство что не обязательно является пространством R или C действительных или комплексных чисел.

Космос L^п(ИКС) состоит из (классов эквивалентности) всех Измеримый по Бохнеру функции ж со значениями в банаховом пространстве Икс чей норма || f ||_Икс лежит в стандарте L^п Космос. Таким образом, если Икс - множество комплексных чисел, это стандартный Лебег L^п Космос.

Практически все стандартные результаты по L^п пространства удерживают и пространства Бохнера; в частности, пространства Бохнера L^п(ИКС) банаховы пространства для ${displaystyle 1leq pleq infty }$.

Фон

Пространства Бохнера названы в честь Польский -Американец математик Саломон Бохнер.

Приложения

Пространства Бохнера часто используются в функциональный анализ подход к изучению уравнения в частных производных которые зависят от времени, например то уравнение теплопроводности: если температура ${displaystyle g(t,x)}$ является скалярной функцией времени и пространства, можно записать ${displaystyle (f(t))(x):=g(t,x)}$ сделать ж семья f (t) (параметризованные временем) функций пространства, возможно, в некотором пространстве Бохнера.

Определение

Учитывая измерить пространство (Т, Σ,μ), а Банахово пространство (Икс, || · ||_Икс) и 1 ≤п ≤ + ∞, то Пространство Бохнера L^п(Т; Икс) определяется как Колмогоровский фактор (по равенству почти всюду ) пространства всех Измеримый по Бохнеру функции ты : Т → Икс такая, что соответствующая норма конечна:

${displaystyle |u|_{L^{p}(T;X)}:=left(int _{T}|u(t)|_{X}^{p},mathrm {d} mu (t)ight)^{1/p}<+infty {mbox{ for }}1leq p<infty ,}$

${displaystyle |u|_{L^{infty }(T;X)}:=mathrm {ess,sup} _{tin T}|u(t)|_{X}<+infty .}$

Другими словами, как это обычно бывает при изучении L^п пространства L^п(Т; Икс) - это пространство классы эквивалентности функций, где две функции определены как эквивалентные, если они равны везде, кроме μ-измерять ноль подмножество Т. Как это обычно бывает при изучении таких пространств, обычно обозначение злоупотребления и говорить о "функции" в L^п(Т; Икс), а не класс эквивалентности (что было бы более технически правильно).

Приложение к теории PDE

Очень часто пространство Т является интервал времени, за которое мы хотим решить какое-либо уравнение в частных производных, и μ будет одномерным Мера Лебега. Идея состоит в том, чтобы рассматривать функцию времени и пространства как совокупность функций пространства, причем этот набор параметризуется временем. Например, при решении уравнения теплопроводности на области Ω в р^п и интервал времени [0, Т] ищут решения

${displaystyle uin L^{2}left([0,T];H_{0}^{1}(Omega )ight)}$

с производной по времени

${displaystyle {frac {partial u}{partial t}}in L^{2}left([0,T];H^{-1}(Omega )ight).}$

Здесь ${displaystyle H_{0}^{1}(Omega )}$ обозначает Соболев Гильбертово пространство однажды-слабо дифференцируемый функции с первой слабой производной по L² (Ω), которые обращаются в нуль на граница области Ω (в смысле следа, или, что то же самое, являются пределами гладких функций с компактный поддерживать в Ω); ${displaystyle H^{-1}(Omega )}$ обозначает двойное пространство из ${displaystyle H_{0}^{1}(Omega )}$.

("частная производная "относительно времени т выше на самом деле полная производная, поскольку использование пространств Бохнера снимает пространственную зависимость.)

Смотрите также

• Векторозначные функции

Рекомендации

• Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения с частными производными. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0772-2.