Производная Фреше - Fréchet derivative

Не путать с Дифференцирование в пространствах Фреше..

В математика, то Производная Фреше это производная определено на Банаховы пространства. Названный в честь Морис Фреше, обычно используется для обобщения производной функция с действительным знаком единственной действительной переменной к случаю вектор-функция нескольких вещественных переменных, и для определения функциональная производная широко используется в вариационное исчисление.

Как правило, он расширяет идею производной от действительных значений. функции одной действительной переменной к функциям на банаховых пространствах. Производную Фреше следует противопоставить более общей Производная Гато что является обобщением классической производная по направлению.

Производная Фреше имеет приложения к нелинейным задачам во всем математический анализ и физические науки, особенно к вариационному исчислению и большей части нелинейного анализа и нелинейный функциональный анализ.

Определение

Позволять V и W быть нормированные векторные пространства, и ${\displaystyle U\subset V}$ быть открытое подмножество из V. Функция ж : U → W называется Дифференцируемый по Фреше в ${\displaystyle x\in U}$ если существует ограниченный линейный оператор ${\displaystyle A:V\to W}$ такой, что

${\displaystyle \lim _{\|h\|\to 0}{\frac {\|f(x+h)-f(x)-Ah\|_{W}}{\|h\|_{V}}}=0.}$

В предел здесь имеется в виду в обычном смысле слова предел функции определенная на метрическом пространстве (см. Функции на метрических пространствах ), с помощью V и W как два метрических пространства, а приведенное выше выражение как функция аргумента час в V. Как следствие, он должен существовать для всех последовательности ${\displaystyle \langle h_{n}\rangle _{n=1}^{\infty }}$ ненулевых элементов V которые сходятся к нулевому вектору ${\displaystyle h_{n}\to 0.}$ Эквивалентно разложение первого порядка имеет место в Обозначения Ландау

${\displaystyle f(x+h)=f(x)+Ah+o(h).}$

Если существует такой оператор А, он уникален, поэтому пишем ${\displaystyle Df(x)=A}$ и назовите это Производная Фреше из ж в Икс.Функция ж дифференцируемой по Фреше для любой точки U называется C¹ если функция

${\displaystyle Df:U\to B(V,W);x\mapsto Df(x)}$

непрерывно (${\displaystyle B(V,W)}$ обозначает пространство всех линейных ограниченных операторов из ${\displaystyle V}$ к ${\displaystyle W}$). Обратите внимание, что это не то же самое, что требовать, чтобы карта ${\displaystyle Df(x):V\to W}$ быть непрерывным для каждого значения ${\displaystyle x}$ (что предполагается; ограниченный и непрерывный эквивалентны).

Это понятие производной является обобщением обыкновенной производной функции на действительные числа ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ поскольку линейные отображения из ${\displaystyle \mathbb {R} }$ к ${\displaystyle \mathbb {R} }$ являются просто умножением на действительное число. В таком случае, Df(Икс) - функция ${\displaystyle t\mapsto f'(x)t}$.

Свойства

Функция, дифференцируемая в точке, в этой точке непрерывна.

Дифференцирование - это линейная операция в следующем смысле: если ж и г две карты V → W дифференцируемые на Икс, и р и s являются скалярами (два действительных или сложные числа ), тогда рф + sg дифференцируема в Икс с D (рф + sg)(Икс) = рDж(Икс) + sDг(Икс).

В Правило цепи также действует в этом контексте: если ж : U → Y дифференцируема в Икс в U, и г : Y → W дифференцируема в у = ж(Икс), то композиция г о ж дифференцируема в Икс а производная - это сочинение производных:

${\displaystyle D(g\circ f)(x)=Dg(f(x))\circ Df(x).}$

Конечные размеры

Производная Фреше в конечномерных пространствах является обычной производной. В частности, он представлен в координатах Матрица якобиана.

Предположим, что ж это карта, ${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ с участием U открытый набор. Если ж дифференцируема по Фреше в точке а ∈ U, то его производная равна

${\displaystyle {\begin{cases}Df(a):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}\\Df(a)(v)=J_{f}(a)v\end{cases}}}$

где J_ж(а) обозначает матрицу Якоби ж в а.

Кроме того, частные производные от ж даны

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)=Df(a)(e_{i})=J_{f}(a)e_{i},}$

где {е_я} - каноническая основа ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Поскольку производная является линейной функцией, для всех векторов ${\displaystyle h\in \mathbb {R} ^{n}}$ что производная по направлению из ж вместе час дан кем-то

${\displaystyle Df(a)(h)=\sum _{i=1}^{n}h_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a).}$

Если все частные производные от ж существуют и непрерывны, то ж дифференцируема по Фреше (и на самом деле C¹). Обратное неверно; функция

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}(x^{2}+y^{2})\sin \left((x^{2}+y^{2})^{-1/2}\right)&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$

дифференцируема по Фреше, но не имеет непрерывных частных производных в ${\displaystyle (0,0)}$.

Пример в бесконечном измерении

Один из простейших (нетривиальных) примеров в бесконечных измерениях - это тот, где область является Гильбертово пространство (${\displaystyle H}$), а интересующей функцией является норма. Итак, рассмотрим ${\displaystyle \|\cdot \|:H\to \mathbb {R} }$.

Сначала предположим, что ${\displaystyle x\neq 0}$. Затем мы утверждаем, что производная Фреше функции ${\displaystyle \|\cdot \|}$ в ${\displaystyle x}$ линейный функционал ${\displaystyle D}$, определяется

${\displaystyle Dv:=\left\langle v,{\frac {x}{\|x\|}}\right\rangle .}$

Действительно,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {|\|x+h\|-\|x\|-Dh|}{\|h\|}}&={\frac {|\|x\|\|x+h\|-\langle x,x\rangle -\langle x,h\rangle |}{\|x\|\|h\|}}\\[8pt]&={\frac {|\|x\|\|x+h\|-\langle x,x+h\rangle |}{\|x\|\|h\|}}\\[8pt]&={\frac {|\langle x,x\rangle \langle x+h,x+h\rangle -\langle x,x+h\rangle ^{2}|}{\|x\|\|h\|(|\|x\|\|x+h\|+\langle x,x+h\rangle |)}}\\[8pt]&={\frac {\langle x,x\rangle \langle h,h\rangle -\langle x,h\rangle ^{2}}{\|x\|\|h\|(|\|x\|\|x+h\|+\langle x,x+h\rangle |)}}\\&{}\end{aligned}}}$

Используя непрерывность нормы и внутреннего продукта, получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {|\|x+h\|-\|x\|-Dh|}{\|h\|}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\langle x,x\rangle \langle h,h\rangle -\langle x,h\rangle ^{2}}{\|x\|\|h\|(|\|x\|\|x+h\|+\langle x,x+h\rangle |)}}\\[8pt]&={\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\lim _{h\to 0}{\frac {\langle x,x\rangle \langle h,h\rangle -\langle x,h\rangle ^{2}}{\|h\|}}\\[8pt]&={\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\lim _{h\to 0}\left(\langle x,x\rangle \|h\|-\langle x,h\rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right)\\[8pt]&={\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\left(\lim _{h\to 0}\langle x,x\rangle \|h\|-\lim _{h\to 0}\langle x,h\rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right)\\[8pt]&={\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\left(0-\lim _{h\to 0}\langle x,h\rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right)\\[8pt]&=-{\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\left(\lim _{h\to 0}\langle x,h\rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right)\\[8pt]\end{aligned}}}$

Так как ${\displaystyle h\to 0,\langle x,h\rangle \to 0}$ и из-за Коши-Буняковский-Шварц неравенство

${\displaystyle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle }$

ограничен ${\displaystyle \|x\|}$ таким образом, весь предел исчезает.

Теперь покажем, что на ${\displaystyle x=0}$ норма не дифференцируема, т.е. не существует ограниченного линейного функционала ${\displaystyle D}$ так, чтобы рассматриваемый предел был ${\displaystyle 0}$. Позволять ${\displaystyle D}$ - любой линейный функционал. Теорема Рисса о представлении говорит нам, что ${\displaystyle D}$ может быть определен ${\displaystyle Dv=\langle a,v\rangle }$ для некоторых ${\displaystyle a\in H}$. Рассматривать

${\displaystyle A(h)={\frac {|\|0+h\|-\|0\|-Dh|}{\|h\|}}=\left|1-\left\langle a,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right|.}$

Чтобы норма была дифференцируемой при ${\displaystyle 0}$ мы должны иметь

${\displaystyle \lim _{h\to 0}A(h)=0.}$

Мы покажем, что это неверно для любого ${\displaystyle a}$. Если ${\displaystyle a=0}$ очевидно ${\displaystyle A(h)=1}$ независимо от ${\displaystyle h}$, следовательно, это не производная. Предполагать ${\displaystyle a\neq 0}$. Если мы возьмем ${\displaystyle h}$ стремясь к нулю в направлении ${\displaystyle -a}$ (т.е. ${\displaystyle h=t\cdot (-a)}$, где ${\displaystyle t\to 0^{+}}$) тогда ${\displaystyle A(h)=|1+\|a\||>1>0}$, следовательно

${\displaystyle \lim _{h\to 0}A(h)\neq 0}$

(Если взять ${\displaystyle h}$ стремясь к нулю в направлении ${\displaystyle a}$ мы бы даже увидели, что этот предел не существует, поскольку в этом случае мы получим ${\displaystyle |1-\|a\||}$).

Только что полученный результат согласуется с результатами в конечных размерностях.

Связь с производной Гато

Функция ж : U ⊂ V → W называется Гато дифференцируемые в Икс ∈ U если ж имеет производную по всем направлениям приИкс. Это означает, что существует функция г : V → W такой, что

${\displaystyle g(h)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+th)-f(x)}{t}}}$

для любого выбранного вектора час в V, и где т из скалярного поля, связанного с V (обычно, т является настоящий ).^[1]

Если ж дифференцируема по Фреше в Икс, он также дифференцируем по Гато, и г это просто линейный оператор А = Df(Икс).

Однако не всякая дифференцируемая функция Гато дифференцируема по Фреше. Это аналогично тому факту, что существование всех производных по направлениям в точке не гарантирует полной дифференцируемости (или даже непрерывности) в этой точке.^{[требуется разъяснение ]}Например, функция с действительным знаком ж двух действительных переменных, определяемых

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$

непрерывна и дифференцируема по Гато в (0, 0) с производной

${\displaystyle g(a,b)={\begin{cases}{\frac {a^{3}}{a^{2}+b^{2}}}&(a,b)\neq (0,0)\\0&(a,b)=(0,0)\end{cases}}}$

Функция г не является линейным оператором, поэтому эта функция не дифференцируема по Фреше.

В более общем смысле, любая функция формы ${\displaystyle f(x,y)=g(r)h(\phi )}$, где р и φ - полярные координаты из (Икс,у), непрерывна и дифференцируема по Гато в точке (0,0), если г дифференцируема в 0 и ${\displaystyle h(\phi +\pi )=-h(\phi )}$, но производная Гато только линейна, а производная Фреше существует, только если час является синусоидальный.

В другой ситуации функция ж данный

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{3}y}{x^{6}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$

дифференцируема по Гато в точке (0, 0), причем ее производная г(а, б) = 0 для всех (а, б), который является линейный оператор. Однако, ж не является непрерывным в точке (0, 0) (можно увидеть, подойдя к началу координат по кривой (т, т³)) и поэтому ж не может быть дифференцируемой по Фреше в начале координат.

Более тонкий пример:

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$

которая является непрерывной функцией, дифференцируемой по Гато в точке (0, 0), с производной г(а, б) = 0, что снова линейно. Однако, ж не дифференцируема по Фреше. Если бы это было так, его производная Фреше совпадала с производной Гато и, следовательно, была бы нулевым оператором; отсюда предел

${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}\left|{\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}\right|}$

должен быть равен нулю, а приближаясь к началу координат по кривой (т, т²) показывает, что этого предела не существует.

Эти случаи могут возникать, потому что определение производной Гато требует только, чтобы коэффициенты разницы сходятся по каждому направлению индивидуально, не предъявляя требований к скорости схождения для разных направлений. Таким образом, для данного ε, хотя для каждого направления коэффициент разности находится в пределах ε от его предела в некоторой окрестности данной точки, эти окрестности могут быть разными для разных направлений, и может существовать последовательность направлений, для которых эти окрестности становятся произвольно маленький. Если последовательность точек выбрана вдоль этих направлений, частное в определении производной Фреше, которое учитывает все направления одновременно, может не сходиться. Таким образом, для того чтобы линейная производная Гато предполагала существование производной Фреше, разностные коэффициенты должны быть сходятся равномерно по всем направлениям.

Следующий пример работает только в бесконечных измерениях. Позволять Икс - банахово пространство, а φ a линейный функционал на Икс это прерывистый в Икс = 0 (a разрывной линейный функционал ). Позволять

${\displaystyle f(x)=\|x\|\varphi (x).}$

потом ж(Икс) дифференцируема по Гато в Икс = 0 с производной 0. Однако ж(Икс) не дифференцируема по Фреше, поскольку предел

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\varphi (x)}$

не существует.

Высшие производные

Если ж : U → W является дифференцируемой функцией во всех точках открытого подмножества U из V, следует, что его производная

${\displaystyle Df:U\to L(V,W)}$

это функция от U в космос L(V, W) всех линейных ограниченных операторов из V к W. Эта функция также может иметь производную: производная второго порядка из ж, которая по определению производной будет отображением

${\displaystyle D^{2}f:U\to L{\big (}V,L(V,W){\big )}.}$

Чтобы упростить работу с производными второго порядка, пространство в правой части отождествлено с банаховым пространством L²(V × V, W) всех непрерывных билинейные карты от V к W. Элемент φ в L(V, L(V, W)) таким образом отождествляется с ψ в L²(V × V, W) такой, что для всех Икс и у в V,

${\displaystyle \varphi (x)(y)=\psi (x,y).}$

(Интуитивно: функция φ линейно в Икс с участием φ(Икс) линейно по у то же самое, что и билинейная функция ψ в Икс и у).

Можно различить

${\displaystyle D^{2}f:U\to L^{2}(V\times V,W)}$

снова, чтобы получить производная третьего порядка, который в каждой точке будет трехлинейная карта, и так далее. В п-я производная будет функцией

${\displaystyle D^{n}f:U\to L^{n}(V\times V\times \cdots \times V,W),}$

принимающие значения в банаховом пространстве непрерывных многолинейные карты в п аргументы от V к W. Рекурсивно функция ж является п + 1 раз дифференцируемый на U если это п раз дифференцируемый на U и для каждого Икс в U существует непрерывное полилинейное отображение А из п + 1 аргументы такие, что предел

${\displaystyle \lim _{h_{n+1}\to 0}{\frac {\left\|D^{n}f\left(x+h_{n+1}\right)(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n})-D^{n}f(x)(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n})-A\left(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n},h_{n+1}\right)\right\|}{\|h_{n+1}\|}}=0}$

существуют равномерно для час₁, час₂, ..., час_п в ограниченных множествах в V. В этом случае, А это (п + 1)я производная от ж в Икс.

Более того, мы, очевидно, можем идентифицировать член пространства ${\displaystyle L^{n}(V\times V\times \cdots \times V,W)}$ с линейной картой ${\displaystyle L(\bigotimes _{j=1}^{n}V_{j},W)}$ через идентификацию ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1}\otimes x_{2}\otimes \cdots \otimes x_{n})}$, таким образом рассматривая производную как линейную карту.

Частные производные Фреше

В этом разделе мы расширяем обычное понятие частные производные который определен для функций вида ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$, к функциям, чьи области и целевые пространства являются произвольными (действительными или сложными) Банаховы пространства. Для этого пусть ${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{n}}$ и ${\displaystyle W}$ - банаховы пространства (над тем же полем скаляров), и пусть ${\displaystyle f:\prod _{i=1}^{n}V_{i}\to W}$ быть заданной функцией и зафиксировать точку ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in \prod _{i=1}^{n}V_{i}}$. Мы говорим что ${\displaystyle f}$ имеет i-й частный дифференциал в точке ${\displaystyle a}$ если функция ${\displaystyle \varphi _{i}:V_{i}\to W}$ определяется

${\displaystyle \varphi _{i}(x)=f(a_{1},\dots ,a_{i-1},x,a_{i+1},\dots a_{n})}$

дифференцируема по Фреше в точке ${\displaystyle a_{i}}$ (в смысле, описанном выше). В этом случае мы определяем ${\displaystyle \partial _{i}f(a):=D\varphi _{i}(a_{i})}$, и мы звоним ${\displaystyle \partial _{i}f(a)}$ i-я частная производная от ${\displaystyle f}$ в момент ${\displaystyle a}$. Важно отметить, что ${\displaystyle \partial _{i}f(a)}$ является линейным преобразованием из ${\displaystyle V_{i}}$ в ${\displaystyle W}$. Эвристически, если ${\displaystyle f}$ имеет i-й частный дифференциал при ${\displaystyle a}$, тогда ${\displaystyle \partial _{i}f(a)}$ линейно аппроксимирует изменение функции ${\displaystyle f}$ когда мы исправим все его записи как ${\displaystyle a_{j}}$ для ${\displaystyle j\neq i}$, а мы изменяем только i-ю запись. Мы можем выразить это в обозначениях Ландау как

${\displaystyle f(a_{1},\dots ,a_{i}+h,\dots a_{n})-f(a_{1},\dots ,a_{n})=\partial _{i}f(a)(h)+o(h).}$

Обобщение на топологические векторные пространства

Понятие производной Фреше можно обобщить на произвольные топологические векторные пространства (TVS) Икс и Y. Сдача U быть открытым подмножеством Икс который содержит начало координат и задан функцией ${\displaystyle f:U\to Y}$ такой, что ${\displaystyle f(0)=0,}$ сначала мы определяем, что для этой функции означает наличие 0 в качестве производной. Мы говорим, что эта функция ж касается 0, если для любой открытой окрестности 0 ${\displaystyle W\subset Y}$ существует открытая окрестность 0, ${\displaystyle V\subset X}$ и функция ${\displaystyle o:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ такой, что

${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {o(t)}{t}}=0,}$

и для всех т в некоторой окрестности происхождения, ${\displaystyle f(tV)\subset o(t)W.}$

Теперь мы можем снять ограничение, которое ${\displaystyle f(0)=0}$ определяя ж дифференцируемой по Фреше в точке ${\displaystyle x_{0}\in U}$ если существует непрерывный линейный оператор ${\displaystyle \lambda :X\to Y}$ такой, что ${\displaystyle f(x_{0}+h)-f(x_{0})-\lambda h}$, рассматриваемая как функция час, касается 0. (Язык, стр. 6)

Если производная Фреше существует, то она единственна. Кроме того, производная Гато также должна существовать и быть равна производной Фреше в том, что для всех ${\displaystyle v\in X}$,

${\displaystyle \lim _{\tau \to 0}{\frac {f(x_{0}+\tau v)-f(x_{0})}{\tau }}=f'(x_{0})v,}$

где ${\displaystyle f'(x_{0})}$ - производная Фреше.Функция, дифференцируемая по Фреше в точке, обязательно непрерывна там, а суммы и скалярные кратные дифференцируемых по Фреше функций дифференцируемы, так что пространство функций, дифференцируемых по Фреше в точке, образует подпространство функций, непрерывных в этой точке. Цепное правило также выполняется, как и правило Лейбница, когда Y является алгеброй и TVS, в которых умножение непрерывно.

Смотрите также

• Обобщения производной
• Бесконечномерная голоморфность

Заметки

1. Обычно в определение включается, что результирующая карта г должен быть непрерывный линейный оператор. Мы избегаем принятия этого соглашения здесь, чтобы позволить исследовать самый широкий класс патологий.

использованная литература

• Картан, Анри (1967), Рассчитать différentiel, Париж: Герман, Г-Н  0223194.
• Дьедонне, Жан (1969), Основы современного анализа, Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, Г-Н  0349288.
• Ланг, Серж (1995), Дифференциальные и римановы многообразия., Springer, ISBN  0-387-94338-2.
• Мункрес, Джеймс Р. (1991), Анализ на многообразиях, Эддисон-Уэсли, ISBN  978-0-201-51035-5, Г-Н  1079066.
• Превиато, Эмма, изд. (2003), Словарь прикладной математики для инженеров и ученых, Большой математический словарь, Лондон: CRC Press, ISBN  978-1-58488-053-0, Г-Н  1966695.
• Коулман, Родни, изд. (2012), Исчисление на нормированных векторных пространствах, Университекст, Springer, ISBN  978-1-4614-3894-6.

внешние ссылки

• Б. А. Фригик, С. Шривастава и М. Р. Гупта, Введение в функциональные производные, Технический отчет UWEE 2008-0001.
• http://www.probability.net. Эта веб-страница в основном посвящена базовой теории вероятностей и меры, но есть хорошая глава о производной Фреше в банаховых пространствах (глава о формуле Якобиана). Все результаты приведены с доказательством.