Многолинейная карта - Multilinear map

Для полилинейных карт, используемых в криптографии, см. Криптографическая полилинейная карта.

В линейная алгебра, а многолинейная карта это функция нескольких переменных, линейно отдельно по каждой переменной. Точнее, полилинейная карта - это функция

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

куда ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$ и ${\displaystyle W}$ находятся векторные пространства (или же модули через коммутативное кольцо ) со следующим свойством: для каждого ${\displaystyle i}$, если все переменные, кроме ${\displaystyle v_{i}}$ остаются постоянными, тогда ${\displaystyle f(v_{1},\ldots v_{i},\ldots v_{n})}$ это линейная функция из ${\displaystyle v_{i}}$.^[1]

Полилинейная карта одной переменной - это линейная карта, а двух переменных есть билинейная карта. В более общем смысле, полилинейная карта k переменные называется k-линейная карта. Если codomain полилинейного отображения - это поле скаляров, оно называется полилинейная форма. Полилинейные карты и полилинейные формы являются фундаментальными объектами изучения в полилинейная алгебра.

Если все переменные принадлежат одному и тому же пространству, можно рассмотреть симметричный, антисимметричный и чередование k-линейные карты. Последние совпадают, если лежащие в основе звенеть (или же поле ) имеет характеристика отличается от двух, иначе первые два совпадают.

Примеры

• Любой билинейная карта является полилинейной картой. Например, любой внутренний продукт в векторном пространстве является полилинейным отображением, как и перекрестное произведение векторов в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.
• В детерминант матрицы - это чередование полилинейная функция столбцов (или строк) квадратная матрица.
• Если ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ это C^k функция, то ${\displaystyle k\!}$-я производная от ${\displaystyle F\!}$ в каждой точке ${\displaystyle p}$ в своей области можно рассматривать как симметричный ${\displaystyle k}$-линейная функция ${\displaystyle D^{k}\!F\colon \mathbb {R} ^{m}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$.
• В тензорно-векторная проекция в полилинейное подпространственное обучение также является полилинейной картой.

Координатное представление

Позволять

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

- полилинейное отображение между конечномерными векторными пространствами, где ${\displaystyle V_{i}\!}$ имеет размер ${\displaystyle d_{i}\!}$, и ${\displaystyle W\!}$ имеет размер ${\displaystyle d\!}$. Если мы выберем основа ${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}}$ для каждого ${\displaystyle V_{i}\!}$ и основа ${\displaystyle \{{\textbf {b}}_{1},\ldots ,{\textbf {b}}_{d}\}}$ за ${\displaystyle W\!}$ (используя полужирный шрифт для векторов), то мы можем определить набор скаляров ${\displaystyle A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}}$ к

${\displaystyle f({\textbf {e}}_{1j_{1}},\ldots ,{\textbf {e}}_{nj_{n}})=A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{1}\,{\textbf {b}}_{1}+\cdots +A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{d}\,{\textbf {b}}_{d}.}$

Тогда скаляры ${\displaystyle \{A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}\mid 1\leq j_{i}\leq d_{i},1\leq k\leq d\}}$ полностью определить полилинейную функцию ${\displaystyle f\!}$. В частности, если

${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{d_{i}}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}\!}$

за ${\displaystyle 1\leq i\leq n\!}$, тогда

${\displaystyle f({\textbf {v}}_{1},\ldots ,{\textbf {v}}_{n})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{d_{n}}\sum _{k=1}^{d}A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}v_{1j_{1}}\cdots v_{nj_{n}}{\textbf {b}}_{k}.}$

Пример

Возьмем трилинейную функцию

${\displaystyle g\colon R^{2}\times R^{2}\times R^{2}\to R,}$

куда V_я = р², d_я = 2, я = 1,2,3, и W = р, d = 1.

Основа для каждого V_я является ${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}=\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\}=\{(1,0),(0,1)\}.}$ Позволять

${\displaystyle g({\textbf {e}}_{1i},{\textbf {e}}_{2j},{\textbf {e}}_{3k})=f({\textbf {e}}_{i},{\textbf {e}}_{j},{\textbf {e}}_{k})=A_{ijk},}$

куда ${\displaystyle i,j,k\in \{1,2\}}$. Другими словами, постоянная ${\displaystyle A_{ijk}}$ является значением функции в одной из восьми возможных троек базисных векторов (поскольку есть два варианта для каждого из трех ${\displaystyle V_{i}}$), а именно:

${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\}.}$

Каждый вектор ${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}}$ можно выразить как линейную комбинацию базисных векторов

${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{2}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}=v_{i1}\times {\textbf {e}}_{1}+v_{i2}\times {\textbf {e}}_{2}=v_{i1}\times (1,0)+v_{i2}\times (0,1).}$

Значение функции в произвольном наборе из трех векторов ${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in R^{2}}$ можно выразить как

${\displaystyle g({\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3})=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}\sum _{k=1}^{2}A_{ijk}v_{1i}v_{2j}v_{3k}.}$

Или в развернутом виде как

${\displaystyle {\begin{aligned}g((a,b),(c,d)&,(e,f))=ace\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+acf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+ade\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+adf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2})+bce\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+bcf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+bde\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+bdf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}).\end{aligned}}}$

Отношение к тензорным произведениям

Между полилинейными отображениями существует естественное взаимно однозначное соответствие

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

и линейные карты

${\displaystyle F\colon V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\to W{\text{,}}}$

куда ${\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!}$ обозначает тензорное произведение из ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$. Связь между функциями ${\displaystyle f\!}$ и ${\displaystyle F\!}$ дается формулой

${\displaystyle F(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})=f(v_{1},\ldots ,v_{n}).}$

Полилинейные функции на п×п матрицы

Можно рассматривать полилинейные функции на п×п матрица над коммутативное кольцо K с единицей, как функция строк (или, что эквивалентно, столбцов) матрицы. Позволять А быть такой матрицей и а_я, 1 ≤ я ≤ п, быть рядами А. Тогда полилинейная функция D можно записать как

${\displaystyle D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n}),}$

удовлетворение

${\displaystyle D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n}).}$

Если мы позволим ${\displaystyle {\hat {e}}_{j}}$ представляют j-ю строку единичной матрицы, мы можем выразить каждую строку а_я как сумма

${\displaystyle a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j){\hat {e}}_{j}.}$

Используя полилинейность D мы переписываем D(А) в качестве

${\displaystyle D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(1,j){\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(1,j)D({\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}).}$

Продолжая эту замену для каждого а_я мы получаем, для 1 ≤ я ≤ п,

${\displaystyle D(A)=\sum _{1\leq k_{i}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D({\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}),}$

где, поскольку в нашем случае 1 ≤ я ≤ п,

${\displaystyle \sum _{1\leq k_{i}\leq n}=\sum _{1\leq k_{1}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{i}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{n}\leq n}}$

представляет собой серию вложенных суммирований.

Следовательно, D(А) однозначно определяется тем, как D действует на ${\displaystyle {\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}}$.

Пример

В случае матриц 2 × 2 получаем

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,1}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})+A_{1,1}A_{2,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})+A_{1,2}A_{2,1}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})+A_{1,2}A_{2,2}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})\,}$

Где ${\displaystyle {\hat {e}}_{1}=[1,0]}$ и ${\displaystyle {\hat {e}}_{2}=[0,1]}$. Если мы ограничим ${\displaystyle D}$ быть альтернативной функцией, тогда ${\displaystyle D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})=D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})=0}$ и ${\displaystyle D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})=-D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})=-D(I)}$. Сдача ${\displaystyle D(I)=1}$ получаем детерминантную функцию на матрицах 2 × 2:

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1}.}$

Характеристики

• Мультилинейная карта имеет нулевое значение, если один из ее аргументов равен нулю.

Смотрите также

• Алгебраическая форма
• Многолинейная форма
• Однородный полином
• Однородная функция
• Тензоры
• Мультилинейное подпространственное обучение

Рекомендации

1. Серж Ланг. Алгебра. Springer; 3-е издание (8 января 2002 г.)