Слабая производная - Weak derivative

В математика, а слабая производная является обобщением концепции производная из функция (сильная производная) для не предполагаемых функций дифференцируемый, но только интегрируемый, т.е. лежать в L^п Космос ${\displaystyle L^{1}([a,b])}$. Увидеть распределения для более общего определения.

Определение

Позволять ${\displaystyle u}$ быть функцией в Пространство Лебега ${\displaystyle L^{1}([a,b])}$. Мы говорим что ${\displaystyle v}$ в ${\displaystyle L^{1}([a,b])}$ это слабая производная из ${\displaystyle u}$ если

${\displaystyle \int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)\,dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)\,dt}$

для все бесконечно дифференцируемые функции ${\displaystyle \varphi }$ с участием ${\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)=0}$. Это определение мотивировано техникой интеграции интеграция по частям.

Обобщая на ${\displaystyle n}$ размеры, если ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ находятся в космосе ${\displaystyle L_{\text{loc}}^{1}(U)}$ из локально интегрируемые функции для некоторых открытый набор ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$, и если ${\displaystyle \alpha }$ это мультииндекс мы говорим, что ${\displaystyle v}$ это ${\displaystyle \alpha ^{\text{th}}}$-слабая производная от ${\displaystyle u}$ если

${\displaystyle \int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi ,}$

для всех ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$, то есть для всех бесконечно дифференцируемых функций ${\displaystyle \varphi }$ с участием компактная опора в ${\displaystyle U}$. Вот ${\displaystyle D^{\alpha }\varphi }$ определяется как

${\displaystyle \qquad D^{\alpha }\varphi ={\frac {\partial ^{|\alpha |}\varphi }{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.}$

Если ${\displaystyle u}$ имеет слабую производную, часто пишут ${\displaystyle D^{\alpha }u}$ поскольку слабые производные уникальны (по крайней мере, с точностью до набора измерять ноль, см. ниже).

Примеры

• В абсолютная величина функция ты : [−1, 1] → [0, 1], ты(т) = |т|, которая не дифференцируема при т = 0, имеет слабую производную v известный как функция знака данный

${\displaystyle v\colon [-1,1]\to [-1,1];\quad t\mapsto v(t)={\begin{cases}1,&{\text{if }}t>0;\\0,&{\text{if }}t=0;\\-1,&{\text{if }}t<0.\end{cases}}}$

Это не единственная слабая производная для ты: Любые ш что равно v почти всюду также является слабой производной для ты. Обычно это не проблема, так как в теории L^п пробелы и Соболевские пространства, идентифицируются почти всюду равные функции.

• В характеристическая функция рациональных чисел ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$ нигде не дифференцируема, но имеет слабую производную. Поскольку Мера Лебега рациональных чисел равно нулю,

${\displaystyle \int 1_{\mathbb {Q} }(t)\varphi (t)\,dt=0.}$

Таким образом ${\displaystyle v(t)=0}$ является слабой производной от ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$. Обратите внимание, что это согласуется с нашей интуицией, поскольку, если рассматривать его как член пространства Lp, ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$ отождествляется с нулевой функцией.

• В Функция Кантора c не имеет слабой производной, несмотря на то, что дифференцируема почти везде. Это потому, что любая слабая производная от c почти всюду должна была бы быть равна классической производной от c, которая почти везде равна нулю. Но нулевая функция не является слабой производной от c, что можно увидеть при сравнении с соответствующей тестовой функцией ${\displaystyle \varphi }$. Теоретически c не имеет слабой производной, потому что его производная по распределению, а именно Канторовское распределение, это особая мера и поэтому не может быть представлен функцией.

Свойства

Если две функции являются слабыми производными одной и той же функции, они равны, за исключением набора с Мера Лебега нулю, т.е. они равны почти всюду. Если мы рассмотрим классы эквивалентности таких функций, что две функции эквивалентны, если они равны почти всюду, то слабая производная единственна.

Кроме того, если ты дифференцируема в обычном смысле, то ее слабая производная идентична (в смысле, указанном выше) своей обычной (сильной) производной. Таким образом, слабая производная является обобщением сильной. Кроме того, классические правила для производных сумм и произведений функций также верны для слабой производной.

Расширения

Эта концепция дает начало определению слабые решения в Соболевские пространства, которые полезны для задач дифференциальные уравнения И в функциональный анализ.

Смотрите также

• Субпроизводная
• Лемма Вейля (уравнение Лапласа)

использованная литература

• Gilbarg, D .; Трудингер, Н. (2001). Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Берлин: Springer. п.149. ISBN  3-540-41160-7.
• Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения с частными производными. Провиденс, Р.И .: Американское математическое общество. п.242. ISBN  0-8218-0772-2.
• Knabner, Питер; Ангерманн, Лутц (2003). Численные методы для эллиптических и параболических уравнений в частных производных. Нью-Йорк: Спрингер. п.53. ISBN  0-387-95449-X.