Функция распределения (квантовая теория поля) - Partition function (quantum field theory)

В квантовая теория поля, то функция распределения ${\displaystyle Z[J]}$ это производящий функционал из всех корреляционные функции, обобщая характеристическая функция теории вероятностей.

Обычно это выражается в следующем функциональный интеграл:

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \,e^{i(S[\phi ]+\int d^{4}xJ(x)\phi (x))}~,}$

куда S это действие функциональный.

Статистическая сумма в квантовой теории поля является частным случаем математическая статистическая сумма, и относится к статистическая статистическая сумма в статистической механике. Основное отличие состоит в том, что счетный коллекция случайные переменные замеченный в определении таких более простых функций разбиения, был заменен несчетным множеством, что требует использования функциональные интегралы над полем ${\displaystyle \phi }$.

Использует

N-точечные корреляционные функции ${\displaystyle G_{n}}$ можно выразить с помощью формализма интегралов по путям как

${\displaystyle G_{n}(x_{1},...,x_{n})\equiv \langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \,\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\exp(iS[\phi ]/\hbar )}{\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp(iS[\phi ]/\hbar )}}}$

где левая часть - это заказанный по времени продукт, используемый для расчета S-матрица элементы. В ${\displaystyle {\mathcal {D}}\phi }$ в правой части означает интегрирование по всем возможным классическим конфигурациям поля ${\displaystyle \phi (x)}$ с фазой, заданной классическим действием ${\displaystyle S[\phi ]}$ оценивается в этой конфигурации поля.^[1]

Производящий функционал ${\displaystyle Z[J]}$ можно использовать для вычисления вышеуказанных интегралов по путям с помощью вспомогательной функции ${\displaystyle J}$ (называется Текущий в контексте).

Из определения (в контексте 4D)

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left\{{\frac {i}{\hbar }}\left[S[\phi ]+\int d^{4}xJ(x)\phi (x))\right]\right\}}$

можно увидеть, используя функциональные производные, что n-точечные корреляционные функции ${\displaystyle G_{n}(x_{1},...,,x_{n})}$ даны

${\displaystyle G_{n}(x_{1},...,x_{n})=(-i\hbar )^{n}{\frac {1}{Z[0]}}\left.{\frac {\partial ^{n}Z}{\partial J(x_{1})\cdots \partial J(x_{n})}}\right|_{J=0}}$

Связь со статистической механикой

Производящий функционал является аналогом статистической суммы статистической суммы в квантовой теории поля в статистической механике: он говорит нам все мы могли бы захотеть узнать о системе. Производящий функционал - это святой Грааль любой конкретной теории поля: если у вас есть точное выражение в замкнутой форме для ${\displaystyle Z[J]}$ для конкретной теории вы ее полностью решили.^[2]

В отличие от статистической суммы в статистической механике, статистическая сумма в квантовой теории поля содержит дополнительный множитель: я перед действием, что делает подынтегральное выражение сложным, а не реальным. Этот я указывает на глубокую связь между квантовой теорией поля и статистической теорией полей. Эту связь можно увидеть, если Вик поворачивает подынтегральное выражение в экспоненте интеграла по путям.^[3] В я возникает из-за того, что статистическая сумма в QFT вычисляет квантово-механические амплитуды вероятности между состояниями, которые принимают значения в сложное проективное пространство (сложный Гильбертово пространство, но акцент делается на слове проективный, потому что амплитуды вероятностей по-прежнему нормированы на единицу). Поля в статистической механике - это вещественные случайные величины, в отличие от операторов в гильбертовом пространстве.

Рекомендации

1. Мэтью Д. Шварц, Квантовая теория поля и стандартная модель, 2013, гл. 14
2. Мэтью Д. Шварц, Квантовая теория поля и стандартная модель, 2013, гл. 14, стр. 262
3. Майкл Эдвард Пескин, Дэниел Шредер, Введение в квантовую теорию поля, 1995, гл. 9, стр. 292

дальнейшее чтение

• Жан Зинн-Джастин (2009), Scholarpedia, 4(2): 8674.
• Кляйнерт, Хаген, Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках, 4-е издание, World Scientific (Сингапур, 2004 г.); мягкая обложка ISBN  981-238-107-4 (также доступно в Интернете: PDF-файлы ).