Уравнение Джооса – Вайнберга - Joos–Weinberg equation

В релятивистская квантовая механика и квантовая теория поля, то Уравнение Джооса – Вайнберга это релятивистские волновые уравнения применимый к свободные частицы произвольных вращение j, целое число для бозоны (j = 1, 2, 3 ...) или полуцелое для фермионы (j = ​¹⁄₂, ​³⁄₂, ​⁵⁄₂ ...). Решениями уравнений являются волновые функции, математически в виде многокомпонентных спинорные поля. В квантовое число спина обычно обозначается s в квантовой механике, однако в этом контексте j более типичен в литературе (см. Рекомендации ).

Он назван в честь Х. Джус и Стивен Вайнберг, найденный в начале 1960-х гг.^[1][2]

Заявление

Представляем 2(2j + 1) × 2(2j + 1) матрица;^[2]

${\displaystyle \gamma ^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{2j}}}$

симметричный по любым двум тензорным индексам, который обобщает гамма-матрицы в уравнении Дирака,^[1][3] уравнение^[4][5]

${\displaystyle [(i\hbar )^{2j}\gamma ^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{2j}}\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{2j}}+(mc)^{2j}]\Psi =0}$

или же

${\displaystyle [\gamma ^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{2j}}P_{\mu _{1}}P_{\mu _{2}}\cdots P_{\mu _{2j}}+(mc)^{2j}]\Psi =0}$

(4)

Структура группы Лоренца

Основная статья: Теория представлений группы Лоренца

Для уравнений JW представление группы Лоренца является^[6]

${\displaystyle D^{\mathrm {JW} }=D^{(j,0)}\oplus D^{(0,j)}.}$

Это представление имеет определенный спин j. Получается, что спина j частица в этом представлении также удовлетворяет уравнениям поля. Эти уравнения очень похожи на уравнения Дирака. Это подходит, когда симметрии зарядовое сопряжение, симметрия обращения времени, и паритет хорошо.

Представления D^{(j, 0)} и D^{(0, j)} может каждая отдельно представлять частицы спина j. Состояние или квантовое поле в таком представлении не удовлетворяет никакому уравнению поля, кроме уравнения Клейна-Гордона.

Лоренцево ковариантное тензорное описание состояний Вайнберга – Джооса

Шестикомпонентное пространство представления спина 1,

${\displaystyle D^{\mathrm {JW} }=D^{(1,0)}\oplus D^{(0,1)}}$

можно пометить парой антисимметричных индексов Лоренца, [αβ], что означает, что он преобразуется как антисимметричный тензор Лоренца второго ранга ${\displaystyle B_{[\alpha \beta ]},}$ т.е.

${\displaystyle B_{[\alpha \beta ]}\sim D^{(1,0)}\oplus D^{(0,1)}.}$

В j-складывать Кронекер продукт Т_{[α1β1]...[αjβj]} из B_[αβ]

${\displaystyle T_{[\alpha _{1}\beta _{1}]\cdots [\alpha _{j}\beta _{j}]}=B_{[\alpha _{1}\beta _{1}]}\otimes \cdots \otimes B_{[\alpha _{j}\beta _{j}]}=\bigotimes _{i=1}^{j}B_{[\alpha _{i}\beta _{i}]},}$

(8A)

распадается на конечную серию лоренц-неприводимых пространств представлений согласно

${\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{j}\left(D_{i}^{(1,0)}\oplus D_{i}^{(0,1)}\right)\to D^{(j,0)}\oplus D^{(0,j)}\oplus D^{(j,j)}\oplus \cdots \oplus D^{(j_{k},j_{l})}\oplus D^{(j_{l},j_{k})}\oplus \cdots \oplus D^{(0,0)},}$

и обязательно содержит ${\displaystyle D^{(j,0)}\oplus D^{(0,j)}}$ сектор. Этот сектор может быть мгновенно идентифицирован с помощью независимого от импульса оператора проектора. п^(j,0), разработанный на основе C⁽¹⁾, один из Элементы Казимира (инварианты)^[7] алгебры Ли Группа Лоренца, которые определяются как,

${\displaystyle {\begin{cases}\left[C^{(1)}\right]_{AB}={\frac {1}{4}}{\left[M^{\mu \nu }\right]_{A}}^{C}\left[M_{\mu \nu }\right]_{CB}\\[6pt]\left[C^{(2)}\right]_{AB}={\frac {1}{4}}\varepsilon _{\mu \nu \lambda \eta }{\left[M^{\mu \nu }\right]_{A}}^{C}\left[M^{\lambda \eta }\right]_{CB}\end{cases}}\qquad A,B,C=1,\ldots ,(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}$

(8B)

куда M^μν постоянны (2j₁+1)(2j₂+1) × (2j₁+1)(2j₂+1) матрицы, определяющие элементы алгебры Лоренца в пределах ${\displaystyle D^{(j_{1},j_{2})}\oplus D^{(j_{2},j_{1})}}$ представления. Этикетки с заглавными латинскими буквами обозначают^[8] конечномерность рассматриваемых пространств представлений, описывающих внутренний угловой момент (вращение ) степени свободы.

Пространства представления ${\displaystyle D^{(j_{1},j_{2})}\oplus D^{(j_{2},j_{1})}}$ являются собственными векторами C⁽¹⁾ в (8B) в соответствии с,

${\displaystyle C^{(1)}\left[D^{(j_{1},j_{2})}\oplus D^{(j_{2},j_{1})}\right]=\left(j_{1}(j_{1}+1)+j_{2}(j_{2}+1)\right)\left[D^{(j_{1},j_{2})}\oplus D^{(j_{2},j_{1})}\right],}$

Здесь мы определяем:

${\displaystyle \lambda _{(j_{1},j_{2})}^{(1)}=j_{1}(j_{1}+1)+j_{2}(j_{2}+1),}$

быть C⁽¹⁾ собственное значение ${\displaystyle D^{(j_{1},j_{2})}\oplus D^{(j_{2},j_{1})}}$ сектор. Используя эти обозначения, мы определяем оператор проектора, п^(j,0) с точки зрения C⁽¹⁾:^[8]

${\displaystyle {\left[P^{(j,0)}\right]_{\left[\alpha _{1}\beta _{1}\right]\cdots \left[\alpha _{j}\beta _{j}\right]}}^{\left[\rho _{1}\sigma _{1}\right]\cdots \left[\rho _{j}\sigma _{j}\right]}={\left[\prod _{k,l}\left({\frac {C^{(1)}-\lambda _{(j_{k},j_{l})}^{(1)}}{\lambda _{(j,\,0)}^{(1)}-\lambda _{(j_{k},j_{l})}^{(1)}}}\right)\right]_{\left[\alpha _{1}\beta _{1}\right]\cdots \left[\alpha _{j}\beta _{j}\right]}}^{\left[\rho _{1}\sigma _{1}\right]\cdots \left[\rho _{j}\sigma _{j}\right]}.}$

(8C)

Такие проекторы можно использовать для поиска Т_{[α1β1]...[αjβj]} за ${\displaystyle D^{(j,0)}\oplus D^{(0,j)},}$ и исключить все остальное. Релятивистские волновые уравнения второго порядка для любых j затем напрямую получаются при первой идентификации ${\displaystyle D^{(j,0)}\oplus D^{(0,j)}}$ сектор в Т_{[α1β1]...[αjβj]} в (8A) с помощью проектора Лоренца в (8C) и затем накладывая на результат условие массовой оболочки.

В этом алгоритме нет дополнительных условий. Схема распространяется и на полуцелые спины, ${\displaystyle s=j+{\tfrac {1}{2}}}$ в этом случае Кронекер продукт из Т_{[α1β1]...[αjβj]} со спинором Дирака,

${\displaystyle D^{\left({\frac {1}{2}},0\right)}\oplus D^{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}}$

необходимо учитывать. Выбор полностью антисимметричного тензора Лоренца второго ранга, B_[αяβя], в приведенном выше уравнении (8A) является только необязательным. Можно начать с кратных произведений Кронекера полностью симметричных тензоров Лоренца второго ранга, А_αяβя. Последний вариант должен представлять интерес в теориях, где высокие спины ${\displaystyle D^{(j,0)}\oplus D^{(0,j)}}$ Поля Джооса-Вайнберга предпочтительно связаны с симметричными тензорами, такими как метрический тензор в гравитации.

Пример^[8]

В

${\displaystyle \left({\tfrac {3}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\tfrac {3}{2}}\right)}$

переходящий в спинор тензора Лоренца второго ранга,

${\displaystyle \psi _{[\mu \nu ]}=[(1,0)\oplus (0,1)]\otimes \left[\left({\tfrac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\tfrac {1}{2}}\right)\right].}$

Генераторы группы Лоренца в этом пространстве представления обозначаются через ${\displaystyle \left[M_{\mu \nu }^{ATS}\right]_{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]},}$ и предоставлено:

${\displaystyle \left[M_{\mu \nu }^{ATS}\right]_{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}=\left[M_{\mu \nu }^{AT}\right]_{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}{\mathbf {1} }^{S}+{\mathbf {1} }_{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}\,\,\left[M_{\mu \nu }^{S}\right],}$

${\displaystyle \mathbf {1} _{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}={\tfrac {1}{2}}\left(g_{\alpha \gamma }g_{\beta \delta }-g_{\alpha \delta }g_{\beta \gamma }\right),}$

${\displaystyle M_{\mu \nu }^{S}={\tfrac {1}{2}}\sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{4}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }],}$

куда 1_[αβ][γδ] означает идентичность в этом пространстве, 1^S и M^S_μν - соответствующий единичный оператор и элементы алгебры Лоренца в пространстве Дирака, а γ_μ являются стандартными гамма-матрицы. В [M^В_μν]_[αβ][γδ] генераторы выражаются через генераторы в четырехвекторе,

${\displaystyle \left[M_{\mu \nu }^{V}\right]_{\alpha \beta }=i\left(g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu }-g_{\alpha \nu }g_{\beta \mu }\right),}$

в качестве

${\displaystyle \left[M_{\mu \nu }^{AT}\right]_{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}=-2\cdot {\mathbf {1} _{[\alpha \beta ]}}^{[\kappa \sigma ]}{\left[M_{\mu \nu }^{V}\right]_{\sigma }}^{\rho }{\mathbf {1} }_{[\rho \kappa ][\gamma \delta ]}.}$

Тогда явное выражение инварианта Казимира C⁽¹⁾ в (8B) принимает вид

${\displaystyle \left[C^{(1)}\right]_{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}=-{\frac {1}{8}}\left(\sigma _{\alpha \beta }\sigma _{\gamma \delta }-\sigma _{\gamma \delta }\sigma _{\alpha \beta }-22\cdot \mathbf {1} _{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}\right),}$

а проектор Лоренца на (3 / 2,0) ⊕ (0,3 / 2) задается формулой

${\displaystyle \left[P^{\left({\frac {3}{2}},0\right)}\right]_{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}={\frac {1}{8}}\left(\sigma _{\alpha \beta }\sigma _{\gamma \delta }+\sigma _{\gamma \delta }\sigma _{\alpha \beta }\right)-{\frac {1}{12}}\sigma _{\alpha \beta }\sigma _{\gamma \delta }.}$

Фактически, степени свободы (3 / 2,0) ⊕ (0,3 / 2), обозначаемые

${\displaystyle \left[w_{\pm }^{\left({\frac {3}{2}},0\right)}\left({\mathbf {p} },{\tfrac {3}{2}},\lambda \right)\right]^{[\gamma \delta ]}}$

находятся для решения следующего уравнения второго порядка,

${\displaystyle \left({\left[P^{\left({\frac {3}{2}},0\right)}\right]^{[\alpha \beta ]}}_{[\gamma \delta ]}p^{2}-m^{2}\cdot {{\mathbf {1} }^{[\alpha \beta ]}}_{[\gamma \delta ]}\right)\left[w_{\pm }^{\left({\frac {3}{2}},0\right)}\left({\mathbf {p} },{\tfrac {3}{2}},\lambda \right)\right]^{[\gamma \delta ]}=0.}$

Выражения для решений можно найти в.^[8]

Смотрите также

• Гамма-матрицы более высокой размерности
• Уравнения Баргмана – Вигнера, альтернативные уравнения, описывающие свободные частицы любого спина

Рекомендации

1. E.A. Джеффри (1978). «Компонентная минимизация волновой функции Баргмана – Вигнера». Австралийский журнал физики. Мельбурн: CSIRO. 31 (2): 137. Bibcode:1978AuJPh..31..137J. Дои:10.1071 / ph780137. NB: Конвенция о четыре градиента в этой статье ∂_μ = (∂/∂т, ∇), как и статья в Википедии. Соглашения Джеффри разные: ∂_μ = (−я∂/∂т, ∇). Также Джеффри собирает Икс и у компоненты оператора импульса: п_± = п₁ ± ip₂ = п_Икс ± ip_у. Компоненты п_± не следует путать с операторы лестницы; факторы ±1, ±я происходят из гамма-матрицы.
2. Вайнберг, С. (1964). "Правила Фейнмана для любого вращение" (PDF). Phys. Rev. 133 (5B): B1318 – B1332. Bibcode:1964ПхРв..133.1318Вт. Дои:10.1103 / PhysRev.133.B1318.; Вайнберг, С. (1964). "Правила Фейнмана для любого вращение. II. Безмассовые частицы » (PDF). Phys. Rev. 134 (4B): B882 – B896. Bibcode:1964ПхРв..134..882Вт. Дои:10.1103 / PhysRev.134.B882.; Вайнберг, С. (1969). "Правила Фейнмана для любого вращение. III " (PDF). Phys. Rev. 181 (5): 1893–1899. Bibcode:1969ПхРв..181.1893Вт. Дои:10.1103 / PhysRev.181.1893.
3. Габор Жолт Тот (2012). «Проекционный операторный подход к квантованию полей высших спинов». Европейский физический журнал C. 73: 2273. arXiv:1209.5673. Bibcode:2013EPJC ... 73.2273T. Дои:10.1140 / epjc / s10052-012-2273-х.
4. В.В. Двоеглазов (2003). «Обобщения уравнения Дирака и модифицированный формализм Баргмана – Вигнера». Адроник J. 26: 299–325. arXiv:hep-th / 0208159.
5. Д. Шэй (1968). "Лагранжева формулировка волновых уравнений Джооса – Вайнберга для спиновыхj частицы ». Il Nuovo Cimento A. 57 (2): 210–218. Bibcode:1968NCimA..57..210S. Дои:10.1007 / BF02891000.
6. Т. Ярошевич; П.С. Курзепа (1992). «Геометрия пространственно-временного распространения вращающихся частиц». Анналы физики. Калифорния, США. 216 (2): 226–267. Bibcode:1992AnPhy.216..226J. Дои:10.1016 / 0003-4916 (92) 90176-М.
7. Ю. С. Ким; Мэрилин Э. Ноз (1986). Теория и приложения группы Пуанкаре. Дордрехт, Голландия: Рейдел. ISBN  9789027721419.
8. Э. Г. Дельгадо Акоста; В. М. Банда Гусман; М. Кирхбах (2015). «Бозонные и фермионные состояния Вайнберга-Джоуса (j, 0) ⊕ (0, j) произвольных спинов как тензоры Лоренца или тензор-спиноры и теория второго порядка». Европейский физический журнал A. 51 (3): 35. arXiv:1503.07230. Bibcode:2015EPJA ... 51 ... 35D. Дои:10.1140 / epja / i2015-15035-х.

• В. В. Двоеглазов (1993). "Лагранжева формулировка формулы Джооса – Вайнберга 2 (2j+1) –теория и ее связь с кососимметричным тензорным описанием ». Международный журнал геометрических методов в современной физике. 13 (4): 1650036. arXiv:hep-th / 9305141. Bibcode:2016IJGMM..1350036D. Дои:10.1142 / S0219887816500365.