Элемент Казимира - Casimir element

В математика, а Элемент Казимира (также известный как Инвариант Казимира или же Оператор Казимира) является выделенным элементом центр из универсальная обертывающая алгебра из Алгебра Ли. Типичным примером является квадрат оператор углового момента, который является элементом Казимира трехмерной группа ротации.

Элемент Казимира назван в честь Хендрик Казимир, который идентифицировал их в своем описании динамика твердого тела в 1931 г.^[1]

Определение

Наиболее часто используемый инвариант Казимира - квадратичный инвариант. Это самый простой способ определения, поэтому он дается первым. Однако могут быть и инварианты Казимира более высокого порядка, которые соответствуют однородным симметричным полиномам более высокого порядка; их определение дается в последнюю очередь.

Квадратичный элемент Казимира

Предположим, что ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является ${\displaystyle n}$-размерный полупростая алгебра Ли. Позволять B быть невырожденным билинейная форма на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ инвариантный относительно сопряженное действие из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ на себя, что означает, что ${\displaystyle B(\operatorname {ad} _{X}Y,Z)+B(Y,\operatorname {ad} _{X}Z)=0}$ для всех X, Y, Z в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. (Наиболее типичный выбор B это Форма убийства.)Позволять

${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n}}$

быть любым основа из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, и

${\displaystyle \{X^{i}\}_{i=1}^{n}}$

быть двойным основанием ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ относительно B. В Элемент Казимира ${\displaystyle \Omega }$ за B является элементом универсальной обертывающей алгебры ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ задается формулой

${\displaystyle \Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.}$

Хотя определение опирается на выбор базиса алгебры Ли, легко показать, что Ω не зависит от этого выбора. С другой стороны, Ω зависит от билинейной формы B. Инвариантность B следует, что элемент Казимира коммутирует со всеми элементами алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, а значит, лежит в центр универсальной обертывающей алгебры ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$.^[2]

Инвариант Казимира линейного представления и гладкого действия

Учитывая представление ρ из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ на векторном пространстве V, возможно, бесконечномерном, Инвариант Казимира оператора ρ определяется как ρ (Ω), линейный оператор на V, задаваемый формулой

${\displaystyle \rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).}$

Здесь мы предполагаем, что B форма убийства, иначе B необходимо указать.

Конкретный вид этой конструкции играет важную роль в дифференциальной геометрии и глобальном анализе. Предположим, что связная группа Ли G с алгеброй Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ действует на дифференцируемом многообразии M. Рассмотрим соответствующее представление ρ оператора грамм на пространстве гладких функций на M. Тогда элементы из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ представлены дифференциальными операторами первого порядка на M. В этой ситуации инвариант Казимира для ρ является G-инвариантным дифференциальным оператором второго порядка на M определяется по приведенной выше формуле.

Специализируясь далее, если случится так, что M имеет Риманова метрика на котором грамм действует транзитивно изометриями, а стабилизирующая подгруппа грамм_Икс точки действует неприводимо на касательном пространстве к M в Икс, то инвариант Казимира для ρ является скалярным кратным Оператор лапласа исходя из метрики.

Также могут быть определены более общие инварианты Казимира, обычно встречающиеся при изучении псевдодифференциальные операторы в Теория Фредгольма.

Общий случай

Статья о универсальные обертывающие алгебры дает подробное и точное определение операторов Казимира и описывает некоторые из их свойств. В частности, все операторы Казимира соответствуют симметричным однородные многочлены в симметрическая алгебра из присоединенное представительство ${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}.}$ То есть в общем случае любой оператор Казимира будет иметь вид

${\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}X_{i}\otimes X_{j}\otimes \cdots \otimes X_{k}}$

куда м порядок симметричного тензора ${\displaystyle \kappa ^{ij\cdots k}}$ и ${\displaystyle X_{i}}$ сформировать базис векторного пространства из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$ Это соответствует симметричному однородному многочлену

${\displaystyle c_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}t_{i}t_{j}\cdots t_{k}}$

в м неопределенные переменные ${\displaystyle t_{i}}$ в полиномиальная алгебра ${\displaystyle K[t_{i},t_{j},\cdots ,t_{k}]}$ над полем K. Причина симметрии следует из Теорема PBW и более подробно обсуждается в статье о универсальные обертывающие алгебры.

Не просто симметричный тензор (симметричный однородный многочлен) подойдет; он должен явно коммутировать со скобкой Ли. То есть один должен есть это

${\displaystyle [C_{(m)},X_{i}]=0}$

для всех базовых элементов ${\displaystyle X_{i}.}$ Любой предложенный симметричный многочлен можно явно проверить, используя структурные константы

${\displaystyle [X_{i},X_{j}]=f_{ij}^{\;\;k}X_{k}}$

чтобы получить

${\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{ij}^{\;\;l}\kappa ^{kj\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{\;\;m}\kappa ^{kl\cdots j}=0}$

Этот результат изначально связан с Израиль Гельфанд.^[3] Из соотношения коммутации следует, что операторы Казимира лежат в центре универсальной обертывающей алгебры и, в частности, всегда коммутируют с любым элементом алгебры Ли. Это связано с этим свойством коммутации, которое позволяет представление алгебры Ли быть помеченными собственными значениями ассоциированных операторов Казимира.

Любая линейная комбинация симметричных многочленов, описанных выше, также будет лежать в центре: следовательно, операторы Казимира, по определению, ограничены тем подмножеством, которое охватывает это пространство (которое обеспечивает основу для этого пространства). Для полупростая алгебра Ли ранга р, будут р Инварианты Казимира.

Характеристики

Уникальность

Поскольку для простой алгебры Ли каждая инвариантная билинейная форма кратна Форма убийства, соответствующий элемент Казимира определен однозначно с точностью до константы. Для общей полупростой алгебры Ли пространство инвариантных билинейных форм имеет один базисный вектор для каждой простой компоненты, и, следовательно, то же самое верно и для пространства соответствующих операторов Казимира.

Связь с лапласианом на G

Если ${\displaystyle G}$ группа Ли с алгеброй Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, выбор инвариантной билинейной формы на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ соответствует выбору биинвариантных Риманова метрика на ${\displaystyle G}$. Тогда под отождествлением универсальная обертывающая алгебра из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ с левоинвариантными дифференциальными операторами на ${\displaystyle G}$, элемент Казимира билинейной формы на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ карты в Лапласиан из ${\displaystyle G}$ (относительно соответствующей биинвариантной метрики).

Обобщения

Оператор Казимира является выделенным квадратичным элементом центр из универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли. Другими словами, это член алгебры всех дифференциальных операторов, коммутирующий со всеми образующими в алгебре Ли. Фактически все квадратичные элементы в центре универсальной обертывающей алгебры возникают таким образом, однако центр может содержать другие, неквадратичные элементы.

К Racah теорема,^[4] для полупростая алгебра Ли размерность центра универсальной обертывающей алгебры равна ее классифицировать. Оператор Казимира дает понятие Лапласиан на общем полупростая группа Ли; но этот способ подсчета показывает, что может не быть единственного аналога лапласиана для ранга> 1.

По определению любой член центра универсальной обертывающей алгебры коммутирует со всеми остальными элементами алгебры. К Лемма Шура, в любом неприводимое представление алгебры Ли, оператор Казимира, таким образом, пропорционален единице. Эту константу пропорциональности можно использовать для классификации представлений алгебры Ли (а следовательно, и ее представлений). Группа Ли ). Физическая масса и спин являются примерами этих констант, как и многие другие квантовые числа нашел в квантовая механика. На первый взгляд топологические квантовые числа составляют исключение из этого шаблона; хотя более глубокие теории намекают, что это две стороны одного и того же явления.^{[согласно кому? ]}.

Пример: ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ является алгеброй Ли ТАК (3), группа вращения для трехмерного Евклидово пространство. Он простой ранга 1, поэтому в нем есть единственный независимый Казимир. Форма убийства для ротационной группы - это просто Дельта Кронекера, поэтому инвариант Казимира - это просто сумма квадратов образующих ${\displaystyle L_{x},\,L_{y},\,L_{z}}$ алгебры. То есть инвариант Казимира задается формулой

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.}$

Рассмотрим неприводимое представление ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ в котором наибольшее собственное значение ${\displaystyle L_{z}}$ является ${\displaystyle \ell }$, где возможные значения ${\displaystyle \ell }$ находятся ${\displaystyle 0,1/2,1,3/2,\ldots }$. Инвариантность оператора Казимира означает, что он кратен тождественному оператору ${\displaystyle I}$. Эту константу можно вычислить явно, получив следующий результат^[5]

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)I.}$

В квантовая механика, скалярное значение ${\displaystyle \ell }$ называется полный угловой момент. Для конечномерных матричнозначных представления группы вращения, ${\displaystyle \ell }$ всегда принимает целые значения (для бозонные представления ) или полуцелые значения (для фермионные представления ).

Для данного значения ${\displaystyle \ell }$, матричное представление ${\displaystyle (2\ell +1)}$-размерный. Так, например, трехмерное представление для ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ соответствует ${\displaystyle \ell \,=\,1}$, и задается генераторами

${\displaystyle L_{x}=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}};\quad L_{y}=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}};\quad L_{z}=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},}$

где факторы ${\displaystyle i}$ необходимы для согласия с используемым здесь физическим соглашением о том, что генераторы должны быть самосопряженными операторами.

Тогда квадратичный инвариант Казимира можно легко вычислить вручную, в результате чего

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

в качестве ${\displaystyle \ell (\ell +1)\,=\,2}$ когда ${\displaystyle \ell \,=\,1}$. Точно так же двумерное представление имеет основу, заданную Матрицы Паули, которые соответствуют вращение 1/2, и можно снова проверить формулу Казимира прямым вычислением.

Собственные значения

При условии ${\displaystyle \Omega }$ является центральным в обертывающей алгебре, на простые модули действует скаляром. Позволять ${\displaystyle \langle ,\rangle }$ - любая билинейная симметрическая невырожденная форма, с помощью которой мы определяем ${\displaystyle \Omega }$. Позволять ${\displaystyle L(\lambda )}$ - конечномерный модуль старшего веса веса ${\displaystyle \lambda }$. Тогда элемент Казимира ${\displaystyle \Omega }$ действует на ${\displaystyle L(\lambda )}$ постоянным

${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle =\langle \lambda +\rho ,\lambda +\rho \rangle -\langle \rho ,\rho \rangle ,}$

куда ${\displaystyle \rho }$ - вес, определяемый половиной суммы положительных корней.^[6]

Важным моментом является то, что если ${\displaystyle L(\lambda )}$ нетривиально (т.е. если ${\displaystyle \lambda \neq 0}$), то указанная выше постоянная отлична от нуля. В конце концов, поскольку ${\displaystyle \lambda }$ доминирует, если ${\displaystyle \lambda \neq 0}$, тогда ${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda \rangle >0}$ и ${\displaystyle \langle \lambda ,\rho \rangle \geq 0}$, показывая, что ${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle >0}$. Это наблюдение играет важную роль в доказательстве Теорема Вейля о полной сводимости. Также возможно доказать ненулевое значение собственного значения более абстрактным способом - без использования явной формулы для собственного значения - с использованием критерия Картана; см. разделы 4.3 и 6.2 книги Хамфриса.

Смотрите также

• Изоморфизм Хариш-Чандры
• Псевдовектор Паули – Любанского

Рекомендации

1. Оливер, Дэвид (2004). Лохматый конь физики: математическая красота в физическом мире. Springer. п.81. ISBN  978-0-387-40307-6.
2. Зал 2015 Предложение 10.5
3. Ксавье Бекарт "Универсальные обертывающие алгебры и некоторые приложения в физике " (2005) Лекция, Летняя школа по математической физике в Модаве.
4. Рака, Джулио (1965). Теория групп и спектроскопия. Springer Berlin Heidelberg.
5. Зал 2013 Предложение 17.8
6. Зал 2015 Предложение 10.6.

• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Спрингер, ISBN  9781461471165
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3319134666

дальнейшее чтение

• Хамфрис, Джеймс Э. (1978). Введение в алгебры Ли и теорию представлений. Тексты для выпускников по математике. 9 (Издание второе, ред. Ред.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90053-5.
• Джейкобсон, Натан (1979). Алгебры Ли. Dover Publications. стр.243 –249. ISBN  0-486-63832-4.
• https://mathoverflow.net/questions/74689/motivating-the-casimir-element