Теорема Вейльса о полной сводимости - Weyls theorem on complete reducibility

В алгебре Теорема Вейля о полной сводимости является фундаментальным результатом теории Представления алгебры Ли (особенно в теория представлений полупростых алгебр Ли ). Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ - полупростая алгебра Ли над полем нулевой характеристики. Теорема утверждает, что всякий конечномерный модуль над ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является полупростой как модуль (т.е. прямая сумма простых модулей).^[1]

Обертывающая алгебра полупроста

Из теоремы Вейля следует (фактически эквивалентно), что охватывающая алгебра конечномерного представления это полупростое кольцо следующим образом.

Для конечномерного представления алгебры Ли ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$, позволять ${\displaystyle A\subset \operatorname {End} (V)}$ - ассоциативная подалгебра алгебры эндоморфизмов V создано ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$. Кольцо А называется обертывающей алгеброй ${\displaystyle \pi }$. Если ${\displaystyle \pi }$ полупросто, то А полупростой.^[2] (Доказательство: поскольку А - конечномерная алгебра, это артиново кольцо; в частности, радикал Джекобсона J нильпотентен. Если V просто, то ${\displaystyle JV\subset V}$ подразумевает, что ${\displaystyle JV=0}$. В целом, J убивает каждый простой подмодуль V; особенно, J убивает V и так J равен нулю.) Наоборот, если А полупросто, то V полупростой А-модуль; т.е. полупростой как ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модуль. (Обратите внимание, что модуль над полупростым кольцом является полупростым, поскольку модуль является фактором свободного модуля, а «полупростой» сохраняется при построении свободной и факторной конструкции.)

Приложение: сохранение разложения Жордана.

Вот типичное приложение.^[3]

Предложение — Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ - полупростая конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики.^[4]

1. Существует единственная пара элементов ${\displaystyle x_{s},x_{n}}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ такой, что ${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$, ${\displaystyle \operatorname {ad} (x_{s})}$ полупростой, ${\displaystyle \operatorname {ad} (x_{n})}$ нильпотентен и ${\displaystyle [x_{s},x_{n}]=0}$.
2. Если ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ конечномерное представление, то ${\displaystyle \pi (x)_{s}=\pi (x_{s})}$ и ${\displaystyle \pi (x)_{n}=\pi (x_{n})}$, куда ${\displaystyle \pi (x)_{s},\pi (x)_{n}}$ обозначают разложение Жордана полупростой и нильпотентной частей эндоморфизма ${\displaystyle \pi (x)}$.

Короче говоря, полупростая и нильпотентная части элемента ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ определены корректно и определяются независимо от точного конечномерного представления.

Доказательство: Сначала мы докажем частный случай (i) и (ii), когда ${\displaystyle \pi }$ это включение; т.е. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является подалгеброй ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {gl}}(V)}$. Позволять ${\displaystyle x=S+N}$ - разложение Жордана эндоморфизма ${\displaystyle x}$, куда ${\displaystyle S,N}$ являются полупростыми и нильпотентными эндоморфизмами в ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$. Сейчас же, ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(x)}$ также имеет разложение Жордана, которое можно показать (см. Разложение Жордана – Шевалле # Алгебры Ли ) для соблюдения указанного выше разложения Жордана; т.е. ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(S),\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(N)}$ полупростая и нильпотентная части ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(x)}$. С ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(S),\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(N)}$ являются многочленами от ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(x)}$ тогда мы видим ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(S),\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(N):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$. Таким образом, они являются производными от ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. С ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ полупросто, можно найти элементы ${\displaystyle s,n}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ такой, что ${\displaystyle [y,S]=[y,s],y\in {\mathfrak {g}}}$ и аналогично для ${\displaystyle n}$. Теперь позвольте А быть обертывающей алгеброй ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$; т.е. подалгебра алгебры эндоморфизмов V создано ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Как указано выше, А имеет нулевой радикал Джекобсона. С ${\displaystyle [y,N-n]=0}$, Мы видим, что ${\displaystyle N-n}$ является нильпотентным элементом в центре А. Но, как правило, центральный нильпотент принадлежит радикалу Джекобсона; следовательно, ${\displaystyle N=n}$ и, следовательно, также ${\displaystyle S=s}$. Это доказывает частный случай.

В целом, ${\displaystyle \pi (x)}$ полупрост (соответственно нильпотентен), когда ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$ полупроста (соответственно нильпотентна).^{[требуется разъяснение ]} Это сразу дает (i) и (ii). ${\displaystyle \square }$

Доказательства

Аналитическое доказательство

Первоначальное доказательство Вейля (для комплексных полупростых алгебр Ли) было аналитическим по своей природе: в нем широко использовалась унитарный трюк. В частности, можно показать, что всякая комплексная полупростая алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является комплексификацией алгебры Ли односвязной компактной группы Ли ${\displaystyle K}$.^[5] (Если, например, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {sl} (n;\mathbb {C} )}$, тогда ${\displaystyle K=\mathrm {SU} (n)}$.) Учитывая представление ${\displaystyle \pi }$ из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ в векторном пространстве ${\displaystyle V,}$ можно сначала ограничить ${\displaystyle \pi }$ к алгебре Ли ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ из ${\displaystyle K}$. Потом, поскольку ${\displaystyle K}$ просто связано,^[6] есть ассоциированное представление ${\displaystyle \Pi }$ из ${\displaystyle K}$. Интеграция закончилась ${\displaystyle K}$ производит внутренний продукт на ${\displaystyle V}$ для которого ${\displaystyle \Pi }$ унитарен.^[7] Полная сводимость ${\displaystyle \Pi }$ тогда непосредственные и элементарные аргументы показывают, что исходное представление ${\displaystyle \pi }$ из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ также полностью приводимо.

Алгебраическое доказательство 1

Позволять ${\displaystyle (\pi ,V)}$ - конечномерное представление алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ над полем характеристики нуль. Теорема является простым следствием Лемма Уайтхеда, что говорит ${\displaystyle V\to \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}},V),v\mapsto \cdot v}$ сюръективно, где линейное отображение ${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to V}$ это происхождение если ${\displaystyle f([x,y])=x\cdot f(y)-y\cdot f(x)}$. Доказательство в основном принадлежит Уайтхеду.^[8]

Позволять ${\displaystyle W\subset V}$ быть субпредставлением. Рассмотрим векторное подпространство ${\displaystyle L_{W}\subset \operatorname {End} (V)}$ который состоит из всех линейных отображений ${\displaystyle t:V\to V}$ такой, что ${\displaystyle t(V)\subset W}$ и ${\displaystyle t(W)=0}$. Он имеет структуру ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модуль предоставил: для ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},t\in L_{W}}$,

${\displaystyle x\cdot t=[\pi (x),t]}$.

Теперь выберите проекцию ${\displaystyle p:V\to V}$ на W и рассмотреть ${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to L_{W}}$ данный ${\displaystyle f(x)=[p,\pi (x)]}$. С ${\displaystyle f}$ является выводом, по лемме Уайтхеда можно записать ${\displaystyle f(x)=x\cdot t}$ для некоторых ${\displaystyle t\in L_{W}}$. Тогда у нас есть ${\displaystyle [\pi (x),p+t]=0,x\in {\mathfrak {g}}}$; то есть ${\displaystyle p+t}$ является ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-линейный. Также, как т убивает ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle p+t}$ идемпотент такой, что ${\displaystyle (p+t)(V)=W}$. Ядро ${\displaystyle p+t}$ тогда является дополнительным представлением к ${\displaystyle W}$. ${\displaystyle \square }$

Также Weibel's гомологическая алгебра книга.

Алгебраическое доказательство 2

Лемма Уайтхеда обычно доказывается с помощью квадратичный элемент Казимира из универсальная обертывающая алгебра,^[9] и есть также доказательство теоремы, которое использует элемент Казимира непосредственно вместо леммы Уайтхеда.

Поскольку квадратичный элемент Казимира ${\displaystyle C}$ находится в центре универсальной обертывающей алгебры, Лемма Шура говорит нам, что ${\displaystyle C}$ действует как несколько ${\displaystyle c_{\lambda }}$ тождества в неприводимом представлении ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ с наибольшим весом ${\displaystyle \lambda }$. Ключевой момент - установить, что ${\displaystyle c_{\lambda }}$ является ненулевой всякий раз, когда представление нетривиально. Это можно сделать с помощью общих аргументов ^[10] или явная формула за ${\displaystyle c_{\lambda }}$.

Рассмотрим очень частный случай теоремы о полной сводимости: случай, когда представление ${\displaystyle V}$ содержит нетривиальное, неприводимое, инвариантное подпространство ${\displaystyle W}$ коразмерности один. Позволять ${\displaystyle C_{V}}$ обозначают действие ${\displaystyle C}$ на ${\displaystyle V}$. С ${\displaystyle V}$ не является неприводимым, ${\displaystyle C_{V}}$ не обязательно кратно идентичности, но это самопереплетающийся оператор для ${\displaystyle V}$. Тогда ограничение ${\displaystyle C_{V}}$ к ${\displaystyle W}$ ненулевое кратное единице. Но поскольку частное ${\displaystyle V/W}$ является одномерным и, следовательно, тривиальным представлением ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, действие ${\displaystyle C}$ о факторе тривиально. Отсюда легко следует, что ${\displaystyle C_{V}}$ должно иметь ненулевое ядро ​​- и ядро ​​является инвариантным подпространством, поскольку ${\displaystyle C_{V}}$ самопереплетающийся. Тогда ядро ​​представляет собой одномерное инвариантное подпространство, пересечение которого с ${\displaystyle W}$ равно нулю. Таким образом, ${\displaystyle \mathrm {ker} (V_{C})}$ является инвариантным дополнением к ${\displaystyle W}$, так что ${\displaystyle V}$ распадается как прямая сумма неприводимых подпространств:

${\displaystyle V=W\oplus \mathrm {ker} (C_{V})}$.

Хотя это устанавливает только очень частный случай желаемого результата, этот шаг на самом деле является решающим в общих рассуждениях.

Алгебраическое доказательство 3

Теорема может быть выведена из теории Модули Verma, которая характеризует простой модуль как частное от модуля Верма по максимальный подмодуль.^[11] Этот подход имеет то преимущество, что его можно использовать для ослабления предположений о конечномерности (по алгебре и представлению).

Позволять ${\displaystyle V}$ - конечномерное представление конечномерной полупростой алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}_{+}\subset {\mathfrak {g}}}$ быть Подалгебра Бореля определяется выбором подалгебры Картана и положительных корней. Позволять ${\displaystyle V^{0}=\{v\in V|{\mathfrak {n}}_{+}(v)=0\}}$. потом ${\displaystyle V^{0}}$ является ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$-модуль и, следовательно, имеет ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$разложение по весу:

${\displaystyle V^{0}=\bigoplus _{\lambda \in L}V_{\lambda }^{0}}$

куда ${\displaystyle L\subset {\mathfrak {h}}^{*}}$. Для каждого ${\displaystyle \lambda \in L}$, выбирать ${\displaystyle 0\neq v_{\lambda }\in V_{\lambda }}$ и ${\displaystyle V^{\lambda }\subset V}$ то ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-подмодуль, созданный ${\displaystyle v_{\lambda }}$ и ${\displaystyle V'\subset V}$ то ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-подмодуль, созданный ${\displaystyle V^{0}}$. Мы заявляем: ${\displaystyle V=V'}$. Предполагать ${\displaystyle V\neq V'}$. К Теорема Ли, существует ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$-весовой вектор в ${\displaystyle V/V'}$; таким образом, мы можем найти ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$-вес вектор ${\displaystyle v}$ такой, что ${\displaystyle 0\neq e_{i}(v)\in V'}$ для некоторых ${\displaystyle e_{i}}$ среди Генераторы Chevalley. Сейчас же, ${\displaystyle e_{i}(v)}$ имеет вес ${\displaystyle \mu +\alpha _{i}}$. С ${\displaystyle L}$ частично заказан, есть ${\displaystyle \lambda \in L}$ такой, что ${\displaystyle \lambda \geq \mu +\alpha _{i}}$; т.е. ${\displaystyle \lambda >\mu }$. Но это противоречие, поскольку ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ оба примитивных веса (известно, что примитивные веса несравнимы.^{[требуется разъяснение ]}). Точно так же каждый ${\displaystyle V^{\lambda }}$ просто как ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модуль. Действительно, если это не просто, то для некоторых ${\displaystyle \mu <\lambda }$, ${\displaystyle V_{\mu }^{0}}$ содержит некоторый ненулевой вектор, не являющийся вектором старшего веса; снова противоречие.^{[требуется разъяснение ]} ${\displaystyle \square }$

внешняя ссылка

• А Сообщение блога от Ахил Мэтью

Рекомендации

1. Зал 2015 Теорема 10.9.
2. Якобсон 1962, Гл. II, § 5, теорема 10. Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFJacobson1962 (помощь)
3. Якобсон 1962, Гл. III, § 11, теорема 17. Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFJacobson1962 (помощь)
4. От редакции: этот факт обычно констатируют для поля нулевой характеристики, но для доказательства нужно только, чтобы базовое поле было совершенным.
5. Кнапп 2002 Теорема 6.11.
6. Зал 2015 Теорема 5.10.
7. Зал 2015 Теорема 4.28.
8. Якобсон 1961, Гл. III, § 7. Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFJacobson1961 (помощь)
9. Зал 2015 Раздел 10.3
10. Хамфрис 1973 Раздел 6.2
11. Кац 1990, Лемма 9.5.

• Холл, Брайан К. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение. Тексты для выпускников по математике. 222 (2-е изд.). Springer. ISBN  978-3319134666.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1973). Введение в алгебры Ли и теорию представлений. Тексты для выпускников по математике. 9 (Издание второе, ред. Ред.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90053-5.
• Джейкобсон, Натан, Алгебры Ли, Переиздание оригинала 1962 года. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1979. ISBN  0-486-63832-4
• Кац Виктор (1990). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-46693-8.
• Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли после введения, Успехи в математике, 140 (2-е изд.), Бостон: Birkhäuser, ISBN  0-8176-4259-5
• Вейбель, Чарльз А. (1995). Введение в гомологическую алгебру. Издательство Кембриджского университета.