Полупростое представление - Semisimple representation

В математике, особенно в теория представлений, а полупростое представление (также называемый полностью приводимое представление) это линейное представление из группа или алгебра это прямая сумма простые представления (также называемый неприводимые представления ).^[1] Это пример общего математического понятия полупростота.

Многие представления, которые появляются в приложениях теории представлений, являются полупростыми или могут быть аппроксимированы полупростыми представлениями. А полупростой модуль над алгеброй над полем является примером полупростого представления. Наоборот, полупростое представление группы грамм над полем k является полупростой модуль над групповое кольцо k[грамм].

Эквивалентные характеристики

Позволять V быть представлением группы грамм; или, в более общем смысле, пусть V быть векторное пространство с действующим на нем множеством линейных эндоморфизмов. В общем, векторное пространство, на которое действует набор линейных эндоморфизмы как говорят просто (или неприводимым), если единственные инвариантные подпространства для этих операторов равны нулю и само векторное пространство; тогда полупростое представление является прямой суммой простых представлений в этом смысле.^[1]

Следующие варианты эквивалентны:^[2]

1. V полупросто как представление.
2. V это сумма простых субпредставления.
3. Каждое подпредставление W из V признает дополнительное представление: субпредставительство W' такой, что ${\displaystyle V=W\oplus W'}$.

Эквивалентность приведенных выше условий можно показать на основе следующей леммы, представляющей самостоятельный интерес:

Лемма^[3] — Позволять п:V → W быть сюръективным эквивариантное отображение между представлениями. Если V полупросто, то п раскол; т.е. допускает раздел.

Доказательство леммы —

Написать ${\displaystyle V=\bigoplus _{i}V_{i}}$ куда ${\displaystyle V_{i}}$ простые представления. Без ограничения общности можно предположить ${\displaystyle V_{i}}$ являются субпредставлениями; т.е. можно считать, что прямая сумма внутренняя. По простоте либо ${\displaystyle V_{i}\subset \operatorname {ker} (p)}$ или же ${\displaystyle \operatorname {ker} (p)\cap V_{i}=0}$. Таким образом, ${\displaystyle V=\operatorname {ker} (p)\bigoplus \left(\bigoplus _{i\in I'}V_{i}\right)}$ куда ${\displaystyle I'}$ такова, что для каждого ${\displaystyle i\in I'}$, ${\displaystyle V_{i}\cap \operatorname {ker} (p)=0}$. потом ${\displaystyle W\simeq \bigoplus _{i\in I'}V_{i}\to V}$ это раздел п.${\displaystyle \square }$

Доказательство эквивалентности^[4] —

${\displaystyle 1.\Rightarrow 3.}$: Брать п быть естественным сюрпризом ${\displaystyle V\to V/W}$. С V полупростой, п разделяется и, таким образом, через раздел, ${\displaystyle V/W}$ изоморфна подрепретации, которая дополняет W.

${\displaystyle 3.\Rightarrow 2.}$: Сначала заметим, что каждое ненулевое подпредставление W имеет простое подпредставление. Усадка W до (ненулевого) циклическое подпредставление мы можем предположить, что он конечно порожден. Тогда у него есть максимальное подпредставление U. По условию 3., ${\displaystyle V=U\oplus U'}$ для некоторых ${\displaystyle U'}$. По модульному закону это означает ${\displaystyle W=U\oplus (W\cap U')}$. потом ${\displaystyle (W\cap U')\simeq W/U}$ является простым представлением W («простой» из-за максимальности). Это подтверждает наблюдение. Теперь возьми ${\displaystyle W}$ быть суммой всех простых подпредставлений, которая, согласно 3., допускает дополнительное представление ${\displaystyle W'}$. Если ${\displaystyle W'\neq 0}$, то по раннему наблюдению ${\displaystyle W'}$ содержит простое подпредставление и поэтому ${\displaystyle W\cap W'\neq 0}$ерунда. Следовательно, ${\displaystyle W'=0}$.

${\displaystyle 2.\Rightarrow 1.}$:^[5] Подразумевается, что это прямое обобщение основного факта линейной алгебры, что базис может быть извлечен из остовного множества векторного пространства. Это утверждение, которое мы можем показать: когда ${\displaystyle V=\sum _{i\in I}V_{i}}$ представляет собой сумму простых подпредставлений, полупростое разложение ${\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I'}V_{i}}$, некоторое подмножество ${\displaystyle I'\subset I}$, можно извлечь из суммы. Рассмотрим семейство всех возможных прямых сумм ${\displaystyle \bigoplus _{i\in J}V_{i}\subset V}$ с различными подмножествами ${\displaystyle J\subset I}$. Сделайте частичное упорядочивание, указав прямую сумму на K меньше прямой суммы более J если ${\displaystyle K\subset J}$. Лемма Цорна явно относится к этому и дает нам максимальную прямую сумму W. Теперь для каждого я в я, по простоте, либо ${\displaystyle V_{i}\subset W}$ или же ${\displaystyle V_{i}\cap W=0}$. Во втором случае прямая сумма ${\displaystyle W\oplus V_{i}}$ противоречит максимальности W. Следовательно, ${\displaystyle V_{i}\subset W}$. ${\displaystyle \square }$

Примеры и не примеры

Унитарные представления

Конечномерный унитарное представительство (т.е. факторинг представления через унитарная группа ) является основным примером полупростого представления. Такое представление полупростое, поскольку если W является подпредставлением, то ортогональное дополнение к W является дополнительным представлением^[6] потому что, если ${\displaystyle v\in W^{\bot }}$ и ${\displaystyle g\in G}$, тогда ${\displaystyle \langle \pi (g)v,w\rangle =\langle v,\pi (g^{-1})w\rangle =0}$ для любого ш в W поскольку W является грамм-инвариантный, и поэтому ${\displaystyle \pi (g)v\in W^{\bot }}$.

Например, для непрерывного конечномерного комплексного представления ${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$ конечной группы или компактной группы грамм, аргументом усреднения можно определить внутренний продукт ${\displaystyle \langle ,\rangle }$ на V то есть грамм-инвариантный: т.е. ${\displaystyle \langle \pi (g)v,\pi (g)w\rangle =\langle v,w\rangle }$, то есть ${\displaystyle \pi (g)}$ является унитарным оператором, поэтому ${\displaystyle \pi }$ является унитарным представлением.^[6] Следовательно, любое конечномерное непрерывное комплексное представление грамм полупростой.^[7] Для конечной группы это частный случай Теорема Машке, что говорит о конечномерном представлении конечной группы грамм над полем k с характеристика не разделяя порядок грамм полупростой.^[8][9]

Представления полупростых алгебр Ли

К Теорема Вейля о полной сводимости, всякое конечномерное представление полупростая алгебра Ли над полем нулевой характеристики полупрост.^[10]

Сепарабельные минимальные многочлены

Учитывая линейный эндоморфизм Т векторного пространства V, V полупросто как представление Т (т.е. Т это полупростой оператор ) тогда и только тогда, когда минимальный многочлен Т отделима; т.е. произведение различных неприводимых многочленов.^[11]

Ассоциированное полупростое представление

Для конечномерного представления V, то Теорема Жордана – Гёльдера говорит, что есть фильтрация по подпредставлениям: ${\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0}$ так что каждое последующее частное ${\displaystyle V_{i}/V_{i+1}}$ это простое представление. Тогда соответствующее векторное пространство ${\displaystyle \operatorname {gr} V:=\bigoplus _{i=0}^{n-1}V_{i}/V_{i+1}}$ полупростое представление, называемое ассоциированное полупростое представление, который с точностью до изоморфизма однозначно определяется V.^[12]

Унипотентная группа, не являющаяся примером

Представление унипотентная группа вообще не полупростой. Брать ${\displaystyle G}$ быть группой, состоящей из вещественных матриц ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a\\&1\end{bmatrix}}}$; он действует на ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$ естественным образом и делает V представление грамм. Если W является субпредставлением V имеющий размерность 1, то простой расчет показывает, что он должен быть охвачен вектором ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$. То есть их ровно три грамм-представительства V; особенно, V не является полупростым (поскольку единственное одномерное подпредставление не допускает дополнительного представления).^[13]

Полупростая декомпозиция и кратность

Смотрите также: Декомпозиция модуля

Разложение полупростого представления на простые, называемое полупростым разложением, не обязательно должно быть уникальным; например, для тривиального представления простые представления - это одномерные векторные пространства, и, таким образом, полупростая декомпозиция сводится к выбору базиса векторного пространства представления.^[14] В изотипическое разложение, с другой стороны, является примером уникального разложения.^[15]

Однако для конечномерного полупростого представления V над алгебраически замкнутым полем число простых представлений с точностью до изоморфизмов, появляющихся в разложении V (1) единственны и (2) полностью определяют представление с точностью до изоморфизмов;^[16] это следствие Лемма Шура следующим образом. Предположим, что конечномерное полупростое представление V над алгебраически замкнутым полем: по определению это прямая сумма простых представлений. Группируя вместе простые представления в разложении, которые изоморфны друг другу, с точностью до изоморфизма, можно найти разложение (не обязательно уникальное):^[16]

${\displaystyle V\simeq \bigoplus _{i}V_{i}^{\oplus m_{i}}}$

куда ${\displaystyle V_{i}}$ являются простыми представлениями, взаимно неизоморфными друг другу, и ${\displaystyle m_{i}}$ положительные целые числа. По лемме Шура

${\displaystyle m_{i}=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V_{i},V)=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V,V_{i})}$,

куда ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}}$ относится к эквивариантные линейные отображения. Кроме того, каждый ${\displaystyle m_{i}}$ не меняется, если ${\displaystyle V_{i}}$ заменяется другим простым представлением, изоморфным ${\displaystyle V_{i}}$. Таким образом, целые числа ${\displaystyle m_{i}}$ не зависят от выбранных разложений; они множественность простых представлений ${\displaystyle V_{i}}$, с точностью до изоморфизмов, в V.^[17]

В общем случае, учитывая конечномерное представление ${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$ группы грамм над полем k, сочинение ${\displaystyle \chi _{V}:G{\overset {\pi }{\to }}GL(V){\overset {\text{tr}}{\to }}k}$ называется персонаж из ${\displaystyle (\pi ,V)}$.^[18] Когда ${\displaystyle (\pi ,V)}$ полупрост с разложением ${\displaystyle V\simeq \bigoplus _{i}V_{i}^{\oplus m_{i}}}$ как и выше, след ${\displaystyle \operatorname {tr} (\pi (g))}$ это сумма следов ${\displaystyle \pi (g):V_{i}\to V_{i}}$ с кратностями и, следовательно, как функции на грамм,

${\displaystyle \chi _{V}=\sum _{i}m_{i}\chi _{V_{i}}}$

куда ${\displaystyle \chi _{V_{i}}}$ персонажи ${\displaystyle V_{i}}$. Когда грамм является конечной группой или, в более общем смысле, компактной группой и ${\displaystyle V}$ является унитарным представлением со скалярным продуктом, заданным аргументом усреднения, Соотношения ортогональности Шура сказать:^[19] неприводимые характеры (характеры простых представлений) грамм являются ортонормированным подмножеством пространства комплекснозначных функций на грамм и поэтому ${\displaystyle m_{i}=\langle \chi _{V},\chi _{V_{i}}\rangle }$.

Изотипическое разложение

Существует уникальное разложение полупростого представления, которое называется то изотипическая декомпозиция представления. По определению, учитывая простое представление S, то изотипический компонент типа S представительства V это сумма всех подпредставлений V которые изоморфны S;^[15] обратите внимание, что компонент также изоморфен прямой сумме некоторого выбора подпредставлений, изоморфных S (так что компонент уникален, а слагаемые не нужны).

Тогда изотипическое разложение полупростого представления V - (единственное) разложение в прямую сумму:^[15][20]

${\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\widehat {G}}}V^{\lambda }}$

куда ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ - множество классов изоморфизма простых представлений V и ${\displaystyle V^{\lambda }}$ изотипический компонент V типа S для некоторых ${\displaystyle S\in \lambda }$.

Пример

Позволять ${\displaystyle V}$ - пространство однородных полиномов третьей степени над комплексными числами от переменных ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$. потом ${\displaystyle S_{3}}$ действует на ${\displaystyle V}$ перестановкой трех переменных. Это конечномерное комплексное представление конечной группы, а значит, и полупростое. Следовательно, это 10-мерное представление можно разбить на три изотипических компонента, каждая из которых соответствует одному из трех неприводимых представлений ${\displaystyle S_{3}}$. Особенно, ${\displaystyle V}$ содержит три копии тривиального представления, одну копию знакового представления и три копии двумерного неприводимого представления ${\displaystyle W}$ из ${\displaystyle S_{3}}$. Например, размах ${\displaystyle x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x_{3}}$ и ${\displaystyle x_{2}^{2}x_{3}-x_{3}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}-x_{3}^{2}x_{1}}$ изоморфен ${\displaystyle W}$. В этом легче убедиться, записав это двумерное подпространство как

${\displaystyle W_{1}=\{a(x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}^{2}x_{3})+b(x_{2}^{2}x_{1}+x_{2}^{2}x_{3})+c(x_{3}^{2}x_{1}+x_{3}^{2}x_{2})|a+b+c=0\}}$.

Еще одна копия ${\displaystyle W}$ можно записать в аналогичной форме:

${\displaystyle W_{2}=\{a(x_{2}^{2}x_{1}+x_{3}^{2}x_{1})+b(x_{1}^{2}x_{2}+x_{3}^{2}x_{2})+c(x_{1}^{2}x_{3}+x_{2}^{2}x_{3})|a+b+c=0\}}$.

Так может и третий:

${\displaystyle W_{3}=\{ax_{1}^{3}+bx_{2}^{3}+cx_{3}^{3}|a+b+c=0\}}$.

потом ${\displaystyle W_{1}\oplus W_{2}\oplus W_{3}}$ изотипический компонент типа ${\displaystyle W}$ в ${\displaystyle V}$.

Завершение

В Анализ Фурье, можно разложить (красивую) функцию как предел ряда Фурье функции. Во многом таким же образом само представление может не быть полупростым, но оно может быть завершением (в подходящем смысле) полупростого представления. Самый простой случай этого - Теорема Питера – Вейля, который разлагает левую (или правую) регулярное представительство компактной группы в гильбертово пополнение прямой суммы всех простых унитарных представлений. Как следствие,^[21] существует естественное разложение для ${\displaystyle W=L^{2}(G)}$ = гильбертово пространство (классов) квадратично интегрируемых функций на компактной группе грамм:

${\displaystyle W\simeq {\widehat {\bigoplus _{[(\pi ,V)]}}}V^{\oplus \dim V}}$

куда ${\displaystyle {\widehat {\bigoplus }}}$ означает пополнение прямой суммы, а прямая сумма пробегает все классы изоморфизма простых конечномерных унитарных представлений ${\displaystyle (\pi ,V)}$ из грамм.^{[примечание 1]} Обратите внимание, что каждое простое унитарное представление (с точностью до изоморфизма) появляется в сумме с кратностью размерности представления.

Когда группа грамм конечная группа, векторное пространство ${\displaystyle W=\mathbb {C} [G]}$ просто групповая алгебра грамм а также завершение пусто. Таким образом, теорема просто говорит, что

${\displaystyle \mathbb {C} [G]=\bigoplus _{[(\pi ,V)]}V^{\oplus \dim V}.}$

То есть каждое простое представление грамм появляется в регулярном представлении с кратностью размерности представления.^[22] Это один из стандартных фактов теории представлений конечной группы (и его намного легче доказать).

Когда группа грамм это круговая группа ${\displaystyle S^{1}}$, теорема в точности соответствует классическому анализу Фурье.^[23]

Приложения к физике

В квантовая механика и физика элементарных частиц, то угловой момент объекта можно описать комплексные представления группы вращений | SO (3), все из которых полупросты.^[24] Из-за соединение между SO (3) и SU (2), нерелятивистский вращение из элементарная частица описывается комплексные представления SU (2) а релятивистский спин описывается формулой комплексные представления SL₂(C), все из которых полупросты.^[24] В связь по угловому моменту, Коэффициенты Клебша – Гордана возникают из-за кратностей неприводимых представлений, возникающих при полупростом разложении тензорного произведения неприводимых представлений.^[25]

Примечания

1. Если быть точным, теорема касается регулярного представления ${\displaystyle G\times G}$ и приведенное выше утверждение является следствием.

Рекомендации

Цитаты

1. Procesi 2007, Гл. 6, § 1.1, определение 1 (ii).
2. Procesi 2007, Гл. 6, § 2.1.
3. Андерсон и Фуллер 1992, Предложение 9.4.
4. Андерсон и Фуллер 1992, Теорема 9.6.
5. Андерсон и Фуллер 1992, Лемма 9.2.
6. Фултон и Харрис 1991, § 9.3. А
7. Зал 2015, Теорема 4.28
8. Фултон и Харрис 1991, Следствие 1.6.
9. Серр 1977, Теорема 2.
10. Зал 2015 Теорема 10.9.
11. Якобсон 1989, П. 3.5. Упражнение 4.
12. Артин 1999, Гл. V, § 14.
13. Фултон и Харрис 1991, сразу после следствия 1.6.
14. Серр 1977, § 1.4. замечание
15. Procesi 2007, Гл. 6, § 2.3.
16. Фултон и Харрис 1991, Предложение 1.8.
17. Фултон и Харрис 1991, § 2.3.
18. Фултон и Харрис 1991, П. 2.1. Определение
19. Серр 1977, П. 2.3. Теорема 3 и п. 4.3.
20. Серр 1977, П. 2.6. Теорема 8 (i)
21. Procesi 2007, Гл. 8, теорема 3.2.
22. Серр 1977, П. 2.4. Следствие 1 к предложению 5
23. Procesi 2007, Гл. 8, § 3.3.
24. Холл, Брайан К. (2013). «Угловой момент и спин». Квантовая теория для математиков. Тексты для выпускников по математике. 267. Springer. С. 367–392. ISBN  978-1461471158.
25. Климык, А.У .; Гаврилик, А. М. (1979). «Матричные элементы представления и коэффициенты Клебша – Гордана полупростых групп Ли». Журнал математической физики. 20 (1624): 1624–1642. Дои:10.1063/1.524268.

Источники

• Андерсон, Фрэнк У .; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей, Тексты для выпускников по математике, 13 (2-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. X + 376, Дои:10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN  0-387-97845-3, МИСТЕР  1245487; NB: эта ссылка номинально рассматривает полупростой модуль над кольцом, а не над группой, но это не существенное различие (абстрактная часть обсуждения проходит также и для групп).
• Артин, Майкл (1999). «Некоммутативные кольца» (PDF).
• Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. МИСТЕР  1153249. OCLC  246650103.
• Холл, Брайан К. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение. Тексты для выпускников по математике. 222 (2-е изд.). Springer. ISBN  978-3319134666.
• Джейкобсон, Натан (1989), Базовая алгебра II (2-е изд.), В. Х. Фриман, ISBN  978-0-7167-1933-5
• Прочези, Клаудио (2007). Группы Ли: подход через инварианты и представление. Springer. ISBN  9780387260402..
• Серр, Жан-Пьер (1977-09-01). Линейные представления конечных групп.. Тексты для выпускников по математике, 42. Нью-Йорк – Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90190-9. МИСТЕР  0450380. Zbl  0355.20006.