Полупростота - Semi-simplicity

В математике полупростота - широко распространенная концепция в таких дисциплинах, как линейная алгебра, абстрактная алгебра, теория представлений, теория категорий, и алгебраическая геометрия. А полупростой объект тот, который можно разложить на сумму просто объекты, а простые объекты - это те, которые не содержат нетривиальных собственных подобъектов. Точные определения этих слов зависят от контекста.

Например, если грамм конечный группа, то нетривиальная конечномерная представление V над полем называется просто если в нем содержатся только подпредставления {0} или V (их также называют неприводимые представления ). Сейчас же Теорема Машке говорит, что любое конечномерное представление конечной группы является прямой суммой простых представлений (при условии, что характеристика основного поля не делит порядок группы). Таким образом, в случае конечных групп с этим условием любое конечномерное представление полупросто. В частности, в алгебре и теории представлений «полупростота» также называется полная сводимость. Например, Теорема Вейля о полной сводимости говорит, что конечномерное представление полупростой компактной группы Ли полупросто.

Квадратная матрица (другими словами линейный оператор ${ displaystyle T: V to V}$ с V конечномерное векторное пространство) называется просто если его единственные инвариантные подпространства при Т являются {0} и V. Если поле алгебраически замкнутый (такой как сложные числа ), то единственные простые матрицы имеют размер 1 на 1. A полупростая матрица тот, который похожий к прямая сумма простых матриц; если поле алгебраически замкнуто, это то же самое, что быть диагонализуемый.

Эти понятия полупростоты можно объединить, используя язык полупростых модули, и обобщены до полупростых категории.

Вводный пример векторных пространств

Если учесть все векторные пространства (через поле, например, действительные числа), простые векторные пространства - это те, которые не содержат собственных подпространств. Следовательно, одно-размерный векторные пространства - самые простые. Итак, основной результат линейной алгебры состоит в том, что любое конечномерное векторное пространство является прямая сумма простых векторных пространств; другими словами, все конечномерные векторные пространства полупросты.

Полупростые матрицы

А матрица или, что то же самое, линейный оператор Т на конечномерном векторное пространство V называется полупростой если каждый Т-инвариантное подпространство имеет дополнительный Т-инвариантное подпространство.^[1]^[2] Это эквивалентно минимальный многочлен из Т быть без квадратов.

Для векторных пространств над алгебраически замкнутый поле F, полупростота матрицы равносильна диагонализуемость.^[1] Это потому, что у такого оператора всегда есть собственный вектор; если он к тому же полупростой, то он имеет дополнительный инвариант гиперплоскость, который сам имеет собственный вектор и, таким образом, по индукции диагонализуем. И наоборот, легко увидеть, что диагонализуемые операторы полупросты, поскольку инвариантные подпространства представляют собой прямые суммы собственных подпространств, и любой базис этого пространства может быть расширен до собственного базиса.

Полупростые модули и кольца

Для фиксированного звенеть р, нетривиальный р-модуль M прост, если в нем нет подмодулей, кроме 0 и M. An р-модуль M является полупростой если каждый р-подмодуль M является р-модуль прямое слагаемое M (тривиальный модуль 0 полупрост, но не прост). Для р-модуль M, M полупросто тогда и только тогда, когда оно является прямой суммой простых модулей (тривиальный модуль - это пустая прямая сумма). Ну наконец то, р называется полупростое кольцо если он полупростой, как р-модуль. Как оказалось, это равносильно требованию, чтобы любой конечно порожденный р-модуль M полупростой.^[3]

Примеры полупростых колец включают поля и, в более общем смысле, конечные прямые произведения полей. Для конечной группы грамм Теорема Машке утверждает, что групповое кольцо р[грамм] над кольцом р полупросто тогда и только тогда, когда р полупростой и |грамм| обратима в р. Поскольку теория модулей р[грамм] совпадает с теория представлений из грамм на р-модулей, этот факт является важной дихотомией, которая вызывает модульная теория представлений, т.е. случай, когда |грамм| делает разделить характеристика из р быть более трудным, чем случай, когда |грамм| не делит характеристику, в частности, если р - поле нулевой характеристики. Теорема Артина – Веддерберна, унитальное артиновское кольцо р полупросто тогда и только тогда, когда оно (изоморфно) ${ displaystyle M_ {n_ {1}} (D_ {1}) times M_ {n_ {2}} (D_ {2}) times cdots times M_ {n_ {r}} (D_ {r}) }$ , где каждый ${ displaystyle D_ {i}}$ это делительное кольцо и ${ Displaystyle M_ {п} (D)}$ кольцо п-к-п матрицы с записями в D.

Оператор Т полупроста в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда подалгебра ${ Displaystyle F [T] subset OperatorName {End} _ {F} (V)}$ порождается степенями (т.е. итерациями) Т внутри кольца эндоморфизмы из V полупростой.

Как указывалось выше, теория полупростых колец намного проще, чем теория общих колец. Например, любой короткая точная последовательность

{ displaystyle 0 to M ' to M to M' ' to 0}

модулей над полупростым кольцом должны расщепляться, т. е. ${ Displaystyle M cong M ' oplus M' '}$ . С точки зрения гомологическая алгебра, это означает, что нет нетривиальных расширения. Кольцо Z целых чисел не полупросто: Z не является прямой суммой пZ и Z/п.

Полу-простые категории

Многие из приведенных выше представлений о полупростоте восстанавливаются с помощью концепции полупростой категория C. Вкратце категория представляет собой набор объектов и карт между такими объектами, идея состоит в том, что карты между объектами сохраняют некоторую структуру, присущую этим объектам. Например, р-модули и р-линейные карты между ними образуют категорию для любого кольца р.

An абелева категория^[4] C называется полупростым, если есть набор простых объектов ${ displaystyle X _ { alpha} in C}$ , т.е. без подобъекта, кроме нулевой объект 0 и ${ displaystyle X _ { alpha}}$ сам, такой что любой объект Икс это прямая сумма (т.е. сопродукт или, что то же самое, произведение) конечного числа простых объектов. Это следует из Лемма Шура что кольцо эндоморфизмов

{ displaystyle operatorname {End} _ {C} (X) = operatorname {Hom} _ {C} (X, X)}

в полупростой категории является произведением колец матриц над телом, т. е. полупростым.

Более того, кольцо р полупроста тогда и только тогда, когда категория конечно порожденных р-модули полупросты.

Пример из Теория Ходжа это категория поляризуемый чистый Структуры Ходжа, т.е. чистые структуры Ходжа, снабженные подходящей положительно определенный билинейная форма. Наличие этой так называемой поляризации делает категорию поляризуемых структур Ходжа полупростой.^[5]Другой пример из алгебраической геометрии - категория чистый мотивы из гладкий проективные многообразия над полем k ${ displaystyle operatorname {Mot} (k) _ { sim}}$ по модулю адекватное отношение эквивалентности ${ displaystyle sim}$ . Как предполагал Гротендик и показано Яннсен, эта категория полупроста тогда и только тогда, когда отношение эквивалентности числовая эквивалентность.^[6] Этот факт является концептуальным краеугольным камнем теории мотивов.

Полупростые абелевы категории также возникают из комбинации т-структура и (соответственно родственный) весовая структура на триангулированная категория.^[7]

Полупростота в теории представлений

Можно спросить, есть ли категория конечномерных представлений группы или алгебры Ли полупроста, то есть независимо от того, разлагается ли всякое конечномерное представление как прямая сумма неприводимых представлений. В общем, нет. Например, представление ${ Displaystyle mathbb {R}}$ данный

{ displaystyle Pi (x) = { begin {pmatrix} 1 & x 0 & 1 end {pmatrix}}}

не является прямой суммой неприводимых.^[8] (Существует ровно одно нетривиальное инвариантное подпространство, промежуток первого базисного элемента, ${ displaystyle e_ {1}}$ .) С другой стороны, если ${ displaystyle G}$ компактно, то всякое конечномерное представление ${ displaystyle Pi}$ из ${ displaystyle G}$ допускает внутренний продукт, относительно которого ${ displaystyle Pi}$ унитарен, показывая, что ${ displaystyle Pi}$ разлагается как сумма неприводимых.^[9] Аналогично, если ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ комплексная полупростая алгебра Ли, всякое конечномерное представление ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ представляет собой сумму неприводимых.^[10] Первоначальное доказательство этого Вейля использовало унитарный трюк: Каждый такой ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ является комплексификацией алгебры Ли односвязной компактной группы Ли ${ displaystyle K}$ . С ${ displaystyle K}$ односвязно, существует взаимно однозначное соответствие между конечномерными представлениями ${ displaystyle K}$ и из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ .^[11] Таким образом, применим только что упомянутый результат о представлениях компактных групп. Также можно доказать полупростоту представлений ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ непосредственно алгебраическими средствами, как в разделе 10.3 книги Холла.

Смотрите также: категория слияния (что полупросто).

Смотрите также

А полупростая алгебра Ли является алгеброй Ли, являющейся прямой суммой простых алгебр Ли.
А полупростая алгебраическая группа - линейная алгебраическая группа, радикал компоненты единицы которой тривиален.
Полупростая алгебра
Полупростое представление

внешняя ссылка

[Lam-2001-p39-1] а ^б Лам (2001), п. 39

[2] Хоффман, Кеннет; Кунце, Рэй (1971). «Полупростые операторы». Линейная алгебра (2-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc. МИСТЕР 0276251.

[3] * Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец. Тексты для выпускников по математике. 131 (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-95183-0.

[4] В более общем плане то же определение полупростоты работает для псевдоабелев аддитивные категории. См., Например, Ив Андре, Бруно Кан: Nilpotence, radicaux и др. Структуры monoïdales. С приложением Питера О'Салливана. Ренд. Сем. Мат. Univ. Padova 108 (2002), 107–291. https://arxiv.org/abs/math/0203273.

[5] Питерс, Крис А. М .; Стинбринк, Джозеф Х. М. Смешанные структуры Ходжа. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике], 52. Springer-Verlag, Berlin, 2008. xiv + 470 с. ISBN 978-3-540-77015-2; см. следствие 2.12.

[6] Уве Яннсен: Мотивы, числовая эквивалентность и полупростота, Изобретать. математика. 107, 447 ~ 452 (1992)

[7] Бондарко, Михаил В. (2012), «Весовые конструкции и« гири »на сердцах т-конструкции », Гомологии Гомотопия Прил., 14 (1): 239–261, Дои:10.4310 / HHA.2012.v14.n1.a12, Zbl 1251.18006

[8] Зал 2015 Пример 4.25

[9] Зал 2015 Теорема 4.28.

[10] Зал 2015 Теорема 10.9.

[11] Зал 2015 Теорема 5.6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]