Теорема Артина – Веддерберна - Artin–Wedderburn theorem

В алгебра, то Теорема Артина – Веддерберна это классификационная теорема за полупростые кольца и полупростые алгебры. Теорема утверждает, что (артинов) ^[1] полупростое кольцо р изоморфен товар конечного числа п_я-от-п_я матричные кольца над делительные кольца D_я, для некоторых целых чисел п_я, оба из которых однозначно определены с точностью до перестановки индекса я. В частности, любые просто влево или вправо Артинианское кольцо изоморфен п-от-п матричное кольцо через делительное кольцо D, где оба п и D однозначно определены.^[2]

Кроме того, теорема Артина – Веддерберна утверждает, что полупростая алгебра что конечномерно над полем ${\displaystyle k}$ изоморфно конечному произведению ${\displaystyle \prod M_{n_{i}}(D_{i})}$ где ${\displaystyle n_{i}}$ натуральные числа, ${\displaystyle D_{i}}$ конечномерны алгебры с делением над ${\displaystyle k}$ (возможно конечные поля расширения из k), и ${\displaystyle M_{n_{i}}(D_{i})}$ это алгебра ${\displaystyle n_{i}\times n_{i}}$ матрицы над ${\displaystyle D_{i}}$. Опять же, этот продукт уникален до перестановки факторов.

Как прямое следствие, из теоремы Артина – Веддерберна следует, что любое простое кольцо, конечномерное над телом (a простая алгебра) это матричное кольцо. Это Джозеф Уэддерберн оригинальный результат. Эмиль Артин позже обобщил его на случай артиновых колец.

Обратите внимание, что если р - конечномерная простая алгебра над телом E, D не должно содержаться в E. Например, матрица кольца над сложные числа являются конечномерными простыми алгебрами над действительные числа.

Следствие

Теорема Артина – Веддерберна сводит классификацию простых колец над телом к ​​классификации тел, содержащих данное тело. Это, в свою очередь, можно упростить: центр из D должен быть поле K. Следовательно, р это K-алгебра, и сама имеет K как его центр. Конечномерная простая алгебра р таким образом центральная простая алгебра над K. Таким образом, теорема Артина – Веддерберна сводит проблему классификации конечномерных центральных простых алгебр к проблеме классификации тел с заданным центром.

Смотрите также

• Теорема Машке
• Группа Брауэра
• Теорема плотности Джекобсона
• Номер гиперкомплекса

использованная литература

1. Полупростые кольца обязательно Артинианские кольца. Некоторые авторы используют термин «полупростой», чтобы обозначить, что кольцо имеет тривиальный Радикал Якобсона. Для артиновых колец эти два понятия эквивалентны, поэтому здесь включено «артиново», чтобы устранить эту двусмысленность.
2. Джон А. Бичи (1999). Вводные лекции по кольцам и модулям. Издательство Кембриджского университета. п.156. ISBN  978-0-521-64407-5.

• П. М. Кон (2003) Базовая алгебра: группы, кольца и поля, страницы 137–9.
• J.H.M. Wedderburn (1908). «О гиперкомплексных числах». Труды Лондонского математического общества. 6: 77–118. Дои:10,1112 / плмс / с2-6.1.77.
• Артин, Э. (1927). "Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen". 5: 251–260.