Отношение адекватной эквивалентности - Adequate equivalence relation

В алгебраическая геометрия, филиал математика, адекватное отношение эквивалентности является отношение эквивалентности на алгебраические циклы гладкой проективные многообразия используется для получения хорошо работающей теории таких циклов и, в частности, четко определенных продукты пересечения. Пьер Самуэль формализовал понятие адекватного отношения эквивалентности в 1958 г.^[1] С тех пор он стал центральным в теории мотивов. Для каждого адекватного отношения эквивалентности можно определить категория из чистые мотивы относительно этого отношения.

Возможные (и полезные) адекватные отношения эквивалентности включают: рациональный, алгебраический, гомологический и числовая эквивалентность. Они называются «адекватными», потому что деление по отношению эквивалентности функториальный, т.е. проталкивание (с изменением коразмерности) и откат циклов четко определены. Циклы коразмерности 1 по модулю рациональной эквивалентности образуют классическую группа из делители. Все циклы по модулю рациональной эквивалентности образуют Кольцо для чау-чау.

Определение

Позволять Z^*(Икс) := Z[Икс] - свободная абелева группа на алгебраических циклах Икс. Тогда адекватное отношение эквивалентности - это семейство отношения эквивалентности, ∼_Икс на Z^*(Икс), по одному для каждого гладкого проективного многообразия Икс, удовлетворяющий следующим трем условиям:

1. (Линейность) Отношение эквивалентности совместимо с сложением циклов.
2. (Лемма о подвижности ) Если ${\displaystyle \alpha ,\beta \in Z^{*}(X)}$ циклы на Икс, то существует цикл ${\displaystyle \alpha '\in Z^{*}(X)}$ такой, что ${\displaystyle \alpha }$ ~_Икс ${\displaystyle \alpha '}$ и ${\displaystyle \alpha '}$ пересекает ${\displaystyle \beta }$ правильно.
3. (Толкаем вперед) Пусть ${\displaystyle \alpha \in Z^{*}(X)}$ и ${\displaystyle \beta \in Z^{*}(X\times Y)}$ быть циклами такие, что ${\displaystyle \beta }$ пересекает ${\displaystyle \alpha \times Y}$ правильно. Если ${\displaystyle \alpha }$ ~_Икс 0, тогда ${\displaystyle (\pi _{Y})_{*}(\beta \cdot (\alpha \times Y))}$ ~_Y 0, где ${\displaystyle \pi _{Y}:X\times Y\to Y}$ это проекция.

Цикл продвижения вперед в последней аксиоме часто обозначается

${\displaystyle \beta (\alpha ):=(\pi _{Y})_{*}(\beta \cdot (\alpha \times Y))}$

Если ${\displaystyle \beta }$ это график из функция, тогда это сводится к продвижению функции. Обобщения функций из Икс к Y на велосипеде X × Y известны как корреспонденции. Последняя аксиома позволяет нам продвигать циклы по соответствию.

Примеры отношений эквивалентности

Наиболее распространенные отношения эквивалентности, перечисленные в порядке от наиболее сильного к наиболее слабому, собраны в следующей таблице.

	определение	замечания
рациональная эквивалентность	Z ∼крыса Z ' если есть цикл V на Икс × п^1 плоский над п^1, такие что [V ∩ Икс × {0}] − [V ∩ Икс × {∞}] = [Z] − [Z ' ].	тончайшее адекватное отношение эквивалентности (лемма 3.2.2.1 в книге Ива Андре[2]) "∩" обозначает пересечение в теоретико-циклическом смысле (т.е. с кратностями) и [.] обозначает цикл, связанный с подсхемой. смотрите также Кольцо для чау-чау
алгебраическая эквивалентность	Z ∼alg Z ′ если есть изгиб C и цикл V на Икс × C плоский над C, такие что [V ∩ Икс × {c}] − [V ∩ Икс × {d}] = [Z] − [Z ' ] для двух точек c и d на кривой.	Строго сильнее, чем гомологическая эквивалентность, как измеряется Группа гриффитс. Смотрите также Группа Нерона – Севери.
полная эквивалентность нильпотентности	Z ∼sn Z ′ если Z − Z ′ нильпотентен Икс, то есть если ${\displaystyle (Z-Z')^{\otimes n}}$ ∼крыса 0 на Иксп за п >> 0.	введен Воеводским в 1995 г.[3]
гомологическая эквивалентность	для данного Когомологии Вейля ЧАС, Z ∼хом Z ′ если изображение циклов под картой классов циклов согласуется	априори зависит от выбора ЧАС, не предполагая стандартная гипотеза D
числовая эквивалентность	Z ∼число Z ′ если deg (Z ∩ Т) = град (Z ′ ∩ Т), куда Т любой цикл такой, что dimТ = codimZ (Пересечение - это линейная комбинация точек, и мы добавляем кратности пересечения в каждой точке, чтобы получить степень.)	самое грубое отношение эквивалентности (упражнение 3.2.7.2 в книге Ива Андре[4])

Примечания

1. Самуэль, Пьер (1958), "Relations d'équivalence en géométrie algébrique" (PDF), Proc. ICM, Cambridge Univ. Пресса: 470–487, архивировано с оригинал (PDF) на 2017-07-22, получено 2015-07-22
2. Андре, Ив (2004), Une введение aux motifs (мотивы purs, motifs mixtes, périodes), Panoramas et Synthèses, 17, Париж: Société Mathématique de France, ISBN  978-2-85629-164-1, МИСТЕР  2115000
3. Воеводский В. (1995), "Теорема о нильпотентности для циклов, алгебраически эквивалентных 0", Int. Математика. Res. Уведомления, 4: 1–12
4. Андре, Ив (2004), Une введение aux motifs (мотивы purs, motifs mixtes, périodes), Panoramas et Synthèses, 17, Париж: Société Mathématique de France, ISBN  978-2-85629-164-1, МИСТЕР  2115000

Рекомендации

• Клейман, Стивен Л. (1972), «Мотивы», в Оорт, Ф. (ред.), Алгебраическая геометрия, Осло, 1970 г. (Proc. Fifth Nordic Summer-School in Math., Oslo, 1970), Groningen: Wolters-Noordhoff, стр. 53–82, МИСТЕР  0382267
• Яннсен, У. (2000), "Отношения эквивалентности на алгебраических циклах", Арифметика и геометрия алгебраических циклов, НАТО, 200, Kluwer Ac. Publ. Кол .: 225–260