Т-структура - t-structure

В филиале математика называется гомологическая алгебра, а т-структура это способ аксиоматизировать свойства абелева подкатегория из производная категория. А т-структура на ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ состоит из двух подкатегорий ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$ из триангулированная категория или стабильный категория бесконечности которые абстрагируют идею комплексов, когомологии которых исчезают в положительной и соответственно отрицательной степенях. Может быть много разных т-структуры из одной категории, и взаимодействие между этими структурами имеет значение для алгебры и геометрии. Понятие о т-структура возникла в работах Бейлинсона, Бернштейна, Делиня и Габбера по извращенные снопы.^[1]

Определение

Зафиксируйте триангулированную категорию ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ с функтором перевода ${\displaystyle [1]}$. А т-структура на ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ пара ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$ полных подкатегорий, каждая из которых устойчива относительно изоморфизма, удовлетворяющих следующим трем аксиомам.

1. Если Икс является объектом ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ и Y является объектом ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$, тогда ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y[-1])=0.}$
2. Если Икс является объектом ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$, тогда Икс[1] также является объектом ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$. Аналогично, если Y является объектом ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$, тогда Y[-1] также является объектом ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$.
3. Если А является объектом ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, то существует выделенный треугольник ${\displaystyle X\to A\to Y[-1]\to X[1]}$ такой, что Икс является объектом ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ и Y является объектом ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$.

Можно показать, что подкатегории ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$ закрыты относительно расширений в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. В частности, они устойчивы относительно конечных прямых сумм.

Предположим, что ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$ это т-структура на ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. В этом случае для любого целого числа п, мы определяем ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$ быть полной подкатегорией ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ чьи объекты имеют форму ${\displaystyle X[-n]}$, куда ${\displaystyle X}$ является объектом ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$. По аналогии, ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$ это полная подкатегория объектов ${\displaystyle Y[-n]}$, куда ${\displaystyle Y}$ является объектом ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$. Короче, определим

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\leq n}&={\mathcal {D}}^{\leq 0}[-n],\\{\mathcal {D}}^{\geq n}&={\mathcal {D}}^{\geq 0}[-n].\end{aligned}}}$

В этих обозначениях приведенные выше аксиомы можно переписать так:

1. Если Икс является объектом ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ и Y является объектом ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$, тогда ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y)=0.}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}\subseteq {\mathcal {D}}^{\leq 1}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}\supseteq {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$.
3. Если А является объектом ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, то существует выделенный треугольник ${\displaystyle X\to A\to Y\to X[1]}$ такой, что Икс является объектом ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ и Y является объектом ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$.

В сердце или же основной из т-структура - это полная подкатегория ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$ состоящий из объектов в обоих ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$, то есть,

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }={\mathcal {D}}^{\leq 0}\cap {\mathcal {D}}^{\geq 0}.}$

Сердце т-структура - это абелева категория (тогда как триангулированная категория является аддитивной, но почти никогда не абелевой), и она устойчива относительно расширений.

Триангулированная категория с возможностью выбора т-структуру иногда называют т-категория.

Вариации

Понятно, что для определения т-структура, достаточно исправить целые числа м и п и указать ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq m}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$. Некоторые авторы определяют т-структура быть парой ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 1})}$.

Две подкатегории ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$ определяют друг друга. Объект Икс в ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ если и только если ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)=0}$ для всех объектов Y в ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$, наоборот. То есть, ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 1})}$ являются левыми и правыми ортогональными дополнениями друг друга. Следовательно, достаточно указать только один из ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$. Более того, поскольку эти подкатегории полные по определению, достаточно указать их объекты.

Приведенные выше обозначения адаптированы для изучения когомологий. Когда целью является изучение гомологии, используются несколько иные обозначения. А гомологический т-структура на ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ пара ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{\geq 0},{\mathcal {D}}_{\leq 0})}$ такой, что если мы определим

${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})=({\mathcal {D}}_{\geq 0},{\mathcal {D}}_{\leq 0}),}$

тогда ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$ является (когомологическим) т-структура на ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. То есть определение такое же, за исключением того, что верхние индексы преобразуются в нижние индексы, а роли ${\displaystyle \geq }$ и ${\displaystyle \leq }$ поменяны местами. Если мы определим

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}_{\geq n}&={\mathcal {D}}_{\geq 0}[n],\\{\mathcal {D}}_{\leq n}&={\mathcal {D}}_{\leq 0}[n],\end{aligned}}}$

тогда аксиомы гомологического т-структура может быть явно записана как

1. Если Икс является объектом ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq 0}}$ и Y является объектом ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq -1}}$, тогда ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y)=0.}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq 1}\subseteq {\mathcal {D}}_{\geq 0}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq 1}\supseteq {\mathcal {D}}_{\leq 0}}$.
3. Если А является объектом ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, то существует выделенный треугольник ${\displaystyle X\to A\to Y\to X[1]}$ такой, что Икс является объектом ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq 0}}$ и Y является объектом ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq -1}}$.

Примеры

Естественный т-структура

Самый фундаментальный пример т-структура - это естественный т-структура по производной категории. Позволять ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ - абелева категория, и пусть ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ его производная категория. Тогда естественный т-структура определяется парой подкатегорий

${\displaystyle {\begin{aligned}D({\mathcal {A}})^{\leq 0}&=\{X\colon \forall i>0,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\geq 0}&=\{X\colon \forall i<0,\ H^{i}(X)=0\}.\end{aligned}}}$

Отсюда сразу следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}D({\mathcal {A}})^{\leq n}&=\{X\colon \forall i>n,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\geq n}&=\{X\colon \forall i<n,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\heartsuit }&=\{X\colon \forall i\neq 0,\ H^{i}(X)=0\}\cong {\mathcal {A}}.\end{aligned}}}$

В этом случае третья аксиома для т-структуру, существование некоторого выделенного треугольника, можно сделать явным следующим образом. Предположим, что ${\displaystyle A^{\bullet }}$ является коцепным комплексом со значениями в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Определять

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq 0}A^{\bullet }&=(\cdots \to A^{-2}\to A^{-1}\to \ker d^{0}\to 0\to 0\to \cdots ),\\\tau ^{\geq 1}A^{\bullet }&=(\cdots \to 0\to 0\to A^{0}/\ker d^{0}\to A^{1}\to A^{2}\to \cdots ).\end{aligned}}}$

Ясно, что ${\displaystyle \tau ^{\geq 1}A^{\bullet }=A^{\bullet }/\tau ^{\leq 0}A^{\bullet }}$ и что существует короткая точная последовательность комплексов

${\displaystyle 0\to \tau ^{\leq 0}A^{\bullet }\to A^{\bullet }\to \tau ^{\geq 1}A^{\bullet }\to 0.}$

Эта точная последовательность дает требуемый выделенный треугольник.

Этот пример можно обобщить на точные категории (в смысле Квиллена).^[2] Также есть похожие т-структуры для ограниченных, ограниченных сверху и ограниченных снизу производных категорий. Если ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ является абелевой подкатегорией в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, то полная подкатегория ${\displaystyle D_{\mathcal {C}}({\mathcal {A}})}$ из ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ состоящий из тех комплексов, когомологии которых лежат в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ имеет аналогичный т-структура, сердце которой ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.^[3]

Извращенные снопы

Категория извращенные снопы по определению является ядром так называемого извращенная t-структура на производной категории категории пучков на сложное аналитическое пространство Икс или (работая с l-адическими пучками) алгебраическое многообразие над конечным полем. Как объяснялось выше, ядро ​​стандартной t-структуры просто содержит обычные пучки, рассматриваемые как комплексы, сосредоточенные в степени 0. Например, категория извращенных пучков на (возможно, особой) алгебраической кривой Икс (или, аналогично, возможно, особая поверхность) спроектирована так, чтобы содержать, в частности, объекты вида

${\displaystyle i_{*}F_{Z},j_{*}F_{U}[1]}$

куда ${\displaystyle i:Z\to X}$ включение точки, ${\displaystyle F_{Z}}$ обычная связка, ${\displaystyle U}$ гладкая открытая подсхема и ${\displaystyle F_{U}}$ является локально постоянным пучком на U. Обратите внимание на наличие смещения по размеру Z и U соответственно. Этот сдвиг приводит к тому, что категория извращенных пучков хорошо воспитанный на особых пространствах. Простые объекты в этой категории - это когомологии пересечения пучки подмногообразий с коэффициентами в неприводимой локальной системе. Эта t-структура была введена Бейлинсоном, Бернштейном и Делинем.^[4] Бейлинсон показал, что производная категория сердца ${\displaystyle D^{b}(Perv(X))}$ фактически эквивалентна исходной производной категории пучков. Это пример общего факта, что триангулированная категория может быть наделена несколькими различными t-структурами.^[5]

Градуированные модули

Нестандартный пример t-структуры на производной категории (градуированных) модулей над градуированное кольцо обладает тем свойством, что его сердце состоит из комплексов

${\displaystyle \dots \to P^{n}\to P^{n+1}\to \dots }$

куда ${\displaystyle P^{n}}$ является модулем, порожденным его (градуированной) степенью п. Эта t-структура, называемая геометрической t-структурой, играет важную роль в Кошульская двойственность.^[6]

Спектры

Категория спектры наделен t-структурой, порожденной в указанном выше смысле одним объектом, а именно сферический спектр. Категория ${\displaystyle Sp^{\leq 0}}$ - категория связных спектров, т. е. тех, у которых отрицательные гомотопические группы исчезнуть. (В областях, связанных с теорией гомотопии, обычно используются гомологические соглашения, в отличие от когомологических, поэтому в этом случае обычно заменяют "${\displaystyle \leq }$" к "${\displaystyle \geq }$«. Используя это соглашение, категория связных спектров обозначается обозначением ${\displaystyle Sp^{\geq 0}}$.)

Мотивы

Предполагаемый пример в теории мотивы так называемый мотивационная t-структура. Его (предполагаемое) существование тесно связано с некоторыми стандартные гипотезы об алгебраических циклах и исчезающие догадки, такие как Гипотеза Бейлинсона-Суле.^[7]

Функторы усечения

В приведенном выше примере натурального т-структура на абелевой категории, отмеченный треугольник, гарантированный третьей аксиомой, был построен усечением. Как операции над категорией комплексов, усечения ${\displaystyle \tau _{\leq 0}A^{\bullet }}$ и ${\displaystyle \tau _{\geq 1}A^{\bullet }}$ функториальны, и полученная короткая точная последовательность комплексов естественна в ${\displaystyle A^{\bullet }}$. Используя это, можно показать, что на производной категории есть функторы усечения и что они индуцируют естественный выделенный треугольник.

По сути, это пример общего явления. Хотя аксиомы для т-структура не предполагает существования функторов усечения, такие функторы всегда могут быть построены и по сути уникальны. Предположим, что ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ является триангулированной категорией и что ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$ это т-структура. Точное утверждение состоит в том, что функторы включения

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota ^{\leq n}\colon &{\mathcal {D}}^{\leq n}\to {\mathcal {D}},\\\iota ^{\geq n}\colon &{\mathcal {D}}^{\geq n}\to {\mathcal {D}}\end{aligned}}}$

признаться примыкает. Это функторы

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq n}\colon &{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}^{\leq n},\\\tau ^{\geq n}\colon &{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}^{\geq n}\end{aligned}}}$

такой, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota ^{\leq n}\dashv \tau ^{\leq n},\\\tau ^{\geq n}\dashv \iota ^{\geq n}.\end{aligned}}}$

Причем для любого объекта ${\displaystyle A}$ из ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, существует единственный

${\displaystyle d\in \operatorname {Hom} ^{1}(\tau ^{\geq 1}A,\tau ^{\leq 0}A)}$

такой, что d а счетчик и единица присоединений вместе определяют выделенный треугольник

${\displaystyle \tau ^{\leq 0}A\to A\to \tau ^{\geq 1}A\ {\stackrel {d}{\to }}\ \tau ^{\leq 0}A[1].}$

С точностью до единственного изоморфизма это единственный выделенный треугольник вида ${\displaystyle X\to A\to Y\to X[1]}$ с ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ объекты ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$, соответственно. Из существования этого треугольника следует, что объект ${\displaystyle A}$ лежит в ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$ (соотв. ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$) если и только если ${\displaystyle \tau ^{\geq n+1}(A)=0}$ (соотв. ${\displaystyle \tau ^{\leq n-1}(A)=0}$).

Существование ${\displaystyle \tau ^{\leq 0}}$ подразумевает существование других функторов усечения, сдвигая и принимая противоположные категории. Если ${\displaystyle A}$ является объектом ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$третья аксиома для т-структура утверждает существование ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ и морфизм ${\displaystyle X\to A}$ вписывается в определенный выдающийся треугольник. Для каждого ${\displaystyle A}$, зафиксируем один такой треугольник и определим ${\displaystyle \tau ^{\leq 0}(A)=X}$. Аксиомы для т-структура подразумевает, что для любого объекта ${\displaystyle T}$ из ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$, у нас есть

${\displaystyle \operatorname {Hom} (T,X)\cong \operatorname {Hom} (T,A),}$

причем изоморфизм индуцируется морфизмом ${\displaystyle X\to A}$. Это экспонаты ${\displaystyle X}$ как решение некой универсальной задачи отображения. Из стандартных результатов о сопряженных функторах теперь следует, что ${\displaystyle X}$ уникален с точностью до единственного изоморфизма и что существует единственный способ определить ${\displaystyle \tau ^{\leq 0}}$ на морфизмах, делающих его правым сопряженным. Это доказывает существование ${\displaystyle \tau ^{\leq 0}}$ и, следовательно, существование всех функторов усечения.

Повторное усечение для т-структура ведет себя аналогично повторному усечению для комплексов. Если ${\displaystyle n\leq m}$, то есть естественные преобразования

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq n}&\to \tau ^{\leq m},\\\tau ^{\geq n}&\to \tau ^{\geq m},\end{aligned}}}$

которые дают естественные эквивалентности

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq n}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\leq n}\circ \tau ^{\leq m},\\\tau ^{\geq m}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\geq m}\circ \tau ^{\geq n},\\\tau ^{\geq n}\circ \tau ^{\leq m}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\leq m}\circ \tau ^{\geq n}.\end{aligned}}}$

Функторы когомологий

В пth функтор когомологий ${\displaystyle H^{n}}$ определяется как

${\displaystyle H^{n}=\tau ^{\leq 0}\circ \tau ^{\geq 0}\circ [n].}$

Как следует из названия, это когомологический функтор в обычном смысле для триангулированной категории. То есть для любого выделенного треугольника ${\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1]}$, получаем длинная точная последовательность

${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i}(Z)\to H^{i+1}(X)\to \cdots .}$

В приложениях к алгебраической топологии функторы когомологий можно обозначать ${\displaystyle \pi _{n}}$ вместо ${\displaystyle H^{n}}$. Функторы когомологий принимают значения в самом сердце ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$. По одному из повторных тождеств усечения, приведенных выше, с точностью до естественной эквивалентности эквивалентно определение

${\displaystyle H^{n}=\tau ^{\geq 0}\circ \tau ^{\leq 0}\circ [n].}$

Для естественного т-структура по производной категории ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$, функтор когомологий ${\displaystyle H^{n}}$ является с точностью до квазиизоморфизма обычным п-я группа когомологий комплекса. Однако, рассматриваемые как функторы на комплексах, это нет истинный. Рассмотрим, например, ${\displaystyle H^{0}}$ как определено с точки зрения естественного т-структура. По определению это

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(A^{\bullet })&=\tau ^{\leq 0}(\tau ^{\geq 0}(A^{\bullet }))\\&=\tau ^{\leq 0}(\cdots \to 0\to A^{-1}/\ker d^{-1}\to A^{0}\to A^{1}\to \cdots )\\&=(\cdots \to 0\to A^{-1}/\ker d^{-1}\to \ker d^{0}\to 0\to \cdots ).\end{aligned}}}$

Этот комплекс ненулевой по степеням ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle 0}$, поэтому очевидно, что это не то же самое, что и группа нулевых когомологий комплекса ${\displaystyle A^{\bullet }}$. Однако нетривиальный дифференциал - это инъекция, поэтому единственные нетривиальные когомологии находятся в степени ${\displaystyle 0}$, где это ${\displaystyle \ker d^{0}/\operatorname {im} d^{-1}}$, нулевая группа когомологий комплекса ${\displaystyle A^{\bullet }}$. Отсюда следует, что два возможных определения ${\displaystyle H^{0}(A^{\bullet })}$ квазиизоморфны.

А т-структура невырожденный если пересечение всех ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$, а также пересечение всех ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$, состоит только из нулевых объектов. Для невырожденного т-структура, набор функторов ${\displaystyle \{H^{n}\}_{n\in \mathbf {Z} }}$ консервативен. Более того, в этом случае ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$ (соотв. ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$) можно отождествить с полной подкатегорией этих объектов ${\displaystyle A}$ для которого ${\displaystyle H^{i}(A)=0}$ за ${\displaystyle i>n}$ (соотв. ${\displaystyle i<n}$).

Точные функторы

За ${\displaystyle i=1,2}$, позволять ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}}$ быть триангулированной категорией с фиксированной т-структура ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{i}^{\leq 0},{\mathcal {D}}_{i}^{\geq 0})}$ Предположим, что ${\displaystyle F\colon {\mathcal {D}}_{1}\to {\mathcal {D}}_{2}}$ является точным функтором (в обычном для триангулированных категорий смысле, т. е. с точностью до естественной эквивалентности коммутирует со сдвигом и сохраняет выделенные треугольники). потом ${\displaystyle F}$ является:

• Оставили т-точный если ${\displaystyle F({\mathcal {D}}_{1}^{\geq 0})\subseteq {\mathcal {D}}_{2}^{\geq 0}}$,
• Правильно т-точный если ${\displaystyle F({\mathcal {D}}_{1}^{\leq 0})\subseteq {\mathcal {D}}_{2}^{\leq 0}}$, и
• т-точный если и слева, и справа т-точный.

Элементарно увидеть, что если ${\displaystyle F}$ полностью верен и т-точный, то объект ${\displaystyle A}$ из ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}}$ в ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}^{\leq 0}}$ (соотв. ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}^{\geq 0}}$) если и только если ${\displaystyle FA}$ в ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{2}^{\leq 0}}$ (соотв. ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{2}^{\geq 0}}$). Также элементарно увидеть, что если ${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{2}\to {\mathcal {D}}_{3}}$ другой левый (соотв. правый) т-точный функтор, то составной ${\displaystyle G\circ F}$ также левый (соответственно правый) т-точный.

Мотивация к изучению одностороннего т-свойства точности в том, что они приводят к односторонним свойствам точности на сердцах. Позволять ${\displaystyle \iota _{i}^{\heartsuit }\colon {\mathcal {D}}_{i}^{\heartsuit }\to {\mathcal {D}}_{i}}$ быть включением. Тогда существует составной функтор

${\displaystyle {}^{p}F=H^{0}\circ F\circ \iota _{1}^{\heartsuit }\colon {\mathcal {D}}_{1}^{\heartsuit }\to {\mathcal {D}}_{2}^{\heartsuit }.}$

Можно показать, что если ${\displaystyle F}$ точно слева (соответственно справа), то ${\displaystyle {}^{p}F}$ также точен слева (соответственно справа), и что если ${\displaystyle G}$ также точен слева (соответственно справа), то ${\displaystyle {}^{p}(G\circ F)=({}^{p}G)\circ F}$.

Если ${\displaystyle F}$ слева (соответственно справа) т-точный, а если ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$ (соотв. ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$), то существует естественный изоморфизм ${\displaystyle {}^{p}F(H^{0}A)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ H^{0}F(A)}$ (соотв. ${\displaystyle H^{0}F(A)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ {}^{p}F(H^{0}A)}$).

Если ${\displaystyle (T^{*},T_{*})\colon {\mathcal {D}}_{1}\leftrightarrows {\mathcal {D}}_{2}}$ точные функторы с ${\displaystyle T^{*}}$ слева примыкает к ${\displaystyle T_{*}}$, тогда ${\displaystyle T^{*}}$ правильно т-точно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle T_{*}}$ осталось т-точный, и в этом случае ${\displaystyle ({}^{p}T^{*},{}^{p}T_{*})}$ являются парой сопряженных функторов ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}^{\heartsuit }\leftrightarrows {\mathcal {D}}_{2}^{\heartsuit }}$.

Конструкции т-конструкции

Позволять ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$ быть т-структура на ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. Если п является целым числом, то перевод п т-структура ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq n},{\mathcal {D}}^{\geq n})}$. В двойной т-структура это т-структура на противоположная категория ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\text{op}}}$ определяется ${\displaystyle (({\mathcal {D}}^{\leq 0})^{\text{op}},({\mathcal {D}}^{\geq 0})^{\text{op}})}$.

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ - триангулированная подкатегория триангулированной категории ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. Если ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$ это т-структура на ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, тогда

${\displaystyle (({\mathcal {D}}')^{\leq 0},({\mathcal {D}}')^{\geq 0})=({\mathcal {D}}'\cap {\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}'\cap {\mathcal {D}}^{\geq 0})}$

это т-структура на ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ если и только если ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ устойчиво относительно функтора усечения ${\displaystyle \tau ^{\leq 0}}$. При выполнении этого условия т-структура ${\displaystyle (({\mathcal {D}}')^{\leq 0},({\mathcal {D}}')^{\geq 0})}$ называется индуцированный т-структура. Функторы усечения и когомологий индуцированных т-структура - это ограничение на ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ из тех, кто на ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. Следовательно, включение ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$ в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ является т-точный, и ${\displaystyle ({\mathcal {D}}')^{\heartsuit }={\mathcal {D}}^{\heartsuit }\cap {\mathcal {D}}'}$.

Чтобы построить категорию извращенных пучков, важно уметь определять т-структурировать категорию пучков над пространством, работая локально в этом пространстве. Точные условия, необходимые для того, чтобы это стало возможным, можно несколько абстрагировать до следующей установки. Предположим, что есть три триангулированные категории и два морфизма

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{F}\ {\stackrel {i_{*}}{\to }}\ {\mathcal {D}}\ {\stackrel {j^{*}}{\to }}\ {\mathcal {D}}_{U}}$

удовлетворяющие следующим свойствам.

• Есть две последовательности троек сопряженных функторов ${\displaystyle (j_{!},j^{*},j_{*})}$ и ${\displaystyle (i^{*},i_{*},i^{!})}$.
• Функторы ${\displaystyle i_{*}}$, ${\displaystyle j_{!}}$, и ${\displaystyle j^{*}}$ полны и верны, и они удовлетворяют ${\displaystyle j^{*}i_{*}=0}$.
• Существуют уникальные дифференциалы для каждого K в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, точные треугольники

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{!}j^{*}K&\to K\to i_{*}i^{*}K\to j_{!}j^{*}K[1],\\i_{*}i^{!}K&\to K\to j_{*}j^{*}K\to i_{*}i^{!}K[1].\end{aligned}}}$

В этом случае, учитывая т-конструкции ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{U}^{\leq 0},{\mathcal {D}}_{U}^{\geq 0})}$ и ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{F}^{\leq 0},{\mathcal {D}}_{F}^{\geq 0})}$ на ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{U}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{F}}$соответственно имеется т-структура на ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ определяется

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\leq 0}&=\{K\in {\mathcal {D}}\colon j^{*}K\in {\mathcal {D}}_{U}^{\leq 0},\ i^{*}K\in {\mathcal {D}}_{F}^{\leq 0}\},\\{\mathcal {D}}^{\geq 0}&=\{K\in {\mathcal {D}}\colon j^{*}K\in {\mathcal {D}}_{U}^{\geq 0},\ i^{*}K\in {\mathcal {D}}_{F}^{\geq 0}\}.\end{aligned}}}$

Этот т-структура считается склейка из т-конструкции на U и F. Предполагаемые варианты использования: ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{U}}$, и ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{F}}$ ограничены снизу производные категории пучков на пространстве Икс, открытое подмножество U, и замкнутое дополнение F из U. Функторы ${\displaystyle j^{*}}$ и ${\displaystyle i_{*}}$ являются обычными функторами возврата и продвижения вперед. Это работает, в частности, когда рассматриваемые пучки являются левыми модулями над пучком колец ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ на Икс и когда пучки являются ℓ-адическими пучками.

Многие t-структуры возникают благодаря следующему факту: в триангулированной категории с произвольными прямые суммы, и набор ${\displaystyle S_{0}}$ из компактные объекты в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, подкатегории

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\geq 1}&=\{X\in {\mathcal {D}}\colon \operatorname {Hom} (S_{0}[-n],X)=0,n\geq 0\},\\{\mathcal {D}}^{\leq 0}&=\{Y\in {\mathcal {D}}\colon \operatorname {Hom} (Y,{\mathcal {D}}^{\geq 1})=0\},\end{aligned}}}$

можно показать как t-структуру.^[8] Результирующий т-структура называется создано ${\displaystyle S_{0}}$.

Дана абелева подкатегория ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ триангулированной категории ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, можно построить подкатегорию ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ и т-структура на той подкатегории, сердце которой ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.^[9]

О стабильных ∞-категориях

Элементарная теория т-структуры переносятся на случай ∞-категорий с небольшими изменениями. Позволять ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ - стабильная ∞-категория. А т-структура на ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ определяется как т-структура на своей гомотопической категории ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}}$ (что является триангулированной категорией). А т-структура на ∞-категории может быть обозначена либо гомологически, либо когомологически, как и в случае триангулированной категории.

Предположим, что ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ∞-категория с гомотопической категорией ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}}$ и это ${\displaystyle (\mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\geq 0},\mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\leq 0})}$ это т-структура на ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}}$. Тогда для каждого целого числа п, мы определяем ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq n}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq n}}$ быть полными подкатегориями ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ охватывает объекты в ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\geq n}}$ и ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\leq n}}$, соответственно. Определять

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota _{\geq n}&\colon {\mathcal {D}}_{\geq n}\to {\mathcal {D}},\\\iota _{\leq n}&\colon {\mathcal {D}}_{\leq n}\to {\mathcal {D}}\end{aligned}}}$

быть функторами включения. Как и в случае триангулированной категории, они допускают правый и левый сопряженные, соответственно, функторы усечения

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\geq n}&\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}_{\geq n},\\\tau _{\leq n}&\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}_{\leq n}\end{aligned}}}$

Эти функторы удовлетворяют тем же тождествам повторного усечения, что и в случае триангулированной категории.

В сердце из т-структура на ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ определяется как ∞-подкатегория ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }={\mathcal {D}}_{\geq 0}\cap {\mathcal {D}}_{\leq 0}}$. Категория ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$ эквивалентно нерву своей гомотопической категории ${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$. Функтор когомологий ${\displaystyle \pi _{n}}$ определяется как ${\displaystyle \tau _{\geq 0}\circ \tau _{\leq 0}\circ [-n]}$, или эквивалентно ${\displaystyle \tau _{\leq 0}\circ \tau _{\geq 0}\circ [-n]}$.

Существование ${\displaystyle \tau _{\leq n}}$ Значит это ${\displaystyle \iota _{\leq n}}$ по определению является функтором локализации. На самом деле между т-конструкции на ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ и некоторые виды функторов локализации, называемые т-локализации. Это функторы локализации L чей существенный образ замкнут относительно расширения, что означает, что если ${\displaystyle X\to Y\to Z}$ - последовательность слоев с Икс и Z в основном образе L, тогда Y также является важным образом L. Учитывая такой функтор локализации Lсоответствующие т-структура определяется

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}_{\geq 0}&=\{A\colon LA\simeq 0\},\\{\mathcal {D}}_{\leq -1}&=\{A\colon LA\simeq A\}.\end{aligned}}}$

т-локализационные функторы также могут быть охарактеризованы в терминах морфизмов ж для которого Lf является эквивалентностью. Набор морфизмов S в ∞-категории ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ является квазинасыщенный если он содержит все эквивалентности, если любой 2-симплекс в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ с двумя невырожденными ребрами в S имеет третье невырожденное ребро в S, и если он устойчив при выталкивании. Если ${\displaystyle L\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}$ - функтор локализации, то множество S всех морфизмов ж для которого Lf является эквивалентностью квазинасыщенной. потом L это т-локализационный функтор тогда и только тогда, когда S - наименьшее квазизнасыщенное множество морфизмов, содержащее все морфизмы ${\displaystyle \{0\to X\colon LX\simeq 0\}}$.^[10]

Производная категория абелевой категории имеет несколько подкатегорий, соответствующих различным условиям ограниченности. А т-структуру на стабильной ∞-категории можно использовать для построения подобных подкатегорий. Конкретно,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}_{+}&=\bigcup _{n\in \mathbf {Z} }{\mathcal {C}}_{\leq n},\\{\mathcal {D}}_{-}&=\bigcup _{n\in \mathbf {Z} }{\mathcal {C}}_{\geq n},\\{\mathcal {D}}_{b}&={\mathcal {D}}_{+}\cap {\mathcal {D}}_{-}.\end{aligned}}}$

Это стабильные подкатегории ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. Один говорит, что ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ является ограниченный слева (относительно данного т-структура) если ${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}_{+}}$, ограниченный справа если ${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}_{-}}$, и ограниченный если ${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}_{b}}$.

Также возможно сформировать левое или правое завершение по отношению к т-структура. Это аналогично формальному примыканию к направленным пределам или направленным копределам. В осталось завершение ${\displaystyle {\hat {\mathcal {D}}}}$ из ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ является гомотопическим пределом диаграммы

${\displaystyle \cdots \to {\mathcal {D}}_{\leq 2}\ {\stackrel {\tau _{\leq 1}}{\to }}\ {\mathcal {D}}_{\leq 1}\ {\stackrel {\tau _{\leq 0}}{\to }}\ {\mathcal {D}}_{\leq 0}\ {\stackrel {\tau _{\leq -1}}{\to }}\ \cdots .}$

Правильное завершение определяется двойственно. Левое и правое пополнения сами по себе являются стабильными ∞-категориями, наследующими каноническую т-структура. Есть каноническая карта от ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ к любому из его пополнений, и это отображение т-точный. Мы говорим что ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ является осталось завершенным или же право завершено если каноническое отображение в его левое или правое пополнение соответственно является эквивалентностью.

Связанные понятия

Если требование ${\displaystyle D^{\leq 0}\subset D^{\leq 1}}$, ${\displaystyle D^{\geq 1}\subset D^{\geq 0};}$ заменяется противоположным включением

${\displaystyle D^{\leq 0}\supset D^{\leq 1}}$, ${\displaystyle D^{\geq 1}\supset D^{\geq 0},}$

а две другие аксиомы остались прежними, полученное понятие называется со-структура или же весовая структура.^[11]

Рекомендации

1. Beĭlinson, A. A .; Bernstein, J .; Делинь, П. Извращенцы Фейсо. Анализ и топология на особых пространствах, I (Luminy, 1981), 5–171, Astérisque, 100, Soc. Математика. Франция, Париж, 1982 г.
2. Бейлинсон, Бернштейн и Делинь, 1.3.22.
3. Бейлинсон, Бернштейн и Делинь, стр. 13.
4. Beĭlinson, A. A .; Bernstein, J .; Делинь, П. Фейсо извращенцы. Анализ и топология на особых пространствах, I (Luminy, 1981), 5–171, Astérisque, 100, Soc. Математика. Франция, Париж, 1982 год.
5. Беллинсон, А.А. О производной категории извращенных пучков. K-теория, арифметика и геометрия (Москва, 1984–1986), 27–41, Lecture Notes in Math., 1289, Springer, Berlin, 1987.
6. Бейлинсон, Александр; Гинзбург, Виктор; Зёргель, Вольфганг. Паттерны двойственности Кошуля в теории представлений. J. Amer. Математика. Soc. 9 (1996), нет. 2, 473–527.
7. Ханамура, Масаки. Смешанные мотивы и алгебраические циклы. III. Математика. Res. Lett. 6 (1999), нет. 1, 61–82.
8. Белигианнис, Апостолос; Рейтен, Идун. Гомологические и гомотопические аспекты теорий кручения. Mem. Амер. Математика. Soc. 188 (2007), нет. 883, viii + 207 с. Теорема III.2.3.
9. Бейлинсон, Бернштейн и Делинь, предложение 1.3.13.
10. Лурье, Высшая алгебра, предложение 1.2.1.16.
11. Бондарко, М.В. Весовые конструкции против т-образных конструкций; весовые фильтрации, спектральные последовательности и комплексы (по мотивам и вообще). J. K-Теория 6 (2010), вып. 3, 387–504.