Теорема лжи - Lies theorem

В математике, в частности в теории Алгебры Ли, Теорема Ли утверждает, что,^[1] над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, если ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ является конечномерным представление из разрешимая алгебра Ли, тогда ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$ стабилизирует флаг ${\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0,\operatorname {codim} V_{i}=i}$; «стабилизирует» означает ${\displaystyle \pi (X)V_{i}\subset V_{i}}$ для каждого ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ и я.

Другими словами, теорема утверждает, что есть основание для V такие, что все линейные преобразования в ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$ представлены верхнетреугольными матрицами.^[2] Это обобщение результата Фробениуса о том, что коммутирующие матрицы одновременно верхний треугольник, поскольку коммутирующие матрицы образуют абелева алгебра Ли, которая тем более разрешима.

Следствием теоремы Ли является то, что любая конечномерная разрешимая алгебра Ли над полем характеристики 0 имеет нильпотентный производная алгебра (видеть #Последствия ). Кроме того, каждому флагу в конечномерном векторном пространстве V, соответствуют Подалгебра Бореля (состоящие из линейных преобразований, стабилизирующих флаг); таким образом, теорема говорит, что ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$ содержится в некоторой борелевской подалгебре в ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$.^[1]

Контрпример

Для алгебраически замкнутых полей характеристики п> 0 Теорема Ли верна, если размерность представления меньше п (см. доказательство ниже), но может не работать для представлений размерности п. Пример дается 3-мерной нильпотентной алгеброй Ли, натянутой на 1, Икс, и d/dx действуя на п-мерное векторное пространство k[Икс]/(Икс^п), не имеющий собственных векторов. Взяв полупрямое произведение этой трехмерной алгебры Ли на п-мерное представление (рассматриваемое как абелева алгебра Ли) дает разрешимую алгебру Ли, производная алгебра которой не является нильпотентной.

Доказательство

Доказательство проводится индукцией по размерности ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и состоит из нескольких шагов. (Примечание: структура доказательства очень похожа на Теорема Энгеля.) Основной случай тривиален, и мы предполагаем размерность ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ положительный. Мы также предполагаем V не равно нулю. Для простоты запишем ${\displaystyle X\cdot v=\pi (X)v}$.

Шаг 1: Обратите внимание, что теорема эквивалентна утверждению:^[3]

• Существует вектор в V это собственный вектор для каждого линейного преобразования в ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$.

Действительно, в теореме, в частности, говорится, что ненулевой вектор, охватывающий ${\displaystyle V_{n-1}}$ является общим собственным вектором для всех линейных преобразований в ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$. Наоборот, если v - общий собственный вектор, возьмем ${\displaystyle V_{n-1}}$ к его промежутку, а затем ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$ допускает общий собственный вектор в частном ${\displaystyle V/V_{n-1}}$; повторить аргумент.

Шаг 2: Найдите идеал ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ коразмерности один в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Позволять ${\displaystyle D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ быть производная алгебра. С ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ разрешима и имеет положительную размерность, ${\displaystyle D{\mathfrak {g}}\neq {\mathfrak {g}}}$ и поэтому частное ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/D{\mathfrak {g}}}$ является ненулевой абелевой алгеброй Ли, которая заведомо содержит идеал коразмерности один и по идеальному соответствию соответствует идеалу коразмерности один в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Шаг 3: Существует некоторый линейный функционал ${\displaystyle \lambda }$ в ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ такой, что

${\displaystyle V_{\lambda }=\{v\in V|X\cdot v=\lambda (X)v,X\in {\mathfrak {h}}\}}$

отличен от нуля.

Это следует из индуктивного предположения (легко проверить, что собственные значения определяют линейный функционал).

Шаг 4: ${\displaystyle V_{\lambda }}$ это ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модуль.

(Обратите внимание, что этот шаг доказывает общий факт и не предполагает разрешимости.)

Позволять ${\displaystyle Y}$ быть в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, ${\displaystyle v\in V_{\lambda }}$ и установить рекурсивно ${\displaystyle v_{0}=v,\,v_{i+1}=Y\cdot v_{i}}$. Для любого ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$, поскольку ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ это идеал,

${\displaystyle X\cdot v_{i}=\lambda (X)v_{i}+\lambda ([X,Y])v_{i-1}}$.

Это говорит, что ${\displaystyle X}$ (то есть ${\displaystyle \pi (X)}$) ограниченный ${\displaystyle U=\operatorname {span} \{v_{i}|i\geq 0\}}$ представлена ​​матрицей с диагональю ${\displaystyle \lambda (X)}$ повторяется. Следовательно, ${\displaystyle \dim(U)\lambda ([X,Y])=\operatorname {tr} ([\pi (X)|_{U},\pi (Y)|_{U}])=0}$. С ${\displaystyle \dim(U)}$ обратима, ${\displaystyle \lambda ([X,Y])=0}$ и ${\displaystyle Y\cdot v}$ является собственным вектором для Икс.

Шаг 5: Завершите доказательство, найдя общий собственный вектор.

Написать ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+L}$ куда L - одномерное векторное подпространство. Поскольку базовое поле k алгебраически замкнуто, существует собственный вектор в ${\displaystyle V_{\lambda }}$ для некоторого (а значит, любого) ненулевого элемента из L. Поскольку этот вектор также является собственным вектором для каждого элемента ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, доказательство завершено. ${\displaystyle \square }$

Последствия

Теорема применима, в частности, к присоединенное представительство ${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$ (конечномерной) разрешимой алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$; таким образом, можно выбрать основу на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ относительно которого ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}$ состоит из верхнетреугольных матриц. Легко следует, что для каждого ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$, ${\displaystyle \operatorname {ad} ([x,y])=[\operatorname {ad} (x),\operatorname {ad} (y)]}$ имеет диагональ, состоящую из нулей; т.е. ${\displaystyle \operatorname {ad} ([x,y])}$ является нильпотентной матрицей. К Теорема Энгеля, это означает, что ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ это нильпотентная алгебра Ли; очевидно и обратное. Более того, является ли линейное преобразование нильпотентным или нет, можно определить после расширения базового поля до его алгебраического замыкания. Отсюда следует вывод:^[4]

Конечномерная алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ над полем нулевой характеристики разрешима тогда и только тогда, когда производная алгебра ${\displaystyle D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ нильпотентен.

Теорема Ли также устанавливает одно направление в Критерий разрешимости Картана: если V - конечномерный вектор над полем нулевой характеристики и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$ подалгебра Ли, то ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ разрешимо тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \operatorname {tr} (XY)=0}$ для каждого ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ и ${\displaystyle Y\in [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$.^[5]

Действительно, как и выше, после расширения базового поля импликация ${\displaystyle \Rightarrow }$ видно легко. (Обратное доказать труднее.)

Теорема Ли (для различных V) эквивалентно утверждению:^[6]

Для разрешимой алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, каждая конечномерная простая ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модуль (т.е. неприводимый как представление) имеет размерность один.

Действительно, из теоремы Ли ясно следует это утверждение. Наоборот, предположим, что утверждение верно. Учитывая конечномерную ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модуль V, позволять ${\displaystyle V_{1}}$ быть максимальным ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-подмодуль (существующий в силу конечности размерности). Тогда по максимальности ${\displaystyle V/V_{1}}$ это просто; таким образом, является одномерным. На этом индукция завершает доказательство.

В утверждении, в частности, говорится, что конечномерный простой модуль над абелева алгебра Ли одномерный; этот факт остается верным и без предположения, что основное поле имеет нулевую характеристику.^[7]

Вот еще одно весьма полезное приложение:^[8]

Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ - конечномерная алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики с радикальный ${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$. Тогда каждое конечномерное простое представление ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ это тензорное произведение простого представления ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$ с одномерным представлением ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ (т.е. линейный функционал, исчезающий на скобках Ли).

По теореме Ли можно найти линейный функционал ${\displaystyle \lambda }$ из ${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$ так что есть весовое пространство ${\displaystyle V_{\lambda }}$ из ${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$. По шагу 4 доказательства теоремы Ли ${\displaystyle V_{\lambda }}$ также ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модуль; так ${\displaystyle V=V_{\lambda }}$. В частности, для каждого ${\displaystyle X\in \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$, ${\displaystyle \operatorname {tr} (\pi (X))=\dim(V)\lambda (X)}$. Продлевать ${\displaystyle \lambda }$ к линейному функционалу на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ что исчезает на ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$; ${\displaystyle \lambda }$ тогда является одномерным представлением ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Сейчас же, ${\displaystyle (\pi ,V)\simeq (\pi ,V)\otimes (-\lambda )\otimes \lambda }$. С ${\displaystyle \pi }$ совпадает с ${\displaystyle \lambda }$ на ${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$у нас есть это ${\displaystyle V\otimes (-\lambda )}$ тривиально на ${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$ и, таким образом, является ограничением (простого) представления ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$. ${\displaystyle \square }$

Смотрите также

• Теорема Энгеля, что касается нильпотентная алгебра Ли.
• Теорема Ли – Колчина, которая представляет собой (связную) разрешимую линейную алгебраическую группу.

Рекомендации

1. Серр, Теорема 3 Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFSerre (помощь)
2. Хамфрис, Гл. II, п. 4.1., Следствие A. Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFHumphreys (помощь)
3. Серр, Теорема 3 ″ Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFSerre (помощь)
4. Хамфрис, Гл. II, п. 4.1., Следствие C. Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFHumphreys (помощь)
5. Серр, Теорема 4 Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFSerre (помощь)
6. Серр, Теорема 3 ' Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFSerre (помощь)
7. Якобсон, Гл. II, § 6, лемма 5. ошибка harvnb: нет цели: CITEREFJacobson (помощь)
8. Фултон и Харрис, Предложение 9.17. Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFultonHarris (помощь)

Источники

• Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. МИСТЕР  1153249. OCLC  246650103.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90053-7.
• Джейкобсон, Натан, Алгебры Ли, Переиздание оригинала 1962 года. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1979. ISBN  0-486-63832-4
• Жан-Пьер Серр: Комплексные полупростые алгебры Ли, Springer, Берлин, 2001. ISBN  3-5406-7827-1