Подалгебра Бореля - Borel subalgebra

В математике, особенно в теория представлений, а Подалгебра Бореля из Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ это максимальный разрешимый подалгебра.^[1] Понятие названо в честь Арман Борель.

Если алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является алгеброй Ли комплексная группа Ли, то борелевская подалгебра - это алгебра Ли Подгруппа Бореля.

Подалгебра Бореля, ассоциированная с флагом

Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}(V)}$ - алгебра Ли эндоморфизмов конечномерного векторного пространства V над комплексными числами. Затем, чтобы указать борелевскую подалгебру в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ суммы указать флаг из V; дан флаг ${\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0}$подпространство ${\displaystyle {\mathfrak {b}}=\{x\in {\mathfrak {g}}|x(V_{i})\subset V_{i},1\leq i\leq n\}}$ является борелевской подалгеброй,^[2] и наоборот, каждая борелевская подалгебра имеет такую ​​форму по формуле Теорема Ли. Следовательно, подалгебры Бореля классифицируются разновидность флага из V.

Подалгебра Бореля относительно базы корневой системы

Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ быть сложным полупростая алгебра Ли, ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ а Подалгебра Картана и р то корневая система связанные с ними. Выбор базы р дает понятие положительных корней. потом ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ имеет разложение ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {n}}^{-}\oplus {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}}$ где ${\displaystyle {\mathfrak {n}}^{\pm }=\sum _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\pm \alpha }}$. потом ${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}}$ является подалгеброй Бореля относительно вышеупомянутой установки.^[3] (Она разрешима, поскольку производная алгебра ${\displaystyle [{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]}$ нильпотентен. Максимально разрешима Теорема Бореля – Морозова. о сопряженности разрешимых подалгебр.^[4])

Учитывая ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модуль V, а примитивный элемент из V - (ненулевой) вектор, который (1) является весовым вектором для ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ и что (2) аннулируется ${\displaystyle {\mathfrak {n}}^{+}}$. Это то же самое, что и ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$-весовой вектор (Доказательство: если ${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$ и ${\displaystyle e\in {\mathfrak {n}}^{+}}$ с участием ${\displaystyle [h,e]=2e}$ и если ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\cdot v}$ это линия, тогда ${\displaystyle 0=[h,e]\cdot v=2e\cdot v}$.)

Смотрите также

• Подгруппа Бореля
• Параболическая алгебра Ли

использованная литература

1. Хамфрис, Глава XVI, § 3.
2. Серр, Гл I, § 6.
3. Серр, Глава VI, § 3.
4. Серр 2000, Гл. VI, § 3. Теорема 5. Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFSerre2000 (Помогите)

• Крисс, Нил; Гинзбург, Виктор (2009) [1997], Теория представлений и комплексная геометрия, Спрингер, ISBN  978-0-8176-4938-8.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90053-7.
• Серр, Жан-Пьер (2000), Полупростые комплексы Альжебра де Ли [Комплексные полупростые алгебры Ли], переведенный Джонс, Г. А., Спрингер, ISBN  978-3-540-67827-4.