Разрешимая алгебра Ли - Solvable Lie algebra

В математика, а Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является разрешимый если его производный ряд оканчивается нулевой подалгеброй. В производная алгебра Ли алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является подалгеброй ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, обозначенный

${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$

который состоит из всех линейных комбинаций Скобки лжи пар элементов ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. В производный ряд последовательность подалгебр

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\geq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\geq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq ...}$

Если производный ряд в конце концов приходит к нулевой подалгебре, то алгебра Ли называется разрешимой.^[1] Производный ряд для алгебр Ли аналогичен производный ряд за коммутаторные подгруппы в теория групп.

Любой нильпотентная алгебра Ли является a fortiori разрешимо, но обратное неверно. Разрешаемые алгебры Ли и полупростые алгебры Ли образуют два больших и обычно дополняющих друг друга класса, как показано Разложение Леви.

Максимальная разрешимая подалгебра называется Подалгебра Бореля. Наибольшая решаемая идеальный алгебры Ли называется радикальный.

Характеристики

Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ - конечномерная алгебра Ли над полем характеристика 0. Следующие варианты эквивалентны.

• (я) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ разрешима.
• (ii) ${\displaystyle {\rm {ad}}({\mathfrak {g}})}$, то присоединенное представительство из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, разрешима.
• (iii) Существует конечная последовательность идеалов ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$:

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{r}=0,\quad [{\mathfrak {a}}_{i},{\mathfrak {a}}_{i}]\subset {\mathfrak {a}}_{i+1}\,\,\forall i.}$

• (iv) ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ нильпотентен.^[2]
• (v) Для ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle n}$-мерной существует конечная последовательность подалгебр ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$:

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{n}=0,\quad \operatorname {dim} {\mathfrak {a}}_{i}/{\mathfrak {a}}_{i+1}=1\,\,\forall i,}$

с каждым ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i+1}}$ идеал в ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$.^[3] Последовательность такого типа называется элементарная последовательность.

• (vi) Существует конечная последовательность подалгебр ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$,

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset ...{\mathfrak {g}}_{r}=0,}$

такой, что ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i+1}}$ идеал в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}/{\mathfrak {g}}_{i+1}}$ абелева.^[4]

• (vii) Форма убийства ${\displaystyle B}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ удовлетворяет ${\displaystyle B(X,Y)=0}$ для всех Икс в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и Y в ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$.^[5] Это Критерий разрешимости Картана.

Характеристики

Теорема Ли заявляет, что если ${\displaystyle V}$ - конечномерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем характеристика ноль, и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является разрешимой алгеброй Ли, и если ${\displaystyle \pi }$ это представление из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ над ${\displaystyle V}$, то существует одновременный собственный вектор ${\displaystyle v\in V}$ эндоморфизмов ${\displaystyle \pi (X)}$ для всех элементов ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$.^[6]

• Всякая подалгебра Ли и фактор разрешимой алгебры Ли разрешимы.^[7]
• Для данной алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и идеал ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ в этом,

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ разрешимо тогда и только тогда, когда оба ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$ разрешимы.^[7][8]

Аналогичное утверждение верно для нильпотентных алгебр Ли при условии ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ содержится в центре. Таким образом, расширение разрешимой алгебры разрешимой алгеброй разрешимо, а центральный расширение нильпотентной алгебры нильпотентной алгеброй нильпотентно.

• У разрешимой ненулевой алгебры Ли есть ненулевой абелев идеал, последний ненулевой член производного ряда.^[8]
• Если ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}}$ являются разрешимыми идеалами, то и ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$.^[1] Следовательно, если ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ конечномерно, то существует единственный разрешимый идеал ${\displaystyle {\mathfrak {r}}\subset {\mathfrak {g}}}$ содержащий все разрешимые идеалы в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Этот идеал - радикальный из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.^[8]
• Разрешаемая алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ имеет уникальный наибольший нильпотентный идеал ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$, набор всех ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ такой, что ${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$ нильпотентен. Если D есть ли какой-либо вывод ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, тогда ${\displaystyle D({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {n}}}$.^[9]

Вполне разрешимые алгебры Ли

Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ называется полностью решаемый или же разделить разрешимый если он имеет элементарную последовательность {(V) как определение выше} идеалов в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ из ${\displaystyle 0}$ к ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Конечномерная нильпотентная алгебра Ли вполне разрешима, а вполне разрешимая алгебра Ли разрешима. Над алгебраически замкнутым полем разрешимая алгебра Ли вполне разрешима, но ${\displaystyle 3}$-мерная вещественная алгебра Ли группы евклидовых изометрий плоскости разрешима, но не разрешима полностью.

Разрешаемая алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ расщепляемо разрешимо тогда и только тогда, когда собственные значения ${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$ находятся в ${\displaystyle k}$ для всех ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.^[8]

Примеры

Абелевы алгебры Ли

Каждый абелева алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ разрешима по определению, так как его коммутатор ${\displaystyle [{\mathfrak {a}},{\mathfrak {a}}]=0}$. Сюда входит алгебра Ли диагональных матриц в ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$, которые имеют вид

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&0&0\\0&*&0\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

за ${\displaystyle n=3}$. Структура алгебры Ли на векторном пространстве ${\displaystyle V}$ заданный тривиальной скобкой ${\displaystyle [m,n]=0}$ для любых двух матриц ${\displaystyle m,n\in {\text{End}}(V)}$ приводит другой пример.

Нильпотентные алгебры Ли

Другой класс примеров взят из нильпотентные алгебры Ли поскольку присоединенное представление разрешимо. Некоторые примеры включают верхнодиагональные матрицы, такие как класс матриц вида

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}0&*&*\\0&0&*\\0&0&0\end{bmatrix}}\right\}}$

называется алгеброй Ли строго верхнетреугольные матрицы. Кроме того, алгебра Ли верхние диагональные матрицы в ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$ образуют разрешимую алгебру Ли. Сюда входят матрицы вида

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

и обозначается ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}}$.

Решаемо, но не разрешимо

Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ - множество матриц вида

${\displaystyle X=\left({\begin{matrix}0&\theta &x\\-\theta &0&y\\0&0&0\end{matrix}}\right),\quad \theta ,x,y\in \mathbb {R} .}$

потом ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ разрешимо, но не разрешимо.^[8] Она изоморфна алгебре Ли группы сдвигов и поворотов на плоскости.

Не пример

А полупростая алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$ никогда не разрешимо, поскольку его радикальный ${\displaystyle {\text{Rad}}({\mathfrak {l}})}$, который является наибольшим разрешимым идеалом в ${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$, тривиально.^{[1] стр.11}

Разрешаемые группы Ли

Поскольку термин «разрешимый» также используется для разрешимые группы в теория групп, есть несколько возможных определений разрешимая группа Ли. Для Группа Ли ${\displaystyle G}$, есть

• прекращение обычного производный ряд группы ${\displaystyle G}$ (как абстрактная группа);
• прекращение закрытия производной серии;
• имеющий разрешимую алгебру Ли

Смотрите также

• Критерий Картана
• Форма убийства
• Теорема Ли-Колчина
• Сольвмногообразие
• Отображение Диксмье

внешняя ссылка

• Статья EoM Алгебра Ли, разрешимая
• Статья EoM Группа Ли, разрешимая

Примечания

1. Хамфрис 1972
2. Кнапп 2002 Предложение 1.39.
3. Кнапп 2002 Предложение 1.23.
4. Фултон и Харрис 1991
5. Кнапп 2002 Предложение 1.46.
6. Кнапп 2002 Теорема 1.25.
7. Серр, Гл. I, § 6, определение 2. Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFSerre (помощь)
8. Кнапп 2002
9. Кнапп 2002 Предложение 1.40.

Рекомендации

• Фултон, В.; Харрис, Дж. (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-97527-6. МИСТЕР  1153249.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений. Тексты для выпускников по математике. 9. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90053-5.
• Кнапп, А.В. (2002). Группы лжи за пределами введения. Успехи в математике. 120 (2-е изд.). Бостон · Базель · Берлин: Birkhäuser. ISBN  0-8176-4259-5..
• Жан-Пьер Серр: Комплексные полупростые алгебры Ли, Springer, Berlin, 2001. ISBN  3-5406-7827-1