Критерий Картанса - Cartans criterion

В математика, Критерий Картана дает условия для Алгебра Ли в характеристике 0 быть разрешимый, откуда следует родственный критерий того, что алгебра Ли полупростой. Он основан на понятии Форма убийства, а симметричная билинейная форма на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ определяется формулой

{ Displaystyle В (и, v) = OperatorName {tr} ( Operatorname {ad} (u) OperatorName {ad} (v)),}

где tr обозначает след линейного оператора. Критерий был введен Эли Картан (1894 ).^[1]

Критерий разрешимости Картана

Критерий Картана гласит:

Подалгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ эндоморфизмов конечномерного векторного пространства над поле из характеристика ноль разрешимо тогда и только тогда, когда ${ displaystyle operatorname {tr} (ab) = 0}$ в любое время ${ displaystyle a in { mathfrak {g}}, b in [{ mathfrak {g}}, { mathfrak {g}}].}$

Дело в том, что ${ displaystyle operatorname {tr} (ab) = 0}$ в разрешимом случае следует из Теорема Ли это ставит ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ в верхнем треугольнике над алгебраическим замыканием основного поля (след можно вычислить после расширения основного поля). Обратное можно вывести из критерий нильпотентности на основе Разложение Жордана – Шевалле (для доказательства перейдите по ссылке).

Применение критерия Картана к присоединенному представлению дает:

Конечномерная алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ через поле из характеристика ноль разрешимо тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle К ({ mathfrak {g}}, [{ mathfrak {g}}, { mathfrak {g}}]) = 0}$ (где K - форма Киллинга).

Критерий Картана полупростоты

Критерий Картана для полупростоты утверждает:

Конечномерная алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ через поле из характеристика ноль полупроста тогда и только тогда, когда форма Киллинга невырожденный.

Жан Дьедонне (1953 ) дал очень короткое доказательство того, что если конечномерная алгебра Ли (в любой характеристике) имеет невырожденная инвариантная билинейная форма и никаких ненулевых абелевых идеалов, и, в частности, если его форма Киллинга невырождена, то это сумма простых алгебр Ли.

Наоборот, из критерия разрешимости Картана легко следует, что полупростая алгебра (в характеристике 0) имеет невырожденную форму Киллинга.

Примеры

Критерии Картана не имеют характеристики ${ displaystyle p> 0}$ ; Например:

алгебра Ли ${ displaystyle operatorname {SL} _ {p} (k)}$ просто, если k имеет характеристику, отличную от 2, и имеет исчезающую форму Киллинга, хотя имеет ненулевую инвариантную билинейную форму, заданную формулой ${ displaystyle (a, b) = operatorname {tr} (ab)}$ .
алгебра Ли с базисом ${ displaystyle a_ {n}}$ за ${ Displaystyle п в mathbb {Z} / p mathbb {Z}}$ и скобка [а_я,а_j] = (я−j)а_я+j просто для ${ displaystyle p> 2}$ но не имеет ненулевой инвариантной билинейной формы.
Если k имеет характеристику 2, то полупрямое произведение gl₂(k).k² является разрешимой алгеброй Ли, но форма Киллинга не является тождественно нулевой на производной алгебре sl₂(k).k².

Если конечномерная алгебра Ли нильпотентна, то форма Киллинга тождественно равна нулю (и вообще форма Киллинга равна нулю на любом нильпотентном идеале). Обратное неверно: существуют ненильпотентные алгебры Ли, у которых форма Киллинга равна нулю. Примером является полупрямое произведение абелевой алгебры Ли V с одномерной алгеброй Ли, действующей на V как эндоморфизм б такой, что б не является нильпотентным и Tr (б²)=0.

В характеристике 0 любая редуктивная алгебра Ли (представляющая собой сумму абелевой и простой алгебр Ли) имеет невырожденную инвариантную симметрическую билинейную форму. Однако обратное неверно: алгебра Ли с невырожденной инвариантной симметрической билинейной формой не обязательно должна быть суммой простых и абелевых алгебр Ли. Типичный контрпример: грамм = L[т]/т^пL[т] куда п>1, L простая комплексная алгебра Ли с билинейной формой (,), а билинейная форма на грамм дается как коэффициент при т^п−1 из C[т] -значная билинейная форма на грамм индуцированный формой на L. Билинейная форма невырождена, но алгебра Ли не является суммой простых и абелевых алгебр Ли.

Примечания

^ Картан, Чапитр IV, Теорема 1

Смотрите также

Модулярная алгебра Ли

[1] Картан, Чапитр IV, Теорема 1

[1]