Субаддитивность - Subadditivity

В математика, субаддитивность - это свойство функции, которое, грубо говоря, оценивает функцию как сумму двух элементы из домен всегда возвращает что-то меньшее или равное сумме значений функции для каждого элемента. Существует множество примеров субаддитивных функций в различных областях математики, в частности нормы и квадратные корни. Аддитивные карты являются частными случаями субаддитивных функций.

Определения

Субаддитивная функция - это функция ${\displaystyle f\colon A\to B}$, иметь домен А и упорядоченный codomain B это оба закрыто дополнительно, со следующим свойством:

${\displaystyle \forall x,y\in A,f(x+y)\leq f(x)+f(y).}$

Примером может служить квадратный корень функция, имеющая неотрицательный действительные числа как домен и кодомен, поскольку ${\displaystyle \forall x,y\geq 0}$ у нас есть:

${\displaystyle {\sqrt {x+y}}\leq {\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}.}$

А последовательность ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\},n\geq 1}$, называется субаддитив если он удовлетворяет неравенство

${\displaystyle (1)\qquad a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}}$

для всех м и п. Это частный случай субаддитивной функции, если последовательность интерпретируется как функция на множестве натуральных чисел.

Характеристики

Последовательности

Полезный результат, относящийся к субаддитивным последовательностям, следующий: лемма из-за Майкл Фекете.^[1]

Субаддитивная лемма Фекете: Для каждой субаддитивной последовательности ${\displaystyle {\left\{a_{n}\right\}}_{n=1}^{\infty }}$, то предел ${\displaystyle \displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}}$ существует и равен инфимум ${\displaystyle \inf {\frac {a_{n}}{n}}}$. (Предел может быть ${\displaystyle \pm \infty }$.)

Аналог леммы Фекете верен и для супераддитивных последовательностей, а именно:${\displaystyle a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}.}$ (Тогда предел может быть положительной бесконечностью: рассмотрим последовательность ${\displaystyle a_{n}=\log n!}$.)

Существуют расширения леммы Фекете, которые не требуют выполнения неравенства (1) для всех м и п, но только для м и п такой, что ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\leq {\frac {m}{n}}\leq 2.}$ Кроме того, условие ${\displaystyle a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}}$ может быть ослаблен следующим образом: ${\displaystyle a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}+\phi (n+m)}$ при условии, что ${\displaystyle \phi }$ - возрастающая функция такая, что интеграл ${\displaystyle \int \phi (t)t^{-2}\,dt}$ сходится (около бесконечности).^[2]

Существуют также результаты, которые позволяют вывести скорость сходимости к пределу, существование которого указано в лемме Фекете, если оба вида супераддитивность и субаддитивность присутствует.^[3][4]

Кроме того, аналоги леммы Фекете доказаны для субаддитивных вещественных отображений (с дополнительными предположениями) из конечных подмножеств аменабельной группы ^[5][6],^[7]и, кроме того, сокращающейся левоаменабельной полугруппы.^[8]

Функции

Теорема:^[9] Для каждого измеримый субаддитивная функция ${\displaystyle f:(0,\infty )\to \mathbb {R} ,}$ Лимит ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {f(t)}{t}}}$ существует и равно ${\displaystyle \inf _{t>0}{\frac {f(t)}{t}}.}$ (Предел может быть ${\displaystyle -\infty .}$)

Если ж является субаддитивной функцией, и если 0 находится в ее области определения, то ж(0) ≥ 0. Чтобы убедиться в этом, возьмем неравенство вверху. ${\displaystyle f(x)\geq f(x+y)-f(y)}$. Следовательно ${\displaystyle f(0)\geq f(0+y)-f(y)=0}$

А вогнутая функция ${\displaystyle f:[0,\infty )\to [0,\infty )}$ с ${\displaystyle f(0)\geq 0}$ также субаддитивен. Чтобы убедиться в этом, сначала заметим, что ${\displaystyle f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)}$. Затем, глядя на сумму этой оценки для ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle f(y)}$, окончательно проверит, что ж является субаддитивным.^[10]

Отрицательным элементом субаддитивной функции является супераддитив.

Примеры в различных областях

Энтропия

Энтропия играет фундаментальную роль в теория информации и статистическая физика, а также в квантовая механика в обобщенной постановке за счет фон Нейман.Энтропия всегда появляется как субаддитивная величина во всех ее формулировках, что означает, что энтропия надсистемы или совокупности множеств случайных величин всегда меньше или равна сумме энтропий ее отдельных компонентов. Кроме того, энтропия в физике удовлетворяет нескольким требованиям. более строгие неравенства, такие как сильная субаддитивность энтропии в классической статистической механике и ее квантовый аналог.

Экономика

Субаддитивность - существенное свойство некоторых частных функции затрат. Это, как правило, необходимое и достаточное условие для проверки естественная монополия. Это означает, что производство только одной фирмы является социально менее дорогостоящим (с точки зрения средних затрат), чем производство части первоначального количества равным числом фирм.

Эффект масштаба представлены субаддитивом Средняя стоимость функции.

За исключением дополнительных товаров, цена товара (как функция количества) должна быть субаддитивной. В противном случае, если сумма стоимости двух предметов дешевле, чем стоимость связки из двух из них вместе, тогда никто никогда не купит этот набор, что фактически приведет к тому, что цена набора «станет» суммой цен два отдельных элемента. Тем самым доказывая, что это недостаточное условие для естественной монополии; поскольку единица обмена может не соответствовать фактической стоимости предмета. Эта ситуация знакома каждому на политической арене, где некоторое меньшинство утверждает, что потеря определенной свободы на определенном уровне правительства означает, что многие правительства стали лучше; в то время как большинство утверждает, что существует другая правильная единица стоимости.^{[нужна цитата ]}

Финансы

Субаддитивность - одно из желательных свойств согласованные меры риска в управление рисками^[11]. Экономическая интуиция, лежащая в основе субаддитивности меры риска, заключается в том, что подверженность риску портфеля должна, в худшем случае, просто равняться сумме подверженности риску отдельных позиций, составляющих портфель. В любом другом случае эффекты диверсификация приведет к тому, что размер подверженности портфеля будет меньше суммы индивидуальных рисков. Отсутствие субаддитивности - одна из основных критических замечаний VaR модели, которые не основываются на предположении нормальность факторов риска. Гауссов VaR обеспечивает субаддитивность: например, гауссовский VaR портфеля с двумя унитарными длинными позициями ${\displaystyle V}$ на уровне уверенности ${\displaystyle 1-p}$ при условии, что среднее изменение стоимости портфеля равно нулю, а VaR определяется как отрицательный убыток,

${\displaystyle {\text{VaR}}_{p}\equiv z_{p}\sigma _{\Delta V}=z_{p}{\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho _{xy}\sigma _{x}\sigma _{y}}}}$

куда ${\displaystyle z_{p}}$ инверсия нормального кумулятивная функция распределения на уровне вероятности ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle \sigma _{x}^{2},\sigma _{y}^{2}}$ отклонения по доходности отдельных позиций и ${\displaystyle \rho _{xy}}$ это мера линейной корреляции между двумя отдельными позициями возвращается. С отклонение всегда положительный,

${\displaystyle {\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho _{xy}\sigma _{x}\sigma _{y}}}\leq \sigma _{x}+\sigma _{y}}$

Таким образом, гауссовский VaR субаддитивен для любого значения ${\displaystyle \rho _{xy}\in [-1,1]}$ и, в частности, он равен сумме индивидуальных рисков, когда ${\displaystyle \rho _{xy}=1}$ что в случае отсутствия влияния диверсификации на риск портфеля.

Термодинамика

Субаддитивность проявляется в термодинамических свойствах не-идеальные решения и смеси, такие как избыточный молярный объем и теплота смешивания или избыточная энтальпия.

Комбинаторика слов

Факториал язык ${\displaystyle L}$ это тот, где если слово в ${\displaystyle L}$, то все факторы этого слова также находятся в ${\displaystyle L}$. В комбинаторике слов распространенной проблемой является определение числа ${\displaystyle A(n)}$ длины${\displaystyle n}$ слова в факторном языке. Четко ${\displaystyle A(m+n)\leq A(m)A(n)}$, так ${\displaystyle \log A(n)}$ субаддитивна, поэтому лемму Фекете можно использовать для оценки роста ${\displaystyle A(n)}$. ^[12]

Смотрите также

• Неравенство треугольника
• Супераддитивность
• Интеграл Шоке
• Видимое молярное свойство

Примечания

1. Фекете, М. (1923). "Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten". Mathematische Zeitschrift. 17 (1): 228–249. Дои:10.1007 / BF01504345.
2. de Bruijn, N.G ​​.; Эрдеш, П. (1952). «Некоторые линейные и некоторые квадратичные рекурсивные формулы. II». Nederl. Акад. Wetensch. Proc. Сер. А. 55: 152–163. Дои:10.1016 / S1385-7258 (52) 50021-0. (Такой же как Indagationes Math. 14.) См. Также Стил 1997, теорема 1.9.2.
3. Майкл Дж. Стил. «Теория вероятностей и комбинаторная оптимизация». СИАМ, Филадельфия (1997). ISBN  0-89871-380-3.
4. Майкл Дж. Стил (2011). Лекции CBMS по теории вероятностей и комбинаторной оптимизации. Кембриджский университет.
5. Линденштраус, Илон; Вайс, Бенджамин (2000). «Средняя топологическая размерность». Израильский математический журнал. 115 (1): 1–24. CiteSeerX  10.1.1.30.3552. Дои:10.1007 / BF02810577. ISSN  0021-2172. Теорема 6.1.
6. Орнштейн, Дональд С .; Вайс, Бенджамин (1987). «Теоремы об энтропии и изоморфизме действий аменабельных групп». Журнал д'анализа математика. 48 (1): 1–141. Дои:10.1007 / BF02790325. ISSN  0021-7670.
7. Громов, Миша (1999). "Топологические инварианты динамических систем и пространств голоморфных отображений: I". Математическая физика, анализ и геометрия. 2 (4): 323–415. Дои:10.1023 / А: 1009841100168. ISSN  1385-0172.
8. Чекерини-Зильберштейн, Туллио; Кригер, Фабрис; Coornaert, Мишель (2014). «Аналог леммы Фекете для субаддитивных функций на сокращаемых аменабельных полугруппах». J. Anal. Математика. 124: 59–81. arXiv:1209.6179. Дои:10.1007 / s11854-014-0027-4. Теорема 1.1.
9. Хилле, 1948 г., теорема 6.6.1. (Измеримость оговаривается в Разделе 6.2 «Предварительные условия».)
10. Шехтер, Эрик (1997). Справочник по анализу и его основам. Сан-Диего: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4., стр.314,12.25
11. Рау-Бредов, Х. (2019). «Больше не всегда безопаснее: критический анализ допущения субаддитивности для согласованных мер риска». Риски. 7 (3): 91. Дои:10.3390 / риски7030091.
12. Шур, Арсений (2012). «Свойства роста безвластных языков». Обзор компьютерных наук. 6 (5–6): 187–208. Дои:10.1016 / j.cosrev.2012.09.001.

Рекомендации

• Дьёрдь Полиа и Габор Сегу. «Проблемы и теоремы анализа, том 1». Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк (1976). ISBN  0-387-05672-6.
• Эйнар Хилле. "Функциональный анализ и полугруппы ". Американское математическое общество, Нью-Йорк (1948 г.).
• Н.Х. Бингхэм, А.Дж. Осташевский. «Общие субаддитивные функции». Труды Американского математического общества, т. 136, нет. 12 (2008), стр. 4257–4266.

внешняя ссылка

В эту статью включены материалы из субаддитивных PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.