Кватернион Гурвица - Hurwitz quaternion

В математика, а Гурвиц кватернион (или же Целое число Гурвица) это кватернион компоненты которого либо все целые числа или же все полуцелые числа (половинки нечетного целого; смесь целых и полуцелых чисел исключена). Набор всех кватернионов Гурвица равен

${\displaystyle H=\left\{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} \;{\mbox{ or }}\,a,b,c,d\in \mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\right\}.}$

То есть либо а, б, c, d все являются целыми или полуцелыми числами.ЧАС замкнут относительно умножения и сложения кватернионов, что делает его подкольцо из звенеть всех кватернионов ЧАС. Кватернионы Гурвица были введены Гурвиц  (1919 ).

А Кватернион Липшица (или же Целое число Липшица) - кватернион, все компоненты которого целые числа. Множество всех кватернионов Липшица

${\displaystyle L=\left\{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} \right\}}$

образует подкольцо кватернионов Гурвица ЧАС. Целые числа Гурвица имеют преимущество перед целыми числами Липшица в том, что их можно выполнять Евклидово деление на них, получив небольшой остаток.

И кватернионы Гурвица и Липшица являются примерами некоммутативный домены которые не делительные кольца.

Структура кольца кватернионов Гурвица

24 кватернионных элемента бинарная тетраэдрическая группа, видно в проекции:
* 1 заказ-1: 1
* 1 заказ-2: -1
* 6 порядок-4: ± i, ± j, ± k
* 8 порядок-6: (+ 1 ± i ± j ± k) / 2
* 8 порядок-3: (-1 ± i ± j ± k) / 2.

В качестве добавки группа, ЧАС является свободный абелевский с генераторами {(1 + я + j + k)/2, я, j, k}. Таким образом, он образует решетка в р⁴. Эта решетка известна как F₄ решетка так как это корневая решетка из полупростая алгебра Ли F₄. Кватернионы Липшица L образуют подрешетку индекса 2 ЧАС.

В группа единиц в L это порядок 8 группа кватернионов Q = {±1, ±я, ±j, ±k}. В группа единиц в ЧАС неабелева группа порядка 24, известная как бинарная тетраэдрическая группа. Элементы этой группы включают 8 элементов Q вместе с 16 кватернионами {(±1 ± я ± j ± k)/2}, где знаки могут быть взяты в любом сочетании. Группа кватернионов - это нормальная подгруппа бинарной тетраэдрической группы U (ЧАС). Элементы U (ЧАС), которые все имеют норму 1, образуют вершины 24-элементный вписанный в 3-сфера.

Кватернионы Гурвица образуют порядок (в смысле теория колец ) в делительное кольцо кватернионов с рациональный составные части. На самом деле это максимальный порядок; это объясняет его важность. Кватернионы Липшица, которые являются наиболее очевидным кандидатом на идею интегральный кватернион, также формируем заказ. Однако этот последний порядок не является максимальным и поэтому (как выясняется) менее пригоден для развития теории левые идеалы сравнимо с алгебраическая теория чисел. Что Адольф Гурвиц Таким образом, было понятно, что это определение интегрального кватерниона Гурвица является лучшим для работы. Для некоммутативного кольца типа ЧАС, максимальные порядки не обязательно должны быть уникальными, поэтому необходимо зафиксировать максимальный порядок, перенеся понятие алгебраическое целое число.

Решетка кватернионов Гурвица

В (арифметическая или полевая) норма кватерниона Гурвица а + би + cj + dk, данный а² + б² + c² + d², всегда целое число. Автор теорема Лагранжа каждое неотрицательное целое число можно записать как сумму не более четырех квадраты. Таким образом, каждое неотрицательное целое число является нормой некоторого липшицевого (или гурвицевского) кватерниона. Точнее, число c(п) кватернионов Гурвица заданной положительной нормы п в 24 раза больше суммы нечетных делителей п. Производящая функция чисел c(п) задается модульной формой веса 2 уровня 2

${\displaystyle 2E_{2}(2\tau )-E_{2}(\tau )=\sum _{n}c(n)q^{n}=1+24q+24q^{2}+96q^{3}+24q^{4}+144q^{5}+\cdots }$ OEIS: A004011

куда

${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

и

${\displaystyle E_{2}(\tau )=1-24\sum _{n}\sigma _{1}(n)q^{n}}$

ряд Эйзенштейна уровня 1 веса 2 (который является квазимодулярная форма ) и σ₁(п) - сумма делителей п.

Факторизация на неприводимые элементы

Целое число Гурвица называется неприводимым, если оно не равно 0 или единице и не является произведением неединиц. Целое число Гурвица неприводимо тогда и только тогда, когда его норма простое число. Неприводимые кватернионы иногда называют первичными кватернионами, но это может ввести в заблуждение, поскольку они не простые числа в обычном смысле коммутативной алгебры: неприводимый кватернион может делить произведение ab не разделяя ни а или же б. Каждый кватернион Гурвица можно разложить на множители как продукт неприводимых кватернионов. Эта факторизация, как правило, не уникальна, даже с точностью до единиц и порядка, потому что положительное нечетное простое число п можно записать в 24 (п+1) способов как произведение двух неприводимых кватернионов Гурвица нормы п, а для больших п все они не могут быть эквивалентны при левом и правом умножении на единицы, так как их всего 24 единицы. Однако если исключить этот случай, то существует вариант уникальной факторизации. Точнее, каждый кватернион Гурвица может быть записан однозначно как произведение положительного целого числа и примитивного кватерниона (кватерниона Гурвица, не делимого на любое целое число больше 1). Факторизация примитивного кватерниона на неприводимые элементы уникальна до порядка и единиц в следующем смысле: если

п₀п₁...п_п

и

q₀q₁...q_п

представляют собой две факторизации некоторого примитивного кватерниона Гурвица на неприводимые кватернионы, где п_k имеет ту же норму, что и q_k для всех k, тогда

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{0}&=p_{0}u_{1}\\q_{1}&=u_{1}^{-1}p_{1}u_{2}\\&\,\,\,\vdots \\q_{n}&=u_{n}^{-1}p_{n}\end{aligned}}}$

для некоторых единиц ты_k.

Деление с остатком

Обычные действительные целые числа и Гауссовские целые числа разрешить деление с остатком или Евклидово деление.Для положительных целых чисел N и D, всегда есть частное Q и неотрицательный остаток р такой, что

• N = QD + р куда р < D.

Для комплексных или гауссовских целых чисел N = а + яб и D = c + яd, с нормой N (D)> 0 всегда существуют Q = п + яq и р = р + яs такой, что

• N = QD + р, где N (р) D).

Однако для целых чисел Липшица N = (а, б, c, d) и D = (е, ж, грамм, час) может случиться так, что N (р) = N (D). Это мотивировало переход на целые числа Гурвица, для которых условие N (р) D) гарантировано.^[1]

Многие алгоритмы зависят от деления с остатком, например, Алгоритм Евклида для наибольшего общего делителя.

Смотрите также

• Целое гауссово
• Целое число Эйзенштейна
• В икозианцы
• Группа Ли F₄
• В E₈ решетка

Рекомендации

1. Конвей и Смит 2003, п. 56

• Конвей, Джон Хортон; Смит, Дерек А. (2003). О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия. А.К. Питерс. ISBN  1-56881-134-9.
• Гурвиц, Адольф (2013) [1919]. Vorlesungen Über die Zahlentheorie der Quaternionen. Springer-Verlag. ISBN  978-3-642-47536-8. JFM  47.0106.01.