Корень квадратный из 5 - Square root of 5

Список номеров Иррациональные числа ζ(3) √2 √3 √5 φ е π
Двоичный	10.0011110001101110…
Десятичный	2.23606797749978969…
Шестнадцатеричный	2.3C6EF372FE94F82C…
Непрерывная дробь	${\displaystyle 2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+\ddots }}}}}}}}}$

В квадратный корень из 5 положительный настоящий номер что при умножении на себя дает простое число 5. Это более точно называется главный квадратный корень из 5, чтобы отличить его от отрицательного числа с таким же свойством. Это число появляется в дробном выражении для Золотое сечение. Его можно обозначить как сурд форма как:

${\displaystyle {\sqrt {5}}.\,}$

Это иррациональный алгебраическое число.^[1] Первые шестьдесят значащих цифр его десятичное разложение находятся:

2.23606797749978969640917366873127623544061835961152572427089… (последовательность A002163 в OEIS ).

которое можно округлить до 2,236 с точностью 99,99%. Приближение 161/72 (≈ 2,23611) для квадратного корня из пяти можно использовать. Несмотря на наличие знаменатель всего 72, оно отличается от правильного менее чем на 1/10,000 (прибл. 4.3×10⁻⁵). По состоянию на ноябрь 2019 года его числовое значение в десятичном формате было рассчитано как минимум до 2000000000000 цифр.^[2]

Доказательства иррациональности

1. Это доказательство иррациональности квадратного корня из 5 использует Ферма метод бесконечный спуск:

Предположим, что √5 является рациональным, и выразить его в минимально возможных терминах (то есть как полностью восстановленная фракция ) в качестве м/п для натуральных чисел м и п. потом √5 можно выразить в более низких терминах как 5п − 2м/м − 2п, что противоречит.^[3] (Два дробных выражения равны, потому что приравнивание их, перекрестное умножение и сокращение, как аддитивные члены, дают 5п² = м² и м/п = √5, что верно в силу предположения. Второе дробное выражение для √5 находится в более низком выражении, поскольку, сравнивая знаменатели, м − 2п < п поскольку м < 3п поскольку м/п < 3 поскольку √5 < 3. И числитель, и знаменатель второго дробного выражения положительны, поскольку 2 < √5 < 5/2 и м/п = √5.)

2. Это доказательство иррациональности также является доказательство от противного:

Предположим, что √5 = а/б куда а/б находится в сокращенном виде.

Таким образом 5 = а²/б² и 5б² = а². Если б мы квиты, б², а², и а будет даже сделать дробь а/б нет в сокращенном виде. Таким образом б является нечетным, и, следуя аналогичной процедуре, а странно.

Теперь позвольте а = 2м + 1 и б = 2п + 1 куда м и п целые числа.

Подставляя в 5б² = а² мы получили:

${\displaystyle 5(2n+1)^{2}=(2m+1)^{2}}$

что упрощает:

${\displaystyle 5\left(4n^{2}+4n+1\right)=4m^{2}+4m+1}$

изготовление:

${\displaystyle 20n^{2}+20n+5=4m^{2}+4m+1}$

Вычитая 1 из обеих частей, получаем:

${\displaystyle 20n^{2}+20n+4=4m^{2}+4m}$

что сводится к:

${\displaystyle 5n^{2}+5n+1=m^{2}+m}$

Другими словами:

${\displaystyle 5n(n+1)+1=m(m+1)}$

Выражение Икс(Икс + 1) даже для любого целого числа Икс (поскольку либо Икс или же Икс + 1 даже). Так это говорит, что 5 × четное + 1 = четное, или же odd = четный. Поскольку не существует одновременно четного и нечетного целого числа, мы пришли к противоречию и √5 иррационально.

Непрерывная дробь

Его можно выразить как непрерывная дробь

${\displaystyle [2;4,4,4,4,4,\ldots ]=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+\dots }}}}}}}}.}$ (последовательность A040002 в OEIS )

Конвергенты и полуконвергенты этой непрерывной дроби выглядят следующим образом (черные члены - полуконвергенции):

${\displaystyle {\color {red}{\frac {2}{1}}},{\frac {7}{3}},{\color {red}{\frac {9}{4}}},{\frac {20}{9}},{\frac {29}{13}},{\color {red}{\frac {38}{17}}},{\frac {123}{55}},{\color {red}{\frac {161}{72}}},{\frac {360}{161}},{\frac {521}{233}},{\color {red}{\frac {682}{305}}},{\frac {2207}{987}},{\color {red}{\frac {2889}{1292}}},\dots }$

Конвергенты непрерывной дроби окрашен в красный цвет; их числители 2, 9, 38, 161, ... (последовательность A001077 в OEIS ), а их знаменатели - 1, 4, 17, 72, ... (последовательность A001076 в OEIS ).

Каждый из них наилучшее рациональное приближение из √5; другими словами, это ближе к √5 чем любое рациональное с меньшим знаменателем.

Вавилонский метод

Когда √5 вычисляется с помощью Вавилонский метод, начиная с р₀ = 2 и используя р_п+1 = 1/2(р_п + 5/р_п), то пth аппроксимация р_п равно 2^пй сходящийся элемент сходящейся последовательности:

${\displaystyle {\frac {2}{1}}=2.0,\quad {\frac {9}{4}}=2.25,\quad {\frac {161}{72}}=2.23611\dots ,\quad {\frac {51841}{23184}}=2.2360679779\ldots }$

Вложенные квадратные расширения

Следующие вложенные квадратные выражения сходятся к ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {5}}&=3-10\left({\frac {1}{5}}+\left({\frac {1}{5}}+\left({\frac {1}{5}}+\left({\frac {1}{5}}+\cdots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\\&={\frac {9}{4}}-4\left({\frac {1}{16}}-\left({\frac {1}{16}}-\left({\frac {1}{16}}-\left({\frac {1}{16}}-\cdots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\\&={\frac {9}{4}}-5\left({\frac {1}{20}}+\left({\frac {1}{20}}+\left({\frac {1}{20}}+\left({\frac {1}{20}}+\cdots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\end{aligned}}}$

Связь с золотым сечением и числами Фибоначчи

В √5/2 диагональ полуквадрата составляет основу геометрического построения золотой прямоугольник.

В Золотое сечение φ это среднее арифметическое из 1 и √5.^[4] В алгебраический отношения между √5, золотое сечение и сопряжение золотого сечения (Φ = –1/φ = 1 − φ) выражается в следующих формулах:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {5}}&=\varphi -\Phi =2\varphi -1=1-2\Phi \\[5pt]\varphi &={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\\[5pt]\Phi &={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}.\end{aligned}}}$

(См. Раздел ниже для их геометрической интерпретации как разложения √5 прямоугольник.)

√5 то естественно фигурирует в закрытом виде выражения для Числа Фибоначчи, формулу, которую обычно записывают в терминах золотого сечения:

${\displaystyle F(n)={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}.}$

Частное от √5 и φ (или продукт √5 и Φ) и его обратная величина дают интересный образец непрерывных дробей и связаны с соотношениями между числами Фибоначчи и Числа Лукаса:^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sqrt {5}}{\varphi }}=\Phi \cdot {\sqrt {5}}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}&=1.3819660112501051518\dots \\&=[1;2,1,1,1,1,1,1,1,\ldots ]\\[5pt]{\frac {\varphi }{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\Phi \cdot {\sqrt {5}}}}={\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}&=0.72360679774997896964\ldots \\&=[0;1,2,1,1,1,1,1,1,\ldots ].\end{aligned}}}$

Ряды подходящих к этим значениям представляют собой ряд чисел Фибоначчи и ряд чисел Числа Лукаса как числители и знаменатели, и наоборот, соответственно:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{1,{\frac {3}{2}},{\frac {4}{3}},{\frac {7}{5}},{\frac {11}{8}},{\frac {18}{13}},{\frac {29}{21}},{\frac {47}{34}},{\frac {76}{55}},{\frac {123}{89}}},\ldots \ldots [1;2,1,1,1,1,1,1,1,\ldots ]\\[8pt]&{1,{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{7}},{\frac {8}{11}},{\frac {13}{18}},{\frac {21}{29}},{\frac {34}{47}},{\frac {55}{76}},{\frac {89}{123}}},\dots \dots [0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].\end{aligned}}}$

Геометрия

Треугольник Конвея разложение на гомотетические меньшие треугольники.

Геометрически, √5 соответствует диагональ из прямоугольник чьи стороны имеют длину 1 и 2, как видно из теорема Пифагора. Такой прямоугольник можно получить, уменьшив вдвое квадрат, или положив рядом два равных квадрата. Вместе с алгебраической связью между √5 и φ, это составляет основу геометрического построения золотой прямоугольник из квадрата, и для построения регулярного пятиугольник учитывая его сторону (так как отношение сторон к диагонали в правильном пятиугольнике равно φ).

Формирование двугранный прямой угол с двумя равными квадратами, которые делят прямоугольник 1: 2 пополам, можно увидеть, что √5 соответствует также соотношению длины куб край и кратчайшее расстояние от одного из вершины на противоположный, при обходе куба поверхность (кратчайшее расстояние при прохождении через внутри куба соответствует длине диагонали куба, которая является квадратный корень из трех умножить на край).^{[нужна цитата ]}

Номер √5 можно алгебраически и геометрически связать с √2 и √3, так как это длина гипотенуза прямоугольного треугольника с катети измерение √2 и √3 (опять же теорема Пифагора это доказывает). Прямоугольники таких пропорций можно найти внутри куба: стороны любого треугольника, определяемого центр точка куба, одна из его вершин и средняя точка стороны, расположенной на одной из граней, содержащих эту вершину, и противоположной ей, находятся в соотношении √2:√3:√5. Это следует из геометрических соотношений между кубом и величинами √2 (отношение диагонали края к лицу или расстояние между противоположными краями), √3 (отношение ребер к диагонали куба) и √5 (отношения, упомянутые выше).

Прямоугольник с пропорциями сторон 1:√5 называется прямоугольник из пяти корней и является частью серии корневых прямоугольников, подмножества динамические прямоугольники, которые основаны на √1 (= 1), √2, √3, √4 (= 2), √5… и последовательно построены с использованием диагонали предыдущего корневого прямоугольника, начиная с квадрата.^[6] Прямоугольник корня 5 особенно примечателен тем, что его можно разделить на квадрат и два равных золотых прямоугольника (размеров Φ × 1), либо на два золотых прямоугольника разного размера (размерности Φ × 1 и 1 × φ).^[7] Его также можно разложить как объединение двух равных золотых прямоугольников (размеров 1 × φ), пересечение которого образует квадрат. Все это можно рассматривать как геометрическую интерпретацию алгебраических соотношений между √5, φ и Φ упомянутый выше. Прямоугольник корень 5 может быть построен из прямоугольника 1: 2 (прямоугольник корень 4) или непосредственно из квадрата аналогично тому, как это сделано для золотого прямоугольника, показанного на иллюстрации, но с продолжением дуги длины √5/2 в обе стороны.

Тригонометрия

Нравиться √2 и √3, квадратный корень из 5 часто встречается в формулах для точные тригонометрические константы, включая синусы и косинусы каждого угла, размер которого в градусах делится на 3, но не на 15.^[8] Самые простые из них:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}+1}},\\[5pt]\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}},\\[5pt]\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}+1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}-1}},\\[5pt]\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\,.\end{aligned}}}$

Таким образом, расчет его стоимости важен для создание тригонометрических таблиц.^{[нужна цитата ]} С √5 геометрически связан с полуквадратными прямоугольниками и пятиугольниками, он также часто появляется в формулах для геометрических свойств фигур, полученных из них, например, в формуле для объема додекаэдр.^{[нужна цитата ]}

Диофантовы приближения

Теорема Гурвица в Диофантовы приближения заявляет, что каждый иррациональный номер Икс можно аппроксимировать бесконечно многими рациональное число м/п в самые низкие сроки таким образом, что

${\displaystyle \left|x-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}}$

и это √5 является наилучшим возможным в том смысле, что для любой постоянной большей, чем √5, есть иррациональные числа Икс для которых существует лишь конечное число таких приближений.^[9]

С этим тесно связана теорема^[10] что любых трех последовательных сходящиеся п_я/q_я, п_я+1/q_я+1, п_я+2/q_я+2, из числа α, выполняется хотя бы одно из трех неравенств:

${\displaystyle \left|\alpha -{p_{i} \over q_{i}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i}^{2}},\qquad \left|\alpha -{p_{i+1} \over q_{i+1}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+1}^{2}},\qquad \left|\alpha -{p_{i+2} \over q_{i+2}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+2}^{2}}.}$

И √5 в знаменателе является наилучшей возможной оценкой, поскольку подходящие дроби Золотое сечение сделайте разницу в левой части произвольно близкой к значению в правой части. В частности, нельзя получить более жесткую границу, рассматривая последовательности из четырех или более последовательных сходящихся.^[10]

Алгебра

В звенеть ℤ [√−5] содержит числа вида а + б√−5, куда а и б находятся целые числа и √−5 это мнимое число я√5. Это кольцо является часто цитируемым примером область целостности это не уникальная область факторизации.^{[нужна цитата ]} Число 6 имеет две неэквивалентные факторизации внутри этого кольца:

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5}})(1+{\sqrt {-5}}).\,}$

В поле ℚ [√−5], как и любой другой квадратичное поле, является абелево расширение рациональных чисел. В Теорема Кронекера – Вебера. поэтому гарантирует, что квадратный корень из пяти может быть записан как рациональная линейная комбинация корни единства:

${\displaystyle {\sqrt {5}}=e^{{\frac {2\pi }{5}}i}-e^{{\frac {4\pi }{5}}i}-e^{{\frac {6\pi }{5}}i}+e^{{\frac {8\pi }{5}}i}.\,}$

Личности Рамануджана

Квадратный корень из 5 появляется в различных тождествах, открытых Шриниваса Рамануджан с участием непрерывные дроби.^[11][12]

Например, в этом случае Непрерывная дробь Роджерса – Рамануджана:

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{\frac {2\pi }{5}}=e^{\frac {2\pi }{5}}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).}$

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({{\sqrt {5}} \over 1+{\sqrt[{5}]{5^{\frac {3}{4}}(\varphi -1)^{\frac {5}{2}}-1}}}-\varphi \right)e^{\frac {2\pi }{\sqrt {5}}}.}$

${\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

Смотрите также

• Золотое сечение
• Квадратный корень
• Корень квадратный из 2
• Корень квадратный из 3

Рекомендации

1. Даубен, Джозеф В. (июнь 1983 г.) Scientific American Георг Кантор и истоки теории трансфинитных множеств. Том 248; Стр.122.
2. Ага, Александр. "Рекорды, установленные y-cruncher".
3. Грант, Майк, и Перелла, Малькольм, «Спуск к иррациональному», Математический вестник 83, июль 1999 г., стр. 263-267.
4. Браун, Малкольм В. (30 июля 1985 г.) Нью-Йорк Таймс Загадочные кристаллы погружают ученых в неопределенность. Раздел: C; Страница 1. (Примечание: это широко цитируемая статья).
5. Ричард К. Гай: «Сильный закон малых чисел». Американский математический ежемесячный журнал, т. 95, 1988, стр. 675–712.
6. Кимберли Элам (2001), Геометрия дизайна: исследования пропорций и композиции, Нью-Йорк: Princeton Architectural Press, ISBN  1-56898-249-6
7. Джей Хэмбидж (1967), Элементы динамической симметрии, Courier Dover Publications, ISBN  0-486-21776-0
8. Джулиан Д. А. Уайзман, «Грех и соз в сурдах»
9. Левек, Уильям Джадсон (1956), Темы по теории чисел, Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Рединг, Массачусетс, МИСТЕР  0080682
10. Хинчин, Александр Яковлевич (1964), Непрерывные дроби, University of Chicago Press, Чикаго и Лондон
11. Раманатан, К. Г. (1984), "О непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана", Индийская академия наук. Ход работы. Математические науки, 93 (2): 67–77, Дои:10.1007 / BF02840651, ISSN  0253-4142, МИСТЕР  0813071
12. Эрик В. Вайсштейн, Рамануджан непрерывные дроби в MathWorld