Константа Эрдеша – Борвейна - Erdős–Borwein constant

В Константа Эрдеша – Борвейна это сумма взаимные из Числа Мерсенна. Он назван в честь Пол Эрдёш и Питер Борвейн.

По определению это:

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}\approx 1.606695152415291763\dots }$^[1]

Эквивалентные формы

Можно доказать, что все следующие формы в сумме дают одну и ту же константу:

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}{\frac {2^{n}+1}{2^{n}-1}}}$

${\displaystyle E=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{mn}}}}$

${\displaystyle E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}(2^{n}-1)}}}$

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{0}(n)}{2^{n}}}}$

где σ₀(п) = d(п) это делительная функция, а мультипликативная функция что равно количеству положительных делители числа п. Чтобы доказать эквивалентность этих сумм, заметим, что все они имеют вид Серия Ламберта и, следовательно, может быть возобновлен как таковой.^[2]

Иррациональность

Эрдеш в 1948 году показал, что постоянный E является иррациональный номер.^[3] Позже Борвейн представил альтернативное доказательство.^[4]

Несмотря на свою иррациональность, двоичное представление постоянной Эрдеша – Борвейна можно эффективно вычислить.^[5][6]

Приложения

Постоянная Эрдеша – Борвейна встречается в анализ среднего случая из heapsort алгоритм, в котором он контролирует постоянный коэффициент времени выполнения для преобразования несортированного массива элементов в кучу.^[7]

Рекомендации

1. (последовательность A065442 в OEIS )
2. Первую из этих форм дает Кнут (1998), бывший. 27, стр. 157; Кнут приписывает преобразование этой форме работе 1828 г. Clausen.
3. Эрдеш, П. (1948), «Об арифметических свойствах ряда Ламберта» (PDF), J. Indian Math. Soc. (Н.С.), 12: 63–66, Г-Н  0029405.
4. Борвейн, Питер Б. (1992), «Об иррациональности некоторых сериалов», Математические труды Кембриджского философского общества, 112 (1): 141–146, Дои:10.1017 / S030500410007081X, Г-Н  1162938.
5. Кнут (1998) отмечает, что вычисления постоянной могут быть выполнены с использованием ряда Клаузена, который очень быстро сходится, и приписывает эту идею Джон Ренч.
6. Крэндалл, Ричард (2012), «Гугол-й бит константы Эрдеша – Борвейна», Целые числа, 12: A23, Дои:10.1515 / целые числа-2012-0007.
7. Кнут, Д. Э. (1998), Искусство программирования, Vol. 3. Сортировка и поиск (2-е изд.), Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley, стр. 153–155..

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Erdos-Borwein Constant". MathWorld.