Кубическая взаимность - Cubic reciprocity

Кубическая взаимность представляет собой сборник теорем в элементарный и алгебраический теория чисел условия того государства, при которых соответствие Икс³ ≡ п (модq) разрешима; слово «взаимность» происходит от формы основная теорема, который гласит, что если п и q основные числа в кольце Целые числа Эйзенштейна, оба взаимно просты с 3, сравнение Икс³ ≡ п (мод q) разрешима тогда и только тогда, когда Икс³ ≡ q (мод п) разрешима.

История

Где-то до 1748 года Эйлер сделал первые предположения о кубической остаточности малых целых чисел, но они не были опубликованы до 1849 года, после его смерти.^[1]

В опубликованных работах Гаусса трижды упоминаются кубические вычеты и взаимность: есть один результат, относящийся к кубическим вычетам в Disquisitiones Arithmeticae (1801).^[2] Во введении к пятому и шестому доказательствам квадратичной взаимности (1818 г.)^[3] он сказал, что публикует эти доказательства, потому что их методы (Лемма Гаусса и Гауссовы суммы соответственно) можно применить к кубической и биквадратичной взаимности. Наконец, сноска во второй (из двух) монографий по биквадратная взаимность (1832) утверждает, что кубическую взаимность легче всего описать в кольце целых чисел Эйзенштейна.^[4]

Из его дневника и других неопубликованных источников следует, что Гаусс знал правила кубической и четвертой остаточной остаточности целых чисел к 1805 году и открыл полноценные теоремы и доказательства кубической и биквадратичной взаимности примерно в 1814 году.^[5][6] Доказательства этого были найдены в его посмертных бумагах, но неясно, принадлежат ли они ему или Эйзенштейну.^[7]

Якоби опубликовал несколько теорем о кубической остаточной остаточности в 1827 г., но без доказательств.^[8] В своих кенигсбергских лекциях 1836–1837 гг. Якоби представил доказательства.^[7] Первые опубликованные доказательства были сделаны Эйзенштейном (1844 г.).^[9][10][11]

Целые числа

А кубический остаток (мод п) - любое число, равное третьей степени целого числа (mod п). Если Икс³ ≡ а (мод п) не имеет целочисленного решения, а это кубический невосток (мод п).^[12]

Как это часто бывает в теории чисел, проще работать по модулю простых чисел, поэтому в этом разделе все модули п, qи т. д., считаются положительными нечетными простыми числами.^[12]

Прежде всего отметим, что если q ≡ 2 (mod 3) - простое число, тогда каждое число является кубическим вычетом по модулю q. Позволять q = 3п + 2; поскольку 0 = 0³ очевидно кубический вычет, предположим Икс не делится на q. Затем по Маленькая теорема Ферма,

${displaystyle x^{q}equiv x{mod {q}},qquad x^{q-1}equiv 1{mod {q}}}$

Умножая две сравнения, мы получаем

${displaystyle x^{2q-1}equiv x{mod {q}}}$

Теперь подставляем 3п + 2 для q у нас есть:

${displaystyle x^{2q-1}=x^{6n+3}=left(x^{2n+1}ight)^{3}.}$

Поэтому единственный интересный случай - это когда модуль п ≡ 1 (мод. 3). В этом случае классы ненулевых вычетов (mod п) можно разделить на три набора, каждый из которых содержит (п−1) / 3 числа. Позволять е - кубический невычет. Первый набор - кубические остатки; второй е умноженное на числа в первом наборе, а третий - е² умноженное на числа в первом наборе. Другой способ описать это разделение - позволить е быть первобытный корень (мод п); тогда первый (соответственно второй, третий) набор - это числа, индексы которых относительно этого корня конгруэнтны 0 (соответственно 1, 2) (mod 3). В словаре теория групп, первый набор представляет собой подгруппу индекс 3 мультипликативной группы ${displaystyle (mathbb {Z} /pmathbb {Z} )^{ imes }}$ а два других - его смежные классы.

Простые числа ≡ 1 (мод. 3)

Теорема Ферма^[13][14] заявляет, что каждое простое п ≡ 1 (mod 3) можно записать как п = а² + 3б² и (кроме признаков а и б) это представление единственно.

Сдача м = а + б и п = а − б, мы видим, что это эквивалентно п = м² − мин + п² (что равно (п − м)² − (п − м)п + п² = м² + м(п − м) + (п − м)², так м и п не определены однозначно). Таким образом,

${displaystyle {egin{aligned}4p&=(2m-n)^{2}+3n^{2}&=(2n-m)^{2}+3m^{2}&=(m+n)^{2}+3(m-n)^{2}end{aligned}}}$

и это простое упражнение, чтобы показать, что ровно одно из м, п, или же м − п делится на 3, поэтому

${displaystyle p={frac {1}{4}}(L^{2}+27M^{2}),}$

и это представление уникально с точностью до знаков L и M.^[15]

Для относительно простых целых чисел м и п определить рациональный кубический символ вычета в качестве

${displaystyle left[{frac {m}{n}}ight]_{3}={egin{cases}1&m{ ext{ is a cubic residue }}{mod {n}}-1&m{ ext{ is a cubic non-residue }}{mod {n}}end{cases}}}$

Важно отметить, что этот символ не нет обладают мультипликативными свойствами символа Лежандра; для этого нам понадобится истинный кубический символ, определенный ниже.

Гипотезы Эйлера. Позволять п = а² + 3б² быть первым. Тогда имеет место следующее:^[16][17][18]

${displaystyle {egin{aligned}left[{ frac {2}{p}}ight]_{3}=1quad &Longleftrightarrow quad 3mid bleft[{ frac {3}{p}}ight]_{3}=1quad &Longleftrightarrow quad 9mid b{ ext{ or }}9mid (apm b)left[{ frac {5}{p}}ight]_{3}=1quad &Longleftrightarrow quad 15mid b{ ext{ or }}3mid b{ ext{ and }}5mid a{ ext{ or }}15mid (apm b){ ext{ or }}15mid (2apm b)left[{ frac {6}{p}}ight]_{3}=1quad &Longleftrightarrow quad 9mid b{ ext{ or }}9mid (apm 2b)left[{ frac {7}{p}}ight]_{3}=1quad &Longrightarrow quad (3mid b{ ext{ and }}7mid a){ ext{ or }}21mid (bpm a){ ext{ or }}7mid (4bpm a){ ext{ or }}21mid b{ ext{ or }}7mid (bpm 2a)end{aligned}}}$

Первые два можно переформулировать следующим образом. Позволять п - простое число, сравнимое с 1 по модулю 3. Тогда:^[19][20][21]

• 2 - кубический остаток п если и только если п = а² + 27б².
• 3 - кубический остаток п тогда и только тогда, когда 4п = а² + 243б².

Теорема Гаусса. Позволять п положительное простое число такое, что

${displaystyle p=3n+1={ frac {1}{4}}left(L^{2}+27M^{2}ight).}$

потом ${displaystyle L(n!)^{3}equiv 1{mod {p}}.}$^[22][23]

Легко видеть, что из теоремы Гаусса следует:

${displaystyle left[{ frac {L}{p}}ight]_{3}=left[{ frac {M}{p}}ight]_{3}=1.}$

Теорема Якоби (сформулированная без доказательства).^[24] Позволять q ≡ п ≡ 1 (mod 6) - положительные простые числа. Очевидно оба п и q также сравнимы с 1 по модулю 3, поэтому предположим:

${displaystyle p={ frac {1}{4}}left(L^{2}+27M^{2}ight),qquad q={ frac {1}{4}}left(L'^{2}+27M'^{2}ight).}$

Позволять Икс быть решением Икс² ≡ −3 (mod q). потом

${displaystyle xequiv pm {frac {L'}{3M'}}{mod {q}},}$

и у нас есть:

${displaystyle {egin{aligned}left[{frac {q}{p}}ight]_{3}=1quad &Longleftrightarrow quad left[{frac {{frac {L+3Mx}{2}}p}{q}}ight]_{3}=1quad Longleftrightarrow quad left[{frac {frac {L+3Mx}{L-3Mx}}{q}}ight]_{3}=1left[{frac {q}{p}}ight]_{3}=1quad &Longrightarrow quad left[{frac {frac {LM'+L'M}{LM'-L'M}}{q}}ight]_{3}=1end{aligned}}}$

Лемер Теорема. Позволять q и п быть простыми числами, с ${displaystyle p={ frac {1}{4}}left(L^{2}+27M^{2}ight).}$ Потом:^[25]

${displaystyle left[{frac {q}{p}}ight]_{3}=1quad Longleftrightarrow quad qmid LM{ ext{ or }}Lequiv pm {frac {9r}{2u+1}}M{mod {q}},}$

куда

${displaystyle uot equiv 0,1,-{ frac {1}{2}},-{ frac {1}{3}}{mod {q}}quad { ext{and}}quad 3u+1equiv r^{2}(3u-3){mod {q}}.}$

Обратите внимание, что первое условие подразумевает: любое число, которое делит L или же M - кубический вычет (mod п).

Первые несколько примеров^[26] из этого эквивалентны гипотезам Эйлера:

${displaystyle {egin{aligned}left[{frac {2}{p}}ight]_{3}=1quad &Longleftrightarrow quad Lequiv Mequiv 0{mod {2}}left[{frac {3}{p}}ight]_{3}=1quad &Longleftrightarrow quad Mequiv 0{mod {3}}left[{frac {5}{p}}ight]_{3}=1quad &Longleftrightarrow quad LMequiv 0{mod {5}}left[{frac {7}{p}}ight]_{3}=1quad &Longleftrightarrow quad LMequiv 0{mod {7}}end{aligned}}}$

Поскольку очевидно L ≡ M (mod 2), критерий q = 2 можно упростить как:

${displaystyle left[{frac {2}{p}}ight]_{3}=1quad Longleftrightarrow quad Mequiv 0{mod {2}}.}$

Теорема Мартине. Позволять п ≡ q ≡ 1 (mod 3) - простые числа, ${displaystyle pq={ frac {1}{4}}(L^{2}+27M^{2}).}$ потом^[27]

${displaystyle left[{frac {L}{p}}ight]_{3}left[{frac {L}{q}}ight]_{3}=1quad Longleftrightarrow quad left[{frac {q}{p}}ight]_{3}left[{frac {p}{q}}ight]_{3}=1.}$

Теорема Шарифи. Позволять п = 1 + 3Икс + 9Икс² быть первым. Тогда любой делитель Икс - кубический вычет (mod п).^[28]

Целые числа Эйзенштейна

Фон

Во второй монографии о биквадратной взаимности Гаусс говорит:

Теоремы о биквадратичных вычетах проявляются с величайшей простотой и подлинной красотой только тогда, когда область арифметики распространяется на воображаемый числа, так что без ограничений числа вида а + би составляют объект исследования ... мы называем такие числа целые комплексные числа.^[29] [жирным шрифтом в оригинале]

Эти числа теперь называются звенеть из Гауссовские целые числа, обозначаемый Z[я]. Обратите внимание, что я является корнем четвертой степени из 1.

В сноске он добавляет

Теория кубических вычетов аналогичным образом должна основываться на рассмотрении чисел вида а + бх куда час мнимый корень уравнения час³ = 1 ... и аналогично теория вычетов высших степеней приводит к введению других мнимых величин.^[30]

В своей первой монографии о кубической взаимности^[31] Эйзенштейн разработал теорию чисел, построенных из кубического корня из единицы; их теперь называют кольцом Целые числа Эйзенштейна. Эйзенштейн сказал (перефразируя): «Чтобы исследовать свойства этого кольца, нужно только обратиться к работе Гаусса по Z[я] и модифицируем доказательства ". Это неудивительно, поскольку оба кольца уникальные домены факторизации.

«Другие мнимые величины», необходимые для «теории вычетов высших степеней», - это кольца целых чисел из поля циклотомических чисел; целые числа Гаусса и Эйзенштейна являются простейшими примерами этого.

Факты и терминология

Позволять

${displaystyle omega ={frac {-1+i{sqrt {3}}}{2}}=e^{frac {2pi i}{3}},qquad omega ^{3}=1.}$

И рассмотрите кольцо Целые числа Эйзенштейна:

${displaystyle mathbb {Z} [omega ]=left{a+bomega : a,bin mathbb {Z} ight}.}$

Это Евклидова область с функцией нормы, заданной как:

${displaystyle N(a+bomega )=a^{2}-ab+b^{2}.}$

Обратите внимание, что норма всегда конгруэнтна 0 или 1 (mod 3).

В группа единиц в ${displaystyle mathbb {Z} [omega ]}$ (элементы с мультипликативным обратным или, что то же самое, с единичной нормой) - циклическая группа корней шестой степени из единицы,

${displaystyle left{pm 1,pm omega ,pm omega ^{2}ight}.}$

${displaystyle mathbb {Z} [omega ]}$ это уникальная область факторизации. Простые числа делятся на три класса:^[32]

• 3 - особый случай:

${displaystyle 3=-omega ^{2}(1-omega )^{2}.}$

Это единственный прайм в ${displaystyle mathbb {Z} }$ делится на квадрат простого числа в ${displaystyle mathbb {Z} [omega ]}$. Говорят, что простое 3 разветвляться в ${displaystyle mathbb {Z} [omega ]}$.

• Положительные простые числа в ${displaystyle mathbb {Z} }$ конгруэнтно 2 (mod 3) также являются простыми числами в ${displaystyle mathbb {Z} [omega ]}$. Говорят, что эти простые числа остаются инертный в ${displaystyle mathbb {Z} [omega ]}$. Обратите внимание, что если ${displaystyle q}$ - любое инертное простое число, тогда:

${displaystyle N(q)=q^{2}equiv 1{mod {3}}.}$

• Положительные простые числа в ${displaystyle mathbb {Z} }$ конгруэнтно 1 (mod 3) - произведение двух сопряженных простых чисел в ${displaystyle mathbb {Z} [omega ]}$. Говорят, что эти простые числа расколоть в ${displaystyle mathbb {Z} [omega ]}$. Их факторизация дается:

${displaystyle p=N(pi )=N({overline {pi }})=pi {overline {pi }}.}$

Например

${displaystyle 7=(3+omega )(2-omega ).}$

Число начальный если он взаимно прост с 3 и конгруэнтен обычному целому по модулю ${displaystyle (1-omega )^{2},}$ что то же самое, что сказать, что это соответствует ${displaystyle pm 2}$ по модулю 3. Если ${displaystyle gcd(N(lambda ),3)=1}$ один из ${displaystyle lambda ,omega lambda ,}$ или же ${displaystyle omega ^{2}lambda }$ является первичным. Более того, произведение двух первичных чисел первично, и сопряжение первичного числа также первично.

Единственная теорема факторизации для ${displaystyle mathbb {Z} [omega ]}$ это: если ${displaystyle lambda eq 0,}$ тогда

${displaystyle lambda =pm omega ^{mu }(1-omega )^{u }pi _{1}^{alpha _{1}}pi _{2}^{alpha _{2}}pi _{3}^{alpha _{3}}cdots ,qquad mu in {0,1,2},quad u ,alpha _{1},alpha _{2},ldots geqslant 0}$

где каждый ${displaystyle pi _{i}}$ является первичным (по определению Эйзенштейна) простым числом. И это представление уникально, в зависимости от порядка факторов.

Представления о соответствие^[33] и наибольший общий делитель^[34] определены таким же образом в ${displaystyle mathbb {Z} [omega ]}$ как и для обычных целых чисел ${displaystyle mathbb {Z} }$. Поскольку единицы делят все числа, сравнение по модулю ${displaystyle lambda }$ также истинно по модулю любого ассоциированного ${displaystyle lambda }$, и любой партнер НОД также является НОД.

Символ кубического остатка

Определение

Аналог Маленькая теорема Ферма верно в ${displaystyle mathbb {Z} [omega ]}$: если ${displaystyle alpha }$ не делится на простое число ${displaystyle pi }$,^[35]

${displaystyle alpha ^{N(pi )-1}equiv 1{mod {pi }}.}$

Теперь предположим, что ${displaystyle N(pi )eq 3}$ так что ${displaystyle N(pi )equiv 1{mod {3}}.}$ Или иначе говоря ${displaystyle 3mid N(pi )-1.}$ Тогда мы можем написать:

${displaystyle alpha ^{frac {N(pi )-1}{3}}equiv omega ^{k}{mod {pi }},}$

для уникального юнита ${displaystyle omega ^{k}.}$ Этот блок называется кубический остаток из ${displaystyle alpha }$ по модулю ${displaystyle pi }$ и обозначается^[36]

${displaystyle left({frac {alpha }{pi }}ight)_{3}=omega ^{k}equiv alpha ^{frac {N(pi )-1}{3}}{mod {pi }}.}$

Характеристики

Характер кубического вычета имеет формальные свойства, аналогичные свойствам Символ Лежандра:

• Если ${displaystyle alpha equiv eta {mod {pi }}}$ тогда ${displaystyle left({ frac {alpha }{pi }}ight)_{3}=left({ frac {eta }{pi }}ight)_{3}.}$
• ${displaystyle left({ frac {alpha eta }{pi }}ight)_{3}=left({ frac {alpha }{pi }}ight)_{3}left({ frac {eta }{pi }}ight)_{3}.}$
• ${displaystyle {overline {left({ frac {alpha }{pi }}ight)_{3}}}=left({ frac {overline {alpha }}{overline {pi }}}ight)_{3},}$ где черта означает комплексное сопряжение.
• Если ${displaystyle pi }$ и ${displaystyle heta }$ партнеры тогда ${displaystyle left({ frac {alpha }{pi }}ight)_{3}=left({ frac {alpha }{ heta }}ight)_{3}}$
• Соответствие ${displaystyle x^{3}equiv alpha {mod {pi }}}$ имеет решение в ${displaystyle mathbb {Z} [omega ]}$ если и только если ${displaystyle left({ frac {alpha }{pi }}ight)_{3}=1.}$^[37]
• Если ${displaystyle a,bin mathbb {Z} }$ такие, что ${displaystyle gcd(a,b)=gcd(b,3)=1,}$ тогда ${displaystyle left({ frac {a}{b}}ight)_{3}=1.}$^[38][39]
• Кубический символ может быть мультипликативно расширен до составных чисел (взаимно простых с 3) в «знаменателе» таким же образом, как символ Лежандра обобщается в Символ Якоби. Подобно символу Якоби, если «знаменатель» кубического символа является составным, то, если «числитель» является кубическим остатком по модулю «знаменатель», символ будет равен 1, если символ не равен 1, то «числитель» является кубическим невычетом, но символ может равняться 1, когда «числитель» не является остатком:

${displaystyle left({frac {alpha }{lambda }}ight)_{3}=left({frac {alpha }{pi _{1}}}ight)_{3}^{alpha _{1}}left({frac {alpha }{pi _{2}}}ight)_{3}^{alpha _{2}}cdots ,}$

куда

${displaystyle lambda =pi _{1}^{alpha _{1}}pi _{2}^{alpha _{2}}pi _{3}^{alpha _{3}}cdots }$

Формулировка теоремы

Пусть α и β примарны. потом

${displaystyle {Bigg (}{frac {alpha }{eta }}{Bigg )}_{3}={Bigg (}{frac {eta }{alpha }}{Bigg )}_{3}.}$

Есть дополнительные теоремы^[40][41] для единиц и простого числа 1 - ω:

Пусть α = а + бω первична, а = 3м + 1 и б = 3п. (Если а ≡ 2 (mod 3) заменить α его ассоциированным элементом −α; это не изменит значения кубических символов.) Тогда

${displaystyle {Bigg (}{frac {omega }{alpha }}{Bigg )}_{3}=omega ^{frac {1-a-b}{3}}=omega ^{-m-n},;;;{Bigg (}{frac {1-omega }{alpha }}{Bigg )}_{3}=omega ^{frac {a-1}{3}}=omega ^{m},;;;{Bigg (}{frac {3}{alpha }}{Bigg )}_{3}=omega ^{frac {b}{3}}=omega ^{n}.}$

Смотрите также

• Квадратичная взаимность
• Четвертая взаимность
• Octic взаимность
• Эйзенштейновская взаимность
• Артиновая взаимность

Примечания

1. Эйлер, Трактат ..., §§ 407–410
2. Гаусс Д.А., примечание к ст. 358
3. Гаусс, Теоретическая основа ...
4. Гаусс, BQ, § 30
5. Кокс, стр. 83–90.
6. Lemmermeyer, стр. 199–201, 222–224.
7. Леммермейер, стр. 200
8. Якоби, De Residuis Cubicis ....
9. Эйзенштейн, Beweis des Reciprocitätssatzes ...
10. Эйзенштейн, Nachtrag zum cubischen ...
11. Эйзенштейн, Application de l'algèbre ...
12. ср. Гаусс, BQ § 2
13. Гаусс Д.А., ст. 182
14. Кокс, Исх. 1,4–1,5
15. Ирландия и Розен, Реквизит 8.3.1 и 8.3.2
16. Эйлер, Tractatus, §§ 407–401
17. Леммермейер, стр. 222–223
18. Tractatus de numerorum doctrina capita sedecim, quae supersunt, 411, сноска (глава 11) [1]
19. Кокс, стр. 2, чт. 4.15, Пр. 4,15
20. Ирландия и Розен, Предложение 9.6.2, Пр. 9.23
21. Леммермейер, предложения 7.1 и 7.2
22. Гаусс Д.А. сноска к ст. 358
23. Lemmermeyer, Ex. 7.9
24. Якоби, De Residuis Cubicis ...
25. Леммермейер, Предложение 7.4
26. Lemmermeyer, стр. 209–212, Реквизиты 7.1–7.3
27. Lemmermeyer, Ex. 7,11
28. Lemmermeyer, Ex. 7,12
29. Gauss, BQ, § 30, перевод в Cox, p. 83
30. Gauss, BQ, § 30, перевод в Cox, p. 84
31. Ирландия и Розен стр. 14
32. Ирландия и Розен Проп 9.1.4
33. ср. Gauss, BQ, §§ 38–45
34. ср. Гаусс, Б.К., §§ 46–47
35. Ирландия и Розен. Позиция 9.3.1
36. Ирландия и Розен, стр. 112
37. Ирландия и Розен, Предложение 9.3.3
38. Ирландия и Розен, Предложение 9.3.4
39. Леммермейер, Опора 7.7
40. Lemmermeyer, Th. 6.9
41. Ирландия и Розен, отл. 9,32–9,37

Рекомендации

Ссылки на оригинальные статьи Эйлера, Якоби и Эйзенштейна были скопированы из библиографий Леммермейера и Кокса и не использовались при подготовке этой статьи.

Эйлер

• Эйлер, Леонард (1849), Tractatus de numeroroum doctrina capita sedecim quae supersunt, Комментарий. Арифмет. 2

На самом деле это было написано в 1748–1750 годах, но было опубликовано только посмертно; Это в томе V, стр. 182–283 из

• Эйлер, Леонард (1911–1944), Опера Омния, Серия прима, Тт. I – V, Лейпциг и Берлин: Тойбнер

Гаусс

Две опубликованные Гауссом монографии по биквадратичной взаимности имеют последовательно пронумерованные разделы: первая содержит §§ 1–23, а вторая §§ 24–76. Ссылки на них имеют вид «Gauss, BQ, § п". Сноски, относящиеся к Disquisitiones Arithmeticae имеют вид «Гаусс Д.А., ст. п".

• Гаусс, Карл Фридрих (1828), Theoria резидуум biquadraticorum, комментарий прима, Гёттинген: Комментарий. Soc. regiae sci, Göttingen 6

• Гаусс, Карл Фридрих (1832 г.), Theoria резидуум biquadraticorum, комментарий secunda, Гёттинген: Комментарий. Soc. regiae sci, Göttingen 7

Это в Гауссе Werke, Том II, стр. 65–92 и 93–148

Пятое и шестое доказательства квадратичной взаимности Гаусса находятся в

• Гаусс, Карл Фридрих (1818 г.), Theoramatis basicis in doctrina de резюмирует квадратичную демонстрацию и усиление новых

Это в Гауссе Werke, Том II, стр. 47–64

Немецкие переводы всех трех из вышеперечисленных следующие, которые также имеют Disquisitiones Arithmeticae и другие работы Гаусса по теории чисел.

• Гаусс, Карл Фридрих; Мазер, Х. (перевод на немецкий) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae и другие статьи по теории чисел) (второе издание), Нью-Йорк: Челси, ISBN  0-8284-0191-8

Эйзенштейн

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтхольд (1844 г.), Beweis des Reciprocitätssatzes für die cubischen Reste in der Theorie der aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzen Zahlen, J. Reine Angew. Математика. 27, стр. 289–310 (журнал Crelle).

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтхольд (1844 г.), Nachtrag zum cubischen Reciprocitätssatzes für die aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzen Zahlen, Criterien des cubischen Characters der Zahl 3 и ихрер Тейлер, J. Reine Angew. Математика. 28, стр. 28–35 (журнал Crelle)

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтхольд (1845), Application de l'algèbre à l'arithmétique transcendante, J. Reine Angew. Математика.29 с. 177–184 (журнал Crelle)

Все эти документы находятся в томе I его Werke.

Якоби

• Якоби, Карл Густав Якоб (1827), De Residuis Cubicis commentatio numerosa, J. Reine Angew. Математика. 2 стр. 66–69 (журнал Crelle)

Это в VI томе его Werke

Современные авторы

• Кокс, Дэвид А. (1989), Простые числа вида x² + n y², Нью-Йорк: Wiley, ISBN  0-471-50654-0

• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание), Нью-Йорк: Springer, ISBN  0-387-97329-X

• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна, Берлин: Springer, ISBN  3-540-66957-4

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Кубическая теорема взаимности". MathWorld.